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    從困惑到解惑 得益于科研先行

    2010-11-24 07:20:34
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年11期
    關(guān)鍵詞:項是江口展開式

    (江口中學(xué) 廣東封開 526500)

    從困惑到解惑得益于科研先行

    ●黎偉初

    (江口中學(xué) 廣東封開 526500)

    1 困惑點的生成

    通常的解法是:設(shè)展開式中第r+1項的系數(shù)絕對值最大.由

    解得

    r=3,

    故系數(shù)絕對值最大的項是T4=-15 360x4.

    困惑點1為什么只要第r+1項的系數(shù)絕對值與前后相鄰兩項的系數(shù)絕對值一比較就可以求出“系數(shù)絕對值最大項”的r值?有什么理論依據(jù)?能否拿第r+1項的系數(shù)絕對值與其他任意兩項的系數(shù)絕對值比較也可以確定“系數(shù)絕對值最大的項”的值?

    學(xué)生的做題情況為:設(shè)展開式中第r+1項系數(shù)最大.由

    即r值不存在!

    解這個組合數(shù)不等式確實得到r值不存在的結(jié)果.

    困惑點2為什么計算出的r值會超出r∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8}的范圍?

    2 解惑的心路歷程

    這2個困惑點迫使筆者有一個解惑的驅(qū)動,下面把科研的心路歷程奉獻(xiàn)給廣大同行,供參考.

    歷程1對例1來說,拿第r+1項的系數(shù)絕對值與任意一項(譬如第2,7項)的系數(shù)絕對值相比較,試圖求出目標(biāo)項的r值.由

    無法求出r的值,原因是r為抽象值,不等式2邊的r約簡不了.

    歷程2拿第r+1項的系數(shù)絕對值與跟第r+1項相距離為3,4的項的系數(shù)絕對值相比較,試圖求出目標(biāo)項r的值.由不等式組

    無法求出r的值,原因是無法求解高次不等式組.

    歷程3結(jié)合歷程1和歷程2的解法碰壁及例1的系數(shù)絕對值最大項是第4項,突獲靈感:對任意一個二項式的展開式,系數(shù)絕對值最大的項是否都在展開式的中間或偏向中間.不妨把例1展開式所有項的系數(shù)絕對值逐一求出驗證想法,發(fā)現(xiàn)系數(shù)絕對值逐漸遞增再逐漸遞減.

    歷程4從歷程3又生靈感:系數(shù)絕對值有沒有嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減,使得“系數(shù)絕對值”出現(xiàn)在2端?經(jīng)冥思苦想,想出一個例子.

    歷程5結(jié)合歷程3與歷程4,進(jìn)一步否定了“系數(shù)絕對值最大的項在展開式的中間或偏向中間”的觀點,也否定了“系數(shù)絕對值最大的項在2端”的觀點.展開式中系數(shù)絕對值排成一個數(shù)列,該數(shù)列有什么樣的性質(zhì)?是否具有單調(diào)性?若具有單調(diào)性并且知道其單調(diào)性,則最值項定位基本把握準(zhǔn)確.基于這樣的想法,繼續(xù)設(shè)一般的二項式探究它的系數(shù)絕對值的性質(zhì).

    例4設(shè)二項式(axt+bxs)n或(axt+bys)n(其中s,t∈Q,a,b≠0).

    探究因為

    所以第r+1項與第r項的系數(shù)絕對值之比為(出于比較相鄰兩項系數(shù)絕對值大小的考量):

    又r∈N*,則

    歷程7歷程5和歷程6已經(jīng)探明了系數(shù)絕對值的變化規(guī)律,因此對一般的二項式(axt+bxs)n或(axt+bys)n(其中s,t∈Q,a,b≠0),若展開式中第r+1項的系數(shù)絕對值最大,則說明從第1項到第r項(或第r+1項)的系數(shù)絕對值構(gòu)成遞增關(guān)系,從第r+1項到第n+1項的系數(shù)絕對值構(gòu)成遞減關(guān)系.這自然有

    這就證明了例1解法的理論依據(jù).至此,文章開頭所提的困惑點1得到解決,與此同時也找到新的確定展開式中系數(shù)絕對值最大項方法的求解公式.對于困惑點2,原因在于所列不等式組

    是不完全正確的.細(xì)心觀察不等式2邊的系數(shù),顯然有正負(fù)系數(shù)混雜在一起.正確解法應(yīng)是設(shè)第2k+1項正系數(shù)最大,此時r=2k,則

    解得r=3,即系數(shù)最大項是T7=1 792x-11.至此困惑點2也得到了解決.

    重解因為

    所以設(shè)第r+1項系數(shù)的絕對值最大,則有不等式組

    解得

    5≤r≤6,

    即第6項與第7項系數(shù)絕對值最大且相等.又

    同理可得

    T7=1 792x-11,

    比較知系數(shù)最大的項應(yīng)是第7項:T7=1 792x-11.

    分析因為

    設(shè)第r+1項系數(shù)的絕對值最大,則有不等式組

    得r=3,所以

    另前后相鄰2項分別是

    T3=11 520x8y-2和T5=13 440x6y-4,

    經(jīng)比較知,系數(shù)最大項是T5=13 440x6y-4.

    3 解惑后的收獲盤點

    由困惑到解惑的心路歷程,逐步探明了一些重要結(jié)論和方法,對二項式(axt+bxs)n或(axt+bys)n(其中s,t∈Q,a,b≠0)有:

    (1)展開式中各項系數(shù)的絕對值構(gòu)成先增后減的數(shù)列,或遞減數(shù)列(當(dāng)系數(shù)絕對值最大在首項時),或遞增數(shù)列(當(dāng)系數(shù)絕對值最大在末項時).

    (3)至于要找出系數(shù)(當(dāng)系數(shù)有正有負(fù)時)最大的項,可分2步:第1步,先確定系數(shù)絕對值最大時的值;第2步,再計算Tr+1項的系數(shù)與前后2相鄰項Tr,Tr+2的系數(shù),比較這3項系數(shù)就可確定目標(biāo)項.

    以上為找二項展開式中系數(shù)(或絕對值)最大項提供了強(qiáng)有力的操作工具與理論方法,以服務(wù)于廣大師生.

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