基于物理機(jī)制的風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)風(fēng)場(chǎng)模擬

賀廣零,李 杰

(同濟(jì)大學(xué) 建筑工程系,上海200092)

隨機(jī)風(fēng)場(chǎng)作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)以及動(dòng)力可靠度是工程界普遍關(guān)心的問(wèn)題.為了分析結(jié)構(gòu)的時(shí)域風(fēng)振響應(yīng),需要通過(guò)風(fēng)場(chǎng)模擬,生成具有結(jié)構(gòu)所在場(chǎng)地風(fēng)荷載統(tǒng)計(jì)特性的樣本函數(shù).研究現(xiàn)有的風(fēng)場(chǎng)模擬方法(如諧波合成[1-2]、線性濾波器[3-4]和小波分析[5-6]等),不難發(fā)現(xiàn),這些方法都基于功率譜密度函數(shù).而在本質(zhì)上,功率譜密度函數(shù)(包括自譜和互譜)是對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)值特征描述,很難反映本源隨機(jī)過(guò)程的豐富概率信息,由此也導(dǎo)致了對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行精細(xì)化隨機(jī)振動(dòng)反應(yīng)分析的困難[7].事實(shí)上,即使是平穩(wěn)過(guò)程,僅依據(jù)數(shù)值特征解答也很難獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度的精確解答.近期,李杰和張琳琳從隨機(jī)函數(shù)的角度出發(fā)研究隨機(jī)過(guò)程,將脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程樣本經(jīng)Fourier 變換得到的Fourier 譜視為隨機(jī)函數(shù),提出了隨機(jī)Fourier 譜的概念, 獲得了隨機(jī)Fourier 幅值譜經(jīng)驗(yàn)物理公式,從而探索了一條從物理本質(zhì)上反映隨機(jī)過(guò)程的新道路[8].在隨機(jī)Fourier譜的基礎(chǔ)上,賀廣零和李杰針對(duì)風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng),提出了考慮槳葉旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)Fourier 物理譜[9].在此基礎(chǔ)上,筆者首先提出了基于物理機(jī)制的旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜,有效地考慮了槳葉旋轉(zhuǎn)效應(yīng)和槳葉上不同點(diǎn)風(fēng)速之間的相關(guān)性.結(jié)合典型的1.25 MW 三槳葉變槳距風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng),對(duì)旋轉(zhuǎn)Fourier 譜(隨機(jī)Fourier 譜)進(jìn)行逆Fourier 變換,生成了作用于槳葉(塔體)的風(fēng)速時(shí)程.

1 旋轉(zhuǎn)Fourier 譜物理機(jī)制

空間中一點(diǎn)的風(fēng)速,可以用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)過(guò)程描述.對(duì)于體量較大的結(jié)構(gòu),需要反映不同位置風(fēng)速之間的相互關(guān)系,此時(shí)空間的風(fēng)速是一個(gè)時(shí)變的隨機(jī)場(chǎng).對(duì)于時(shí)變隨機(jī)場(chǎng),空間中任意一點(diǎn)的風(fēng)速不僅與該點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)有關(guān),而且與時(shí)間有關(guān).

為了準(zhǔn)確描述作用在旋轉(zhuǎn)槳葉上的風(fēng)速時(shí)程,可有規(guī)律地在風(fēng)輪平面取樣(圖1).假設(shè)在同一半徑r上取N個(gè)樣本點(diǎn),并將風(fēng)輪平面上l1點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程中零時(shí)刻的風(fēng)速……l i點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程中(i-1)Δt時(shí)刻風(fēng)速,l i+1點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程中iΔ 時(shí)刻風(fēng)速……l N點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程中(N-1)Δt時(shí)刻的風(fēng)速提取出來(lái),按照時(shí)間順序組合成一組新的風(fēng)速時(shí)程,對(duì)其進(jìn)行Fourier 變換即可得到旋轉(zhuǎn)Fourier 譜.在本質(zhì)上,旋轉(zhuǎn)Fourier 譜由作用在槳葉上的風(fēng)速經(jīng)過(guò)Fourier 變換而來(lái),是一種自身蘊(yùn)含了槳葉旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的紊流風(fēng)速譜.因此,基于該譜進(jìn)行風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)風(fēng)振動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí),無(wú)須再次考慮槳葉旋轉(zhuǎn)效應(yīng).

圖1 風(fēng)輪平面上取樣點(diǎn)位置Fig.1 Sample points in the rotor plane

2 旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜模型

槳葉上2 點(diǎn)處脈動(dòng)風(fēng)速的旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜,與塔體上2 點(diǎn)處脈動(dòng)風(fēng)速的隨機(jī)Fourier 互譜有本質(zhì)的不同.主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:①由于槳葉的旋轉(zhuǎn)效應(yīng),旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜必須在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下考慮2點(diǎn)處脈動(dòng)風(fēng)速的相關(guān)性.在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下,2 點(diǎn)處脈動(dòng)風(fēng)速的互譜已經(jīng)不能簡(jiǎn)單地通過(guò)各點(diǎn)處脈動(dòng)風(fēng)速的自譜與相干函數(shù)的乘積來(lái)確定.②旋轉(zhuǎn)Fourier互譜體現(xiàn)在槳葉(而非風(fēng)輪平面)上任意2 點(diǎn)處脈動(dòng)風(fēng)速之間的相關(guān)性.因此,旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜可分為同一槳葉上2 點(diǎn)之間的旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜和不同槳葉上2 點(diǎn)之間的旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜.

已知槳葉以轉(zhuǎn)速n0勻速旋轉(zhuǎn),半徑r i上的一點(diǎn)在t時(shí)刻的風(fēng)速時(shí)程幅值為x i,半徑r j上的一點(diǎn)在t+τ時(shí)刻的風(fēng)速時(shí)程幅值為x j(圖2).xi和x j的互相關(guān)函數(shù)可定義為

x i和x j的Fourier 互譜可表示為[10]

式中,Fxi(n),F xj(n)為隨機(jī)Fourier 譜,根據(jù)隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)函數(shù)描述,可定義為[10]

式中:X(η,t)為隨機(jī)過(guò)程樣本x(η,t)的集合;η為影響隨機(jī)激勵(lì)發(fā)展過(guò)程且具有物理意義的隨機(jī)變量或隨機(jī)向量.文獻(xiàn)[11] 由310 組實(shí)測(cè)風(fēng)速數(shù)據(jù)記錄識(shí)別出隨機(jī)變量地面粗糙度z0服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,10 m 高平均風(fēng)速v10服從極值Ⅰ型分布,并最終確定隨機(jī)Fourier 譜表達(dá)式為

式(2)中,γ(d(τ))為相干函數(shù),其表達(dá)式[12]為

式中:a為衰減常數(shù),一般通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得,文獻(xiàn)[13]建議取為10;n為頻率;vh為輪轂處平均風(fēng)速;d(τ)為2 點(diǎn)之間距離(圖2).其表達(dá)式為

式中,φ為相位因子.當(dāng)i,j這2 點(diǎn)處于同一片槳葉時(shí),φ=0;處于不同槳葉時(shí),φ則為2π/ Nb(Nb為槳葉數(shù)目)的整數(shù)倍.對(duì)于三槳葉風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)而言,φ始終為2π/3.

Fourier 互譜與互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成Fourier 變換對(duì).對(duì)式(2)逆Fourier 變換,可得兩點(diǎn)間的互相關(guān)函數(shù)為

根據(jù)旋轉(zhuǎn)Fourier 譜的物理機(jī)制,旋轉(zhuǎn)槳葉上任意2 點(diǎn)在不同時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)互相關(guān)函數(shù),可用2 點(diǎn)之間的互相關(guān)函數(shù)來(lái)代替

值得注意的是,Rij(τ)為i點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間τ后j點(diǎn)的互相關(guān)函數(shù).對(duì)旋轉(zhuǎn)互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行Fourier 變換,可得到旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜

將式(7),(8)代入式(9)中,

為了分析方便,可將γ(d(τ),n′)進(jìn)行Fourier 展開(kāi)

式中:n0為槳葉轉(zhuǎn)動(dòng)頻率;k m(n)為Fourier 展開(kāi)系數(shù),即

將式(11)代入式(10)中,

亦即

(14)可改寫(xiě)為

進(jìn)而可得

當(dāng)r i=r j,即相位因子φ=0 時(shí),旋轉(zhuǎn)Fourier互譜退化為旋轉(zhuǎn)Fourier 自譜

式(17)與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果是完全一致的.這一結(jié)果說(shuō)明,旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜與旋轉(zhuǎn)Fourier 自譜具有統(tǒng)一性.前者具有一般性,而后者是特殊情況下的旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜.同時(shí)也表明,旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜不再是旋轉(zhuǎn)Fourier 自譜與相干函數(shù)的乘積.

3 隨機(jī)風(fēng)場(chǎng)模擬

3.1 脈動(dòng)風(fēng)速

譜和時(shí)程這兩類(lèi)描述方法具有等價(jià)性,均可以用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程.只不過(guò)前者是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的頻域描述,后者是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的時(shí)域描述.本質(zhì)上,樣本Fourier 譜和時(shí)程共同構(gòu)成Fourier 變換對(duì).因此,在隨機(jī)變量給定后,隨機(jī)函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為確定性函數(shù),對(duì)其逆Fourier 變換即可獲得風(fēng)速時(shí)程.基于這一核心思想,以下完成風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)風(fēng)場(chǎng)仿真.

由旋轉(zhuǎn)Fourier 譜和旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜,可共同構(gòu)造一維多變量零均值隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)Fourier 譜矩陣如下:

式中,對(duì)角線元素由旋轉(zhuǎn)Fourier 幅值譜組成,非對(duì)角元素由旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜組成.需要說(shuō)明的是,通常情況下互譜總是復(fù)數(shù)形式的,但是在風(fēng)工程中,認(rèn)為在大氣中互譜密度函數(shù)的虛部(即正交譜)相比其實(shí)部(即互譜)是很小的,工程應(yīng)用上可以忽略不計(jì)[14].從而,這里的旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜也就相應(yīng)地成為了實(shí)數(shù)的形式,這是在風(fēng)工程中出現(xiàn)的特例.

為模擬風(fēng)場(chǎng), 首先對(duì)隨機(jī)Fourier 譜矩陣進(jìn)行Cholesky 分解

I(n)為下三角矩陣,且有如下形式:

由于隨機(jī)Fourier 譜矩陣是n的實(shí)值偶函數(shù)矩陣,所以上式中元素I ij(n)=I ij(-n).根據(jù)式(19),將分解后,就可以用下式對(duì)目標(biāo)隨機(jī)過(guò)程v j(t),j=1,2, …,k進(jìn)行仿真,即

式中:φ0ml為隨機(jī)初相位角,在[0,2π]區(qū)間取值;Δφml為相位差譜[15];n ml為雙索引頻率,按下式取值:

式(23)中,n u為截?cái)囝l率.由于一般隨機(jī)Fourier 譜函數(shù)的頻率分布區(qū)間為無(wú)窮大,為了數(shù)學(xué)上處理的方便,有必要設(shè)置截?cái)囝l率n u,認(rèn)為超過(guò)該上限后的隨機(jī)Fourier 譜函數(shù)值為0.由于存在截?cái)囝l率n u, 可知當(dāng)M→∞時(shí), Δn→0, 因此, 有n u=MΔn.截?cái)囝l率的值由在區(qū)間[0,n u]和區(qū)間[0, ∞]中隨機(jī)Fourier 幅值譜下包含的面積之比來(lái)確定,通常要求該比例接近于1.可按下述公式表示該準(zhǔn)則:

同時(shí),為了防止混疊,根據(jù)采樣定理,在使用式(21)生成時(shí)程樣本時(shí),時(shí)間步長(zhǎng)Δt應(yīng)滿足如下條件

塔體脈動(dòng)風(fēng)速生成與槳葉相似,只需將旋轉(zhuǎn)Fourier 譜換成隨機(jī)Fourier 譜即可.限于篇幅,茲不贅述.

3.2 平均風(fēng)速

對(duì)于風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)而言,風(fēng)剪模型通常采用指數(shù)模型

式中:vh為輪轂高度處的平均風(fēng)速;zh為輪轂高度;α為風(fēng)速廓線指數(shù).

對(duì)于旋轉(zhuǎn)槳葉上的任意一點(diǎn),其高度z因槳葉旋轉(zhuǎn)而呈現(xiàn)周期性變化

式中:r為計(jì)算半徑,指風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)任意一點(diǎn)與輪轂中心之間的距離;φ=Ωt,為該點(diǎn)在風(fēng)輪平面的方位角,正上方時(shí)為0°, Ω為槳葉旋轉(zhuǎn)速度.

將式(27)代入式(26)中,可得槳葉上半徑r處的平均風(fēng)速vs(r)為

4 數(shù)值算例

以典型的1.25 M W 三槳葉變槳距風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)為例,進(jìn)行風(fēng)場(chǎng)仿真研究.該風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)輪轂高度為68 m,風(fēng)輪直徑為64 m,槳葉轉(zhuǎn)速為21.1 r ·min-1(0.352 Hz).根據(jù)有限元方法,對(duì)風(fēng)力發(fā)電機(jī)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散,每片槳葉等效為3 個(gè)均勻分布的集中質(zhì)點(diǎn),三片槳葉一共為9 個(gè)集中質(zhì)點(diǎn).塔體(機(jī)艙)等效為非均勻分布的6 個(gè)集中質(zhì)點(diǎn),各點(diǎn)的具體位置依據(jù)計(jì)算方便原則選定,其簡(jiǎn)化動(dòng)力計(jì)算模型如圖3 所示.等效集中質(zhì)點(diǎn)為動(dòng)力計(jì)算時(shí)需要輸入風(fēng)速時(shí)程的計(jì)算點(diǎn),這里主要模擬這些點(diǎn)上的風(fēng)速時(shí)程.

圖3 風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)計(jì)算點(diǎn)Fig.3 Computing points of the wind turbine system

根據(jù)式(24),可確定截?cái)囝l率nu.結(jié)合實(shí)際需要,這里取nu=10 Hz.總頻點(diǎn)數(shù)取為M=2 048.繼而由式(23)可得,Δn=0.004 88 Hz.編制Matlab 程序仿真脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程.表1 給出了塔體第10 ～15 點(diǎn)處的平均風(fēng)速.圖4 給出了塔體第10 ～15 點(diǎn)的仿真脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程.不難發(fā)現(xiàn),不同點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)程之間存在一定的相關(guān)性,且相關(guān)程度隨著2 點(diǎn)距離的增加而減少.例如,相鄰點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程之間的相似程度要大于非相鄰點(diǎn).

表1 塔體各計(jì)算點(diǎn)的平均風(fēng)速Tab.1 Mean wind velocities at the computing points of the wind turbine tower

圖4 塔體各計(jì)算點(diǎn)的仿真脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程Fig.4 Fluctuating wind velocities at the computing points of the wind turbine tower

圖5 給出了槳葉第1 ～3 點(diǎn)處的平均風(fēng)速時(shí)程,圖6 給出了3,6,9 點(diǎn)處的平均風(fēng)速時(shí)程.總體上,旋轉(zhuǎn)槳葉上各點(diǎn)的平均風(fēng)速具有如下特點(diǎn):①平均風(fēng)速不再為定值,而呈諧波規(guī)律變化;②計(jì)算點(diǎn)半徑越大,風(fēng)速波動(dòng)幅度越大,如點(diǎn)2 的波動(dòng)幅度大于點(diǎn)1,點(diǎn)3 的波動(dòng)幅度大于點(diǎn)2;③不同槳葉之間風(fēng)速不同步,相鄰槳葉之間存在2π/nb(nb為槳葉數(shù)目)的相位差.槳葉1,2,3 要落后于槳葉4,5,6,而4,5,6落后于7,8,9,它們之間的相位差均為2π/3.

圖7 給出了槳葉第1 ～3 點(diǎn)處的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程.圖8 給出了固定點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程(基于隨機(jī)Fourier 譜的風(fēng)速時(shí)程)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程(基于旋轉(zhuǎn)Fourier 譜的風(fēng)速時(shí)程)之間的比較.相比較而言, 基于旋轉(zhuǎn)Fourier 譜的風(fēng)速時(shí)程具有兩個(gè)基本特點(diǎn):①風(fēng)速時(shí)程幅值有一定增大,但不是特別顯著;②風(fēng)速時(shí)程振動(dòng)頻率有大幅度提高.這點(diǎn)極為顯著.造成這些差別的主要原因在于旋轉(zhuǎn)點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程不僅體現(xiàn)了風(fēng)速自身的脈動(dòng)特性,而且還刻畫(huà)了旋轉(zhuǎn)槳葉高度周期性變化引起的風(fēng)速波動(dòng).總體上,塔體上某點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速具有時(shí)變性,而旋轉(zhuǎn)槳葉上某點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程具有時(shí)變、空間變化雙重特性.在考慮槳葉旋轉(zhuǎn)效應(yīng)之后,槳葉脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程幅值存在一定增長(zhǎng),振動(dòng)頻率會(huì)有大幅度提高,從而必然會(huì)對(duì)風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)極值荷載和疲勞荷載產(chǎn)生重要影響.這正是研究槳葉旋轉(zhuǎn)效應(yīng)、提出旋轉(zhuǎn)Fourier 譜的根本意義.

圖5 同一槳葉上不同點(diǎn)的平均風(fēng)速時(shí)程比較Fig.5 Mean wind velocities at different computing points of the same blade

圖6 不同槳葉上半徑相同點(diǎn)的平均風(fēng)速時(shí)程比較Fig.6 Mean wind velocities at different computing points with the same radius

圖7 計(jì)算點(diǎn)1, 2,3 處的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程Fig.7 Fluctuating wind velocities at computing points 1,2 and 3

圖8 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程與固定點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程比較(100～150 s)Fig.8 Comparison between the fluctuating wind velocities of the rotating point and the stationary point(100～150 s)

圖9 給出了槳葉第3 點(diǎn)處仿真脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的計(jì)算旋轉(zhuǎn)Fourier 幅值譜和目標(biāo)旋轉(zhuǎn)Fourier 幅值譜的比較圖,其中,旋轉(zhuǎn)Fourier 幅值譜是由模擬生成的10 000 次、持時(shí)為600 s 的風(fēng)速時(shí)程的Fourier 變換幅值經(jīng)平均計(jì)算得到,而目標(biāo)旋轉(zhuǎn)Fourier 幅值譜是將T=600 s,z0=0.029 m 和v10=14.71 m ·s-1代入表達(dá)式(16)得到.其他各點(diǎn)的分析結(jié)果與第3點(diǎn)相似,茲不贅述.結(jié)果表明,仿真脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程符合結(jié)構(gòu)所在場(chǎng)地風(fēng)荷載統(tǒng)計(jì)特性,滿足了模擬仿真的要求.

圖9 點(diǎn)3的計(jì)算旋轉(zhuǎn)Fourier 譜與目標(biāo)旋轉(zhuǎn)Fourier 譜比較Fig.9 Comparison between the numerical rotational Fourier spectrum and the target rotational Fourier spectrum(point 3)

5 結(jié)語(yǔ)

基于物理機(jī)制的旋轉(zhuǎn)Fourier 互譜,準(zhǔn)確反映了作用在旋轉(zhuǎn)槳葉上風(fēng)速隨機(jī)過(guò)程的物理本質(zhì),有效地考慮了槳葉的旋轉(zhuǎn)效應(yīng),并體現(xiàn)了槳葉上不同點(diǎn)風(fēng)速之間的相關(guān)性,為準(zhǔn)確確定槳葉風(fēng)荷載奠定了基礎(chǔ).

實(shí)現(xiàn)了風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)的風(fēng)場(chǎng)模擬.風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)風(fēng)場(chǎng)模擬可分為槳葉、塔體兩部分.其中,槳葉風(fēng)場(chǎng)模擬需考慮槳葉旋轉(zhuǎn)效應(yīng).依據(jù)本文風(fēng)速譜的建模機(jī)制,槳葉(塔體)風(fēng)場(chǎng)模擬本質(zhì)上為旋轉(zhuǎn)Fourier 譜(隨機(jī)Fourier 譜)的逆Fourier 變換過(guò)程.研究表明,計(jì)算旋轉(zhuǎn)Fourier 幅值譜與目標(biāo)旋轉(zhuǎn)Fourier 幅值譜吻合良好,本仿真算法可以合理地模擬作用于風(fēng)力發(fā)電高塔系統(tǒng)的風(fēng)速時(shí)程.

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