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    具有切換拓?fù)浜蜁r滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制研究

    2010-11-27 01:35:51周武能王天波鐘慶昌方建安
    關(guān)鍵詞:信息科學(xué)適應(yīng)控制東華大學(xué)

    周武能 王天波 鐘慶昌 方建安

    (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620 中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與技術(shù)研究所無線傳感器網(wǎng)絡(luò)與通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200050) (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620;上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院,上海 200051) (拉夫堡大學(xué)航空與汽車工程學(xué)院,萊斯特 英國 LE11 3TU) (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620)

    具有切換拓?fù)浜蜁r滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制研究

    周武能 王天波 鐘慶昌 方建安

    (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620 中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與技術(shù)研究所無線傳感器網(wǎng)絡(luò)與通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200050) (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620;上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院,上海 200051) (拉夫堡大學(xué)航空與汽車工程學(xué)院,萊斯特 英國 LE11 3TU) (東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,上海 201620)

    利用 Lyapunov 穩(wěn)定性理論、Kronecker 乘積分析技巧以及自適應(yīng)控制方法,研究了具有切換拓?fù)浜蜁r滯(時滯同時包含離散和分布時滯,且網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不是固定不變的,而是按照Markov鏈進(jìn)行切換)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制問題,給出了一些同步條件和自適應(yīng)控制器的設(shè)計方法(此控制器依賴于滯后狀態(tài)和Markov鏈),最后以數(shù)值算例說明該方法的有效性。

    自適應(yīng)同步;復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);時滯;Lyapunov 穩(wěn)定性

    近年來,隨著因特網(wǎng)、萬維網(wǎng)、電話網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為科學(xué)研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)問題[1~4]。網(wǎng)絡(luò)同步作為網(wǎng)絡(luò)最重要的一個動態(tài)行為,已經(jīng)得到了廣泛的研究,并取得了一些重要結(jié)果[5~10]。時滯作為網(wǎng)絡(luò)中的常見現(xiàn)象,往往會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)行中出現(xiàn)振蕩和不穩(wěn)定。因此,對具有時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值[11~16]。

    當(dāng)前對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究主要是針對具有固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)[8,9,11]。然而,在實(shí)際應(yīng)用中,還存在著大量拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)隨時間隨機(jī)變化的網(wǎng)絡(luò),此時網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量和連接邊是隨機(jī)變化的,于是對隨機(jī)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究是必要的。文獻(xiàn)[15]利用 Kronecker 乘積和隨機(jī)分析工具,研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題,而且給出了網(wǎng)絡(luò)同步條件;文獻(xiàn)[16]采用分割時滯的方法,構(gòu)造出一個新穎的Lyapunov 函數(shù),得到了一類隨機(jī)時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步條件。

    下面,筆者利用自適應(yīng)控制方法研究一類具有切換拓?fù)涞臅r滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題,給出了一些關(guān)于具有切換拓?fù)涞臅r滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步條件。

    1 問題描述

    用到的記號如下:Rn和Rn×m分別表示n維歐氏空間和n×m實(shí)矩陣;AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置;對于給定的對稱矩陣X和Y,X≥Y(Xgt;Y)表示X-Y是一個對稱半正定矩陣(正定矩陣);In表示n階單位矩陣;“* ”表示矩陣中關(guān)于主對角線對稱的元素;C(Rn,Rn)表示從Rn到Rn的連續(xù)向量值函數(shù);?代表Kronecker乘積;λ(H)表示矩陣H的特征值。

    考慮如下有N個節(jié)點(diǎn)通過線性耦合組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),每個節(jié)點(diǎn)是一個n維子系統(tǒng):

    Markov鏈σ(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣∏=[πij]∈Rq×q滿足:

    (2)

    式中:

    (3)

    πijgt;0(i≠j;i,j∈S)是從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率:

    (4)

    外耦合矩陣G(σ(t))=(gij(σ(t)))N×N∈RN×N和H(σ(t))=(hij(σ(t)))N×N∈RN×N代表網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),并且按照Markov鏈σ(t)隨機(jī)跳躍;gij(σ(t))和hij(σ(t))的定義如下:如果節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間存在信息交換,則gij(σ(t))=1或hij(σ(t))=1;否則,gij(σ(t))=0或hij(σ(t))=0,而且,矩陣G(σ(t))和H(σ(t))中的元素滿足:

    為描述方便,記:

    σ(t)=r(r=1,2,…,q)

    G(σ(t))=G(r)=GrH(σ(t))=H(r)=Hr

    F(x(t))=(fT(x1(t)),fT(x2(t)),…,fT(xN(t)))T

    則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)可以寫成如下形式:

    (5)

    注1 與一些已有的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果(如文獻(xiàn)[10,13~14])不同,網(wǎng)絡(luò)(1)中外耦合矩陣是隨機(jī)躍變而不是固定的,這更加符合實(shí)際。

    設(shè)同步的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)是:

    (6)

    一般地,y(t)可能是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)、周期環(huán)或者是混沌吸引子。筆者的目的是對每個節(jié)點(diǎn)設(shè)計自適應(yīng)控制率ui(t),使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)與y(t)同步,即:

    式(1)減去式(6),且令ei(t)=xi(t)-y(t),得:

    即:

    (8)

    筆者所設(shè)計的自適應(yīng)控制律為:

    ui(t)=-ki(t)ei(t)-wi(t)ei(t-d)

    式中,ki(t)和wi(t)是時變控制增益,滿足:

    (9)

    (10)

    式中,αi≠0,βi≠0(i=1,2,…,N)和Pr(r∈S)分別是待定的常數(shù)和對稱正定矩陣。

    自適應(yīng)控制器式(9)和式(10)依賴于誤差狀態(tài)ei(t)和滯后ei(t-d),如果將控制律寫成:

    ui(t)=-(ki(t)+wi(t))ei(t)+wi(t)(ei(t)-ei(t-d))

    這正是文獻(xiàn)[17]中的滯后型PID控制器。

    2 假設(shè)條件和重要引理

    假設(shè)1 對于給定的狀態(tài)xi(t)和y(t),非線性函數(shù)f(·)∈C(Rn,Rn)滿足:

    (xi(t)-y(t))TP[f(xi(t))-f(y(t))]≤-η(xi(t)-y(t))T(xi(t)-y(t))

    式中,Pgt;0是對稱正定矩陣;ηgt;0是已知常數(shù)。

    假設(shè)2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)是連通的,也就是說,網(wǎng)絡(luò)中不存在孤立節(jié)點(diǎn)。

    引理1 已知w(t):[hm,hM]→Rn是可積向量函數(shù),則對于任意給定的正定矩陣Ω∈Rn×n和常數(shù)hmgt;0,hMgt;0,有:

    式中,h1(t)和h2(t)是可微函數(shù)且滿足0lt;hm≤h1(t)≤h2(t)≤hM。

    引理2[20]Kronecker乘積?具有下列性質(zhì):

    1)(A+B)?C=A?C+B?C,C?(A+B)=C?A+C?B;

    2)(A?B)T=AT?BT;

    3)(A?B)-1=A-1?B-1;

    4)(A?C)(B?D)=AB?CD。

    式中,A,B,C,D是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

    記:

    K(t)=diag{k1(t),k2(t),…,kN(t)}?In

    W(t)=diag{w1(t),w2(t),…,wN(t)}?In

    E=(1,1,…,1)T∈RNΛα=diag{α1,α2,…,αN}Λβ=diag{β1,β2,…,βN}

    1-h1=μ11-h2=d2μ2

    則有:

    式中,Pr,Q1,Q2,Q3是對稱正定矩陣;IN是N階單位矩陣。

    3 主要結(jié)論

    定理1 在假設(shè)1和假設(shè)2下,如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Q3gt;0,Prgt;0(r∈S)和常數(shù)αi≠0,βi≠0(i=1,2,…,N),ηgt;0滿足:

    (11)

    證明取Lyapunov函數(shù)為:

    V(t)=V1(t)+V2(t)

    將V1(t)和V2(t)分別沿系統(tǒng)(8)的狀態(tài)軌線求導(dǎo),得:

    =eT(t)(IN?Pr)[F(x(t))-F(y(t))+c1(Gr?Γ1)e(t-τ1(t))

    -eT(Λα?Pr)e(t)-eT(Λβ?Pr)e(t-d)

    (12)

    根據(jù)假設(shè)1,有:

    eT(t)(IN?Q1)(F(x(t))-F(y(t)))≤-ηeT(t)e(t)=-ηeT(t)(IN?In)e(t)

    利用式(12)~(16),得:

    (17)

    式中:

    再利用Schur補(bǔ)引理可知,如果不等式(11)成立,則ψlt;0。所以:

    注3 在定理1的證明中,筆者用的是完全平方公式而不是不等式±2aTb≤aTPa+bTP-1b,這樣得到的結(jié)果具有較小的保守性。

    作為一個特例,當(dāng)σ(t)=1時,可以得到如下的推論。

    推論1 在假設(shè)1和假設(shè)2下,如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Q3gt;0,Pgt;0和常數(shù)αi≠0,βi≠0(i=1,2,…,N),ηgt;0滿足:

    (18)

    則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò):

    (19)

    當(dāng)自適應(yīng)控制律不含時滯項(xiàng)時,即ui(t)=-ki(t)ei(t),有如下推論。

    推論2 在假設(shè)1和假設(shè)2下,如果存在正定對稱矩陣Q1gt;0,Q2gt;0,Prgt;0(r∈S)和常數(shù)αi≠0(i=1,2,…,N),ηgt;0滿足:

    (20)

    注4 利用Matlab中的mincx命令,可以通過求解不等式(11)得到η的最優(yōu)值。

    4 數(shù)值算例

    考慮一個由5個節(jié)點(diǎn),每個節(jié)點(diǎn)都是三維子系統(tǒng)以及2個切換模態(tài)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1),函數(shù)f(xi)=(-2.5xi1,-2xi2,-3xi3)T,當(dāng)取η=3,c1=0.4,c2=0.7時,假設(shè)1滿足。假定外耦合矩陣分別是:

    圖1 目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌線

    利用Matlab中的線性矩陣不等式工具箱,可以得到不等式(11)的可行解為:

    P1=diag{0.0602,0.0648,0.0654}

    P2=diag{0.0503,0.0574,0.0621}

    Q1=diag{0.7842,0.7994,0.8200}

    Q2=diag{0.7524,0.7449,0.7292}

    Q3=diag{0.8652,0.8864,0.8964}

    在自適應(yīng)控制律的作用下,誤差系統(tǒng)(8)的狀態(tài)軌線如圖2和圖3。圖2表明誤差系統(tǒng)是穩(wěn)定的,5個節(jié)點(diǎn)是同步的。圖3表明當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步后,控制器的增益為常數(shù)。

    圖2 誤差系統(tǒng)的狀態(tài)軌線(i=1,2,…,5)

    5 結(jié) 語

    利用 Lyapunov-Krasovskii 穩(wěn)定性理論,完全平方公式和 Kronecker 乘積分析技巧,研究了具有切換拓?fù)浜蜁r滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制問題,得到了網(wǎng)絡(luò)同步的一些條件和控制器的設(shè)計方法。數(shù)值仿真說明筆者的方法是有效的。

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    [編輯] 洪云飛

    O231.5

    A

    1673-1409(2010)03-N001-08

    2010-06-27

    國家“863計劃”項(xiàng)目(2008AA042902);國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61075060,60874113);中國高等教育博士研究基金項(xiàng)目(200802550007);上海市教委科學(xué)研究和創(chuàng)新項(xiàng)目(09ZZ66);上海市基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(09JC1400700);工業(yè)控制技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目。

    周武能(1959-),男,1982年大學(xué)畢業(yè),博士,教授,現(xiàn)主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性與同步、隨機(jī)系統(tǒng)分析與綜合、魯棒H無窮控制等方面的教學(xué)與研究工作。

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