基于積分法的鋁合金厚板深度殘余應(yīng)力分析

廖凱 ，吳運(yùn)新，龔海

(1. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長沙，410083；2. 桂林電子科技大學(xué) 教學(xué)實踐部，廣西 桂林 541003)

測試金屬表面殘余應(yīng)力的方法有多種，應(yīng)用廣泛的有鉆孔法、X線衍射法[1?2]等。在對金屬內(nèi)部殘余應(yīng)力進(jìn)行測試的方法中，無損檢測技術(shù)有中子衍射方法，但這種方法所要求的實驗硬件條件在國內(nèi)還無法實現(xiàn)，因此，在金屬內(nèi)部特別是在板材內(nèi)部，殘余應(yīng)力的檢測均為有損檢測，其中層削法和裂紋柔度法最常用[3?4]。1931 年 St?blein 等采用層剝法對直梁內(nèi)應(yīng)力進(jìn)行了測定[5]，并推導(dǎo)了應(yīng)用于方板上的數(shù)學(xué)模型。而裂紋柔度法是一種較新被研究和應(yīng)用的測試方法。一些研究者結(jié)合有限元法簡化了應(yīng)力因子的計算，用常規(guī)方法檢測殘余應(yīng)力，如 Prime等[6?9]利用有限元法計算裂紋柔度系數(shù)，推廣了裂紋柔度測試級數(shù)，并認(rèn)為所有這類應(yīng)力有損檢測方法的數(shù)學(xué)模型都可以用第一類 Volterra積分來描述并求解。國內(nèi)王樹宏等[10?13]運(yùn)用上述求解方法對鋁合金厚板全厚度殘余應(yīng)力進(jìn)行了測試研究。在層削測試方法[11]的基礎(chǔ)上采用一種具有離散法性質(zhì)的計算方法，這種算法對復(fù)雜應(yīng)力狀況缺乏穩(wěn)定的連續(xù)描述能力。為此，本文作者將線性積分形式在層削法和裂紋柔度法數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用進(jìn)行歸納和總結(jié)，分析這2種測試方法的建模過程和計算特點(diǎn)，并結(jié)合實驗，對這2種測試方法的計算結(jié)果進(jìn)行比較和分析。

1 積分法

由于機(jī)械加工和采用熱處理工藝，鋁合金材料不可避免地產(chǎn)生內(nèi)部殘余應(yīng)力[14]。殘余應(yīng)力是一種產(chǎn)生于材料內(nèi)部的自平衡彈性力，測試厚板殘余應(yīng)力的力學(xué)方法一般為：沿厚度方向，按一定增量步長(厚度)，通過機(jī)械方法剝除或破壞帶有應(yīng)力的厚度層，從而使相鄰試件因力平衡狀態(tài)的改變而變形，用測得的變形反求出剝除層應(yīng)力。在測試中，由于是用某一點(diǎn)的應(yīng)變衡量整個厚板的變形，樣本的變形量與剝除層待求應(yīng)力所依據(jù)的實體分離，測定并不在同一個區(qū)域或同一個點(diǎn)，因此，無法直接通過變形來反求應(yīng)力。求解方法可用積分法。Schajer等[15]通過對有損測試方法研究后提出：第一類Volterra積分形式描述這種應(yīng)力?應(yīng)變的關(guān)系非常有效，即試件剝除后的變形量是剝除層應(yīng)力與變形對應(yīng)力敏感函數(shù)(核函數(shù))在剝除厚度上的積分。這類求解方法稱為積分法，該法用離散實驗數(shù)據(jù)求解得到 1條連續(xù)變化的應(yīng)力場分布曲線，其方程為：

式中：t為剝除層厚度；σ(H)是板厚為H時的初始應(yīng)力；ε(t)為實測應(yīng)變；f(H,t)為變形對板厚H處應(yīng)力的敏感函數(shù)即核函數(shù)。

1.1 層削法(Removal layer method)

由軋制?淬火厚板熱應(yīng)力形成的對稱性特點(diǎn)可知，厚板應(yīng)力為平面應(yīng)力，為簡化分析，設(shè)沿板材厚度z向的殘余應(yīng)力為0，且對稱于厚度中性面，σz=0，σx= σx(z )， σy= σy(z)，1/2厚板切削過程示意圖如圖1所示。測量時，應(yīng)變片貼于厚板中心處。

圖1 試件層削法力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of removal layer method

式中：ν為泊松比。以x向應(yīng)變?yōu)槔瑲堄鄳?yīng)力分布力和力矩平衡條件為：

其中：H為板厚。在剝除層深度為t時，應(yīng)力平衡條件改變，附加力和附加力矩產(chǎn)生的附加應(yīng)力 σFx(t)和σMx(t )與初始應(yīng)力 σx( z)疊加，構(gòu)成新的平衡狀態(tài)，滿足：

由剝除層后附加力和附加彎矩產(chǎn)生變形的實測應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中：E為彈性模量。則應(yīng)力?應(yīng)變積分形式為：

假設(shè)待求殘余應(yīng)力為多項式 P，求解出待定系數(shù)Ai和 Bi即可。

聯(lián)立式(6)～(7)可以求解待定系數(shù)[16]。假設(shè)對式(6)～(7)都以相同階次多項式近似，則

1.2 裂紋柔度法(Crack compliance method)

該法是在被測物表面引入1條逐漸深入的裂紋，使裂紋處殘余應(yīng)力釋放，通過測量裂縫對面處的應(yīng)變計算殘余應(yīng)力。測試力學(xué)方法如圖2所示。由于該法既可測試表面應(yīng)力，也可測試深度方向應(yīng)力，因此，應(yīng)變片可以根據(jù)需要在不同的地方布置，對深度應(yīng)力的描述要求應(yīng)變片貼在板的底面上且底面和裂紋的交點(diǎn)處。此點(diǎn)對殘余正應(yīng)力的響應(yīng)最大，對殘余剪切應(yīng)力的響應(yīng)為 0。而測試表面應(yīng)力時，可將片貼在靠近裂紋的上表面處。

圖2 試件裂紋柔度法力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of crack compliance method

試件內(nèi)正應(yīng)力 σx( z)在裂紋作用下，在距離裂紋s的應(yīng)變片處產(chǎn)生水平位移u。假設(shè)在該位移處有一虛擬力 F，可作為沿寬度方向歸一化處理的點(diǎn)載荷，則由裂紋產(chǎn)生的應(yīng)變能Uε為：

其中：KI(t )和(t,s )為分別由正應(yīng)力和虛擬力引起的Ⅰ型應(yīng)力因子。運(yùn)用卡氏定理，上表面斷裂處水平位移為：

Cheng等[17]給出了求解Ⅰ型應(yīng)力因子的方法，其中由虛擬點(diǎn)載荷F引起的正應(yīng)力與位置函數(shù) S(s, z)有關(guān)。當(dāng)求裂紋正下方處的應(yīng)變時，只需要將S(s, z)替換為S(s, H?z)，并令s=0即可。

初始?xì)堄鄳?yīng)力 σx( z)沿厚度方向應(yīng)該是對稱的且分布曲線光滑，因此，可以用多項式代替應(yīng)力形式(如式(10))：

其中：Ci為裂紋柔度函數(shù)。可以結(jié)合有限元和矩陣法[8]確定柔度矩陣和待定系數(shù)。柔度矩陣中的元素是對于深度為tj的切口處，由假設(shè)的多項式函數(shù)Pi(x)所導(dǎo)致的應(yīng)變 ε ( tj)。由于待定系數(shù)(多項式階次+1)小于切割次數(shù)，因此，聯(lián)立式(12)，運(yùn)用LSF求解待定系數(shù)Ai。

聯(lián)立式(15)和(16)求解得：

式中：ε( tj)為有限元模擬中每一次切深在切口對面處產(chǎn)生的應(yīng)變；{εmeas}為實測應(yīng)變。

2 實驗與分析

從理論建模和實驗結(jié)果分析可知：由于獲得變形的方法以及運(yùn)用的理論基礎(chǔ)存在差異，采用層削法和裂紋柔度法測試殘余應(yīng)力并非都可以得到滿意的結(jié)果，測試結(jié)果存在差異。

2.1 實驗方法

為驗證上述2種測試方法在不同應(yīng)力厚板測試中的測試效果及差異性，實驗選用7075軋制厚板，熱處理工藝為：固溶480 ℃×2 h，20 ℃水淬+24 h自然時效。測試分2組：

(1) 非均勻應(yīng)力場測試。用長×寬×高為 160 mm×160 mm×32 mm的厚板2塊，直接于20 ℃水浴淬火。由于受淬火邊緣效應(yīng)的影響，待測厚板在同一深度上平面應(yīng)力分布不均勻程度和應(yīng)力較大。

(2) 均勻應(yīng)力場測試。先將長×寬×高為 1 200 mm×220 mm×32 mm 的實驗厚板用噴水(20 ℃)淬火，殘余應(yīng)力與前者相比較低；再從厚板中部截取長×寬×高為120 mm×120 mm×32 mm厚板2塊，以保證應(yīng)力在軋制方向和橫向比較均勻。對每一組分別進(jìn)行層削法和裂紋柔度測試實驗，在層削法實驗中，在LEADWELL V?60A數(shù)控加工中心進(jìn)行銑削。為減小加工應(yīng)力的影響，銑刀轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，進(jìn)給速度為50 mm/min[18]。裂紋柔度法時，裂紋引入型號為DK系列線切割機(jī)，進(jìn)給速度為3 mm/min，頻率為85 Hz。

非均勻板由于受邊緣和二維表面淬火影響，應(yīng)力沿平面2個方向分布極不均勻，極易形成非均勻應(yīng)力場，而均勻板由于取自大尺寸板心部，根據(jù)圣維南原理，應(yīng)力沿平面2個方向分布較均勻。為了便于比較，在不影響實驗真實性前提下，根據(jù)假設(shè)，對實驗數(shù)據(jù)沿板厚進(jìn)行對稱化處理。

圖3 層削法與裂紋柔度法測試結(jié)果對比Fig.3 Comparison of solution between removal layer method and crack compliance method

2.2 結(jié)果分析

在力學(xué)建模的假設(shè)條件中，殘余應(yīng)力沿厚度方向變化，在其他2個方向均勻不變。但無論是均勻板還是非均勻板，平面應(yīng)力在各個方向上分布都不可能均勻。例如在某一層上，在軋制方向和橫向上應(yīng)力不均勻程度不同。圖3(a)所示為非均勻應(yīng)力厚板在2種測試方法下得到的應(yīng)力分布曲線，其中2條曲線顯示了相同的演變規(guī)律，即淬火厚板常見的“外壓內(nèi)拉”分布。比較圖3(a)中的2條曲線可以發(fā)現(xiàn)：它們的不同之處體現(xiàn)在應(yīng)力不同，用層削法計算的應(yīng)力為?180～98 MPa，其范圍明顯大于裂紋柔度法計算所得的?102～80 MPa；而相同的特征則反映在兩者計算結(jié)果于厚板中心區(qū)域所反映出來的應(yīng)力梯度變化都很小，這也反映了不同積分計算方法具有相似性。圖3(b)所示為均勻應(yīng)力厚板在 2種測試方法下的應(yīng)力分布曲線，2條曲線吻合程度提高，說明在一定條件下，2種獨(dú)立的力學(xué)測試方法都能描述厚板內(nèi)應(yīng)力，具有一定的互換性。

通過比較測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在厚板表面和中心部位應(yīng)力計算結(jié)果存在差異，這種差異可從計算方法和實驗綜合考慮。除了銑削加工應(yīng)力遠(yuǎn)大于電火花加工應(yīng)力而導(dǎo)致誤差外，由于層削法是用若干點(diǎn)的應(yīng)變平均值這個單一變量描述整個厚板變形程度和狀態(tài)，而獲得的卻是剝除層內(nèi)平均應(yīng)力，這不可避免地使計算值與真實值偏離；而裂紋柔度法所得應(yīng)力反映了裂紋處應(yīng)力的平均值，斷裂變形測試受不均勻變形的影響小，用測得的應(yīng)變反映斷裂程度較符合客觀現(xiàn)象。因此，前者的實驗測試誤差大于后者。

此外，這2種方法的力學(xué)模型都是建立在忽略了材料各向異性特點(diǎn)、假設(shè)材料均勻連續(xù)的經(jīng)典彈性和線彈性斷裂力學(xué)基礎(chǔ)上，與實際情況相比存在差異，這也給計算結(jié)果帶來了誤差。

在求解過程中，由于銑削次數(shù)遠(yuǎn)少于裂紋引入次數(shù)，求解線性方程借助最小二乘法處理的多項式系數(shù)的階次就少，因此，表征應(yīng)力曲線的準(zhǔn)確度與后者相比較低，其抗干擾能力弱。

采用層削法時，1次切削深度為2 mm左右，求解結(jié)果是整個剝除層的平均應(yīng)力，并不是某一確切位置上的應(yīng)力；而采用裂紋柔度法時，雖然可以1次切深0.5～1.0 mm，但受表面復(fù)雜應(yīng)力和板件自重的影響，靠近表面的應(yīng)力都會出現(xiàn)較大波動，需要進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。因此，采用這2種方法得到的應(yīng)力分布曲線都不能準(zhǔn)確地反映厚板表面應(yīng)力，甚至與X線表面應(yīng)力測試所得的應(yīng)力不同，而用于描述厚板沿厚度應(yīng)力場分布非常有效。這是積分法力學(xué)測試的特點(diǎn)之一。

3 結(jié)論

(1) 積分法適用于厚板殘余應(yīng)力測試方法的數(shù)學(xué)計算，如層削法、裂紋柔度法、鉆孔法等。通常這類通過力學(xué)破壞而獲得變形，從而反求應(yīng)力的計算方法，幾乎都可以運(yùn)用積分法建立變形與應(yīng)力之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

(2) 層削法可用來描述厚板沿厚度方向的平均殘余應(yīng)力分布，屬于應(yīng)力全部釋放型測試方法；裂紋柔度法則用于描述裂紋處沿厚度方向平均殘余應(yīng)力分布，屬于應(yīng)力局部釋放型測試方法，這對于描述厚板內(nèi)部殘余應(yīng)力特征有重要的意義。對內(nèi)部應(yīng)力均勻的試件，這2種測試方法所得結(jié)果很相近，然而，對不均勻試件的測試結(jié)果存在差別。

(3) 雖然厚板深度殘余應(yīng)力的測試和計算方法還需要不斷完善、發(fā)展，但在現(xiàn)有實驗條件下，采用以上 2種測試方法從不同角度對厚板內(nèi)應(yīng)力場進(jìn)行描述，仍然是目前評估厚板殘余應(yīng)力的有效方法。

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