索拱組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力建模及其內(nèi)共振分析

呂建根 ，趙躍宇，王榮輝

(1. 華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州，510641；2. 仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 城市建設(shè)學(xué)院，廣東 廣州，510225；3. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410082)

1 索拱組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程

索拱組合結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。為了建模方便，將索的運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)系xOy中描述，拱的運(yùn)動(dòng)在中描述。圖1中：θc和θg分別為索和拱的水平傾角；lc和lg分別為索和拱在相應(yīng)坐標(biāo)系中的跨度；dc和dg分別為索的初始垂度和拱的矢高。

圖1 索拱組合結(jié)構(gòu)相互作用分析模型Fig.1 Mechanical model of cable-stayed arch

對(duì)于如圖1所示坐標(biāo)系，索和拱在右端端點(diǎn)鉸接。根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件，其連接關(guān)系式如下：

式中：ug和uc分別為拱和索在長(zhǎng)度方向的縱向位移；vg和vc分別為拱和索的橫向振動(dòng)位移。

根據(jù)索的三維非線性運(yùn)動(dòng)控制方程[12]，通過化簡(jiǎn)整理可得到拉索平面運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

式中：EcAc為索的抗壓剛度；mc為索的單位長(zhǎng)度質(zhì)量；H為索的初始張力；y0為斜拉索的初始線性方程，為x的函數(shù)；cc為彈性索的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)。

由于彈性索縱向變形遠(yuǎn)小于其橫向變形，而橫向振動(dòng)頻率與縱向振動(dòng)頻率相差很大，因此，縱向慣性力可以忽略。將式(2)中第 1式兩邊同時(shí)對(duì) xc在區(qū)間[0, lc]內(nèi)積分，結(jié)合式(1)，可以得到彈性索在考慮縱向位移后的橫向運(yùn)動(dòng)微分方程：

在大跨度纜索吊裝施工過程中，懸臂拱在如圖1所示的局部坐標(biāo)系下，懸臂拱的矢跨比 dg/lg通常都小于 1/10，可以將吊裝過程中的懸臂拱當(dāng)成淺拱考慮[13]，得到考慮右端點(diǎn)縱向位移后拱橫向運(yùn)動(dòng)微分方程[14?15]：

我國(guó)會(huì)計(jì)法律法規(guī)對(duì)會(huì)計(jì)人員的職業(yè)行為和專業(yè)素質(zhì)提出了更高要求，國(guó)家關(guān)于會(huì)計(jì)工作的相關(guān)法律法規(guī)，職業(yè)道德要求是每一名會(huì)計(jì)人員在日常工作中必須遵守的規(guī)范。通過對(duì)會(huì)計(jì)人員繼續(xù)教育培訓(xùn)，確保會(huì)計(jì)隊(duì)伍全面掌握最新的法律法規(guī)，以及對(duì)會(huì)計(jì)人員工作行為的要求。在全新的歷史時(shí)期，我們應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到會(huì)計(jì)人員繼續(xù)教育也是國(guó)家法律法規(guī)管理工作提出的新要求，是加強(qiáng)會(huì)計(jì)隊(duì)伍有效管理的重要組成部分，更是加強(qiáng)會(huì)計(jì)人才隊(duì)伍建設(shè)的重要內(nèi)容。開展會(huì)計(jì)人員繼續(xù)教育培訓(xùn)的目的是為了提高會(huì)計(jì)人員的政治素養(yǎng)、業(yè)務(wù)能力、職業(yè)道德水平，使其及時(shí)更新專業(yè)知識(shí)，補(bǔ)充和拓展專業(yè)素質(zhì)。

將式(1)中的第1式代入式(4)，得到：

式中：N為拱的初始軸向力；EgIg為拱的面內(nèi)抗彎剛度；為拱在局部坐標(biāo)系中的初始拱軸線方程；cg為彈性拱的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)；mg為拱的單位長(zhǎng)度質(zhì)量；EgAg為拱的抗壓剛度。

聯(lián)立式(3)和式(5)，即得到索拱組合結(jié)構(gòu)耦合橫向運(yùn)動(dòng)方程。

2 索拱組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)共振分析

在拱橋施工過程中的索拱組合結(jié)構(gòu)中，扣索的自振頻率通常比彈性拱的自振頻率低很多，索拱之間相互激勵(lì)而產(chǎn)生的內(nèi)共振往往是扣索的高階與彈性拱的低階振動(dòng)，因而，在對(duì)索拱組合結(jié)構(gòu)相互作用的內(nèi)共振分析過程中，必須包括索拱的高階模態(tài)。下面對(duì)索拱耦合運(yùn)動(dòng)方程(3)和式(5)進(jìn)行 Galerkin高階模態(tài)截?cái)?，設(shè)

其中： φn(x)和?n(x)分別為索和拱的振型函數(shù)；qn(t)和( t )分別為索和拱的振動(dòng)函數(shù)。

將式(6)代入式(3)和式(5)，在式(3)兩邊乘以 φi(x)并在[0, lc]內(nèi)積分，在式(5)式兩邊乘以?i()并在[0, lg]內(nèi)積分，利用振型函數(shù)的正交性，得到索拱組合結(jié)構(gòu)

多階離散動(dòng)力學(xué)方程：

在實(shí)際運(yùn)算過程中，均取 i=n。對(duì)式(7)和(8)進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)式(7)兩邊同除以，對(duì)式(8)兩邊同除以，引入任意小的正數(shù)ε，并定義系數(shù)(見文獻(xiàn)[16])，代入式(7)和式(8)，可得到：

采用多尺度攝動(dòng)方法尋找qn和的一致漸近解，引入快變時(shí)間尺度T0=t和慢變時(shí)間尺度T1=ε t ，設(shè)解的形式如下：

將式(10)代入式(9)，可以得到索拱組合結(jié)構(gòu)的一階近似方程：

式(11)復(fù)數(shù)形式的解為：

將式(12)代入二階近似方程并整理得：

式中：cc為 c相應(yīng)的共軛項(xiàng)。從式(13)可以看出：當(dāng)時(shí)，索和拱之間存在相互作用的內(nèi)共振；同時(shí)，由于索和拱的自振頻率相差很大，若進(jìn)行低階模態(tài)截?cái)啵瑒t只有索和拱自身模態(tài)之間的亞諧波和超諧波內(nèi)共振產(chǎn)生，索拱之間不會(huì)相互作用而產(chǎn)生內(nèi)共振，但是，若考慮索和拱的高階模態(tài)，則在索的高階模態(tài)和拱的低階模態(tài)之間將產(chǎn)生內(nèi)共振。因此，對(duì)索和拱組合結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行相互作用的非線性動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，應(yīng)進(jìn)行高階模態(tài)截?cái)?，而且隨著模態(tài)的增加，內(nèi)共振模式將大大增加。

3 索拱組合結(jié)構(gòu)內(nèi)共振的數(shù)值模擬

為了證實(shí)所建立的索拱組合結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)模型及分析理論的正確性，以某鋼管混凝土拱橋纜索吊裝施工過程中第1節(jié)段結(jié)構(gòu)體系為數(shù)值研究對(duì)象，忽略扣塔振動(dòng)的影響，建立索拱組合結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)力學(xué)模型(參考圖1)，索和拱的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別見表1和表 2。求解方程系數(shù)，可知該結(jié)構(gòu)體系為弱非線性動(dòng)力學(xué)問題。

表1 索的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structural parameters of cable

表2 拱的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structural parameters of the arch

給定索和拱的初始位移均為0.01 m，繪制索和拱的100 s時(shí)間歷程曲線，見圖2。從圖2可以看出：在非共振情形下，索和拱之間的振動(dòng)相互耦合非常弱，索和拱的振幅都約等于初始位移，因此，若索拱組合結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)都處在結(jié)構(gòu)的非共振區(qū)域以內(nèi)，則索和拱的動(dòng)力學(xué)特性可以單獨(dú)進(jìn)行分析，可不考慮振動(dòng)時(shí)索和拱之間的相互影響。

圖2 索拱組合結(jié)構(gòu)非內(nèi)共振情形下的時(shí)間歷程Fig.2 Time history of cable-stayed arch structure under non-resonance state

圖3 索拱組合結(jié)構(gòu)內(nèi)共振情形下的時(shí)間歷程Fig.3 Time history of cable-stayed arch under internal resonance state

從數(shù)值分析結(jié)果可知：在非內(nèi)共振情況下，索和拱的最大振幅都與初始位移基本相同，分別為9.7 mm和 9.8 mm；而在內(nèi)共振情況下，索的最大振幅達(dá)到60.5 mm，拱的最大振幅為9.9 mm。說明在內(nèi)共振情況下，拱對(duì)索的激勵(lì)效果非常明顯，導(dǎo)致拉索產(chǎn)生大幅度振動(dòng)，而索對(duì)拱的激勵(lì)很小，基本上可以忽略。其主要原因是索拱相互激勵(lì)的效果與索拱之間的單位質(zhì)量比、抗壓剛度比及抗彎剛度比等有密切關(guān)系。

4 結(jié)論

(1) 利用索拱組合結(jié)構(gòu)的連接條件及邊界條件，建立了索拱組合結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力耦合運(yùn)動(dòng)學(xué)控制方程。

(3) 當(dāng)索拱組合結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)都在非共振區(qū)域時(shí)，索和拱的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)均可單獨(dú)進(jìn)行分析，并可不考慮耦合作用。

(4) 當(dāng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)在索和拱的內(nèi)共振區(qū)域時(shí)，在設(shè)計(jì)過程中，索與拱之間的相互耦合作用是不容忽視的關(guān)鍵問題。

(5) 在索拱內(nèi)共振時(shí)，一般可以忽略索對(duì)拱的激勵(lì)，但不能忽略拱對(duì)索的激勵(lì)，其激勵(lì)效果與索拱之間的單位質(zhì)量比、抗壓剛度比及抗彎剛度比等有關(guān)。

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