一維AB結(jié)構(gòu)的電磁特異材料的有效媒質(zhì)參量確定

鄧文華， 蔣練軍*， 鄧躍龍， 萬小軍

(1.湖南城市學(xué)院物理與電子信息工程系，中國 益陽 413000；2.益陽醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校公共課部，中國 益陽 413000)

電磁特異材料是由一些人工制備的電磁共振單元組成，當探測電磁波的波長遠大于組成單元的晶格常數(shù)時，特異材料可以被看作是一種均勻的有效媒質(zhì)，它具有等效介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，這就是有效媒質(zhì)的概念[1]．當人們制備出了特異材料樣品后，它是否可以被等效為有效媒質(zhì)，如果可以等效的話如何計算其有效的介電常數(shù)εeff和磁導(dǎo)率μeff，這些都是特異材料的研究中非?；竞椭匾膯栴}． 對于如何計算體系的等效介電參量，Pendry在1996年提出的金屬線立方格子結(jié)構(gòu)，其有效的介電常數(shù)εeff是利用等效近似的方法得出的經(jīng)驗公式[2]；另一類方法是通過對特異材料體系內(nèi)非均勻的局域場做積分平均的方法來定義體系的有效媒質(zhì)[3,4]；另外有人提出了等效回路模型來計算體系的有效媒質(zhì)[5-7]．嚴格來說，這些方法都是一些近似理論. 其近似的程度有多大，成立范圍是什么，這些都值得進一步探討．計算體系的有效媒質(zhì)參量，有一種大家熟知的方法，就是利用特異材料的透射和反射信息來求解體系的等效介電參量，因為它包含了體系的折射率和阻抗的信息，可以通過反解的方法求得，這就是S參量反解方法[8-9]．盡管人們已經(jīng)提出了很多有效的媒質(zhì)理論和計算方法，它們也在不同方面獲得了巨大成功，但是傳統(tǒng)方法仍然存在一些問題．例如，S參量反解法存在解非唯一的問題；在有些情況下，當真空中的波長大于特異材料的晶格常數(shù)時，即滿足長波近似條件，體系依然不能被等效為有效媒質(zhì)[10]；有的時候從薄的特異材料體系計算出的有效媒質(zhì)不能適用于厚的體系[11-12]，這個現(xiàn)象非常奇怪，因為體系的有效介電性質(zhì)應(yīng)該是其局域特性，并不應(yīng)該依賴于體系的厚度．面對這些問題，我們覺得非常有必要進一步探討體系的有效媒質(zhì)參量的計算方法，本文基于推廣的相干勢近似(Generalized Coherent Potential Approximation，簡稱GCPA)的方法[13]，采用研究特異材料有效媒質(zhì)性質(zhì)的“準?！狈椒?，將特異材料放入背景材料中，利用格林函數(shù)的方法來計算一維AB結(jié)構(gòu)的電磁特異材料體系的自能，態(tài)密度，從而確定體系的有效媒質(zhì)性質(zhì)．

1 物理模型與理論基礎(chǔ)

圖1 GCPA方法計算特異材料有效媒質(zhì)性質(zhì)的原理圖

如圖1，將電磁特異材料放入背景材料中，當計算特異材料有效媒質(zhì)的時候，我們通常考慮周期性的特異材料結(jié)構(gòu)，這樣不僅利于計算，而且利于實驗上制備樣品．考慮電磁波在特異材料結(jié)構(gòu)中的散射問題，為了使問題簡化，我們選取一層特異材料進行研究而把其他區(qū)域替換成背景媒質(zhì)，其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別用εref和μref來表示，而且它們可以被任意的調(diào)控．我們選取的這一層有效媒質(zhì)足夠厚，它的性質(zhì)可以代表特異材料整體的性質(zhì)．在這種簡化下，電磁波的傳播可以通過格林函數(shù) (Green Function)方法進行求解[13]．

考慮電磁波垂直入射到特異材料層的情況，并且確定入射波的極化，這種情況下我們的問題可以簡化為一維標量方程的求解，定義一個格林函數(shù)

(1)

(2)

(3)

G=G0+G0VG=G0+G0TG0，

(4)

其中的T=V+G0VG0+G0VG0VG0+…=V(1-G0V)-1是標準的T矩陣．

若對散射體系進行均勻化，我們需要對散射體系做構(gòu)型平均[13]，做過構(gòu)型平均的格林函數(shù)可寫為：

〈G〉c=G0+G0〈T〉cG0.

(5)

定義函數(shù)

(6)

利用(6)并運用傅立葉變換將格林函數(shù)寫為：

(7)

我們發(fā)現(xiàn)公式(7)中∑正是電磁波傳播過程中電磁波模的自能(Self-Energy)，這和研究電子結(jié)構(gòu)中的自能項非常類似[14]．(7) 式說明了電磁波在特異材料體系中傳播時，它仍然可以視作一個自由的模式，只是多了自能修正項．

根據(jù)散射理論[13]，在弱散射極限下，自能可以寫成：

∑(ω,k)≈T(k,k)/L.

(8)

它和體系沿入射方向的散射振幅有關(guān)，這里的L是體系的尺寸因子，起歸一化的作用．下面來求解T矩陣，由于電場滿足(1)式，我們可以利用格林函數(shù)和T矩陣進行求解：

(9)

其中|φ0〉=exp(ikrefr-ωt)是在背景媒質(zhì)中的自由波函數(shù)．這里省略了時間因子e-iωt．假設(shè)已經(jīng)求解出體系的S參量，那么利用極限討論可以得到如下結(jié)果:

φ(z)=S21eikrefz,z→∞,φ(z)=eikrefz+S11e-ikrefz,z→-∞.

(10)

利用(9)和(10)式可以得到

T(kref,kref)=2krefi(S21-1),T(-kref,kref)=2krefiS11.

(11)

由此不難發(fā)現(xiàn)，自能∑可以通過計算S參量得到．

接下來討論如何確定特異材料的有效介電參量，方法是利用GCPA的思想，通過改變背景媒質(zhì)的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref使得體系的自能為零.此時特異材料的有效介電參量就和背景媒質(zhì)的介電參量相同，從而得到體系的有效媒質(zhì)．但是GCPA的思想在大多數(shù)情況下并不適應(yīng)，因為體系的散射損耗總是存在的，特別是當電磁波的頻率接近體系的共振頻率時，系統(tǒng)的散射損耗更大，因此很難使得體系的自能為零．為了解決這個問題，我們將GCPA的方法進行擴展，通過定義電磁波態(tài)密度函數(shù)DOS來確定體系的有效媒質(zhì)參量，其定義為:

(12)

態(tài)密度函數(shù)DOS不同于傳統(tǒng)的概念，其物理意義是：在頻率為ω處波矢量為k的電磁波模式的存在概率．在特定頻率下，能使得DOS最大化的波矢k決定該頻率處電磁波的模式．在一個純凈的系統(tǒng)中，體系的自能為零，體系的態(tài)密度DOS是一個Delta函數(shù)，體系中的電磁波模式是一個純凈完美的模式；但是在一個散射系統(tǒng)中，體系的態(tài)密度DOS不再是一個Delta函數(shù)，體系中的電磁波模式也不再是一個純凈完美的模式，而是一個“準?！?Quasi Mode)．

因此可將態(tài)密度寫成如下形式：

(13)

其中的自能項∑eff是背景材料的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref的函數(shù)．在這個近似下，態(tài)密度函數(shù)只依賴于εref，μref，因此只需要調(diào)節(jié)這2個量使得DOS最大，體系的有效介電常數(shù)εeff和磁導(dǎo)率μeff就等于背景材料的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref．

2 理論的數(shù)值模擬

在這一部分，我們通過一維AB結(jié)構(gòu)的特異材料體系來驗證“準?！崩碚摚浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示，包圍特異材料的背景媒質(zhì)的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref可以任意調(diào)節(jié)．為了方便起見，只計算一個單元的特異材料，在x，y方向使用周期性邊界條件，因此體系在x，y方向等效為特異材料的周期性陣列，單元在x，y，z方向的晶格常數(shù)為16 mm×6 mm×7.5 mm．電磁波沿z方向傳播，電場沿x方向，磁場沿y方向．對于一維AB結(jié)構(gòu)，如圖2(b)所示，這里的A,B代表2層均勻的介質(zhì)，設(shè)定它們的介電及幾何參量為εA=16，μA=1，dA=3.75 mm；εB=4，μB=1，dB=3.75 mm．

(a)準模方法計算特異材料有效媒質(zhì)參量的裝置圖 (b) 一維AB結(jié)構(gòu)圖2

圖3 一維AB結(jié)構(gòu)體系的態(tài)密度DOS隨背景材料的介電常數(shù)εref的關(guān)系曲線，計算的頻率包括f=0.5,1.0,1.5,2.0,3.0 GHz，背景材料的磁導(dǎo)率μref恒為1

要研究體系的有效媒質(zhì)性質(zhì)，利用第一部分介紹的準模方法，我們不斷變換背景材料的介電常數(shù)εref和磁導(dǎo)率μref并計算體系的S參量，以此來計算體系的自能和態(tài)密度DOS．由于這個體系不存在磁相應(yīng)，因此我們設(shè)定背景材料的磁導(dǎo)率μref恒為1，只來改變背景材料的介電常數(shù)εref，通過一系列的計算，我們得到圖3中的f=0.5,1.0,1.5,2.0,3.0 GHz幾個頻率處，體系的態(tài)密度DOS與背景材料的介電常數(shù)εref之間的關(guān)系圖線．

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