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    探析幾何內(nèi)涵 優(yōu)化解題方案

    2010-11-24 07:22:22
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年11期
    關(guān)鍵詞:泗陽過點(diǎn)圓心

    (泗陽中學(xué)高中部 江蘇泗陽 223700)

    探析幾何內(nèi)涵優(yōu)化解題方案

    ●劉建中

    (泗陽中學(xué)高中部 江蘇泗陽 223700)

    很多學(xué)生在解答平面解析幾何題時(shí),由于缺乏對(duì)其幾何內(nèi)涵的深刻認(rèn)識(shí)和有效把握,而致使解題思路狹窄,運(yùn)算過程繁瑣,結(jié)果常常是“會(huì)而不對(duì)”或“對(duì)而不全”.如何準(zhǔn)確地探尋問題的幾何背景與內(nèi)涵,使解題過程得以優(yōu)化呢?筆者根據(jù)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐結(jié)合相關(guān)問題談?wù)剛€(gè)人的看法,供讀者參考.

    1 通過幾何平臺(tái)的搭建尋求解法

    例1如圖1,F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y2=4的左、右焦點(diǎn),P為其圖像右支上的一點(diǎn),直線l平分∠F1PF2,過點(diǎn)F1作直線l的垂線,垂足為M,試求點(diǎn)M的軌跡方程.

    分析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),延長PF2,F(xiàn)1M交于點(diǎn)Q.由條件易知△PF1Q為等腰三角形,M為邊F1Q的中點(diǎn).又由O為F1F2的中點(diǎn),得線段OM為△F1QF2的中位線,因此

    所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心,2為半徑的圓,其方程是x2+y2=4.

    評(píng)注先根據(jù)l平分∠F1PF2且l⊥F1M這一條件構(gòu)建等腰△PF1Q,再利用三角形中位線定理和雙曲線的定義,得出動(dòng)點(diǎn)M所滿足的幾何關(guān)系,從而使所求的軌跡問題順利獲解.

    圖1

    圖2

    2 通過幾何語言的轉(zhuǎn)化優(yōu)化運(yùn)算

    例2如圖2,△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(-6,0),B(2,0),C(0,6),點(diǎn)D,E是高CO的2個(gè)三等分點(diǎn),過點(diǎn)D作直線FG∥AC,分別交AB和BC于點(diǎn)G,F(xiàn),連結(jié)EF.

    (1)求過點(diǎn)E,G,F(xiàn)的圓M的方程;

    (2)在線段AC上是否存在點(diǎn)H,使得過點(diǎn)H存在與圓M相切的直線?且當(dāng)過點(diǎn)H有2條圓的切線HP,HQ(P,Q為切點(diǎn))時(shí),求滿足∠PHQ≥90°的點(diǎn)H所對(duì)應(yīng)軌跡的長度.

    分析(1)根據(jù)條件,易得E(0,4),G(-2,0),F(1,3),則

    從而

    EF2+FG2=EG2,

    因此△EGF為直角三角形,所求圓M是以線段EG為直徑的圓,其方程為

    (x-0)(x+2)+(y-4)(y-0)=0,

    x2+y2+2x-4y=0.

    圖3

    3 通過幾何特征的把握巧妙探索

    例3已知過點(diǎn)A(-1,0)的動(dòng)直線l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于點(diǎn)P,Q,M是PQ的中點(diǎn),l與直線m:x+3y+6=0相交于點(diǎn)N.

    圖4

    (1)求證:當(dāng)l與m垂直時(shí),l必過圓心C.

    (3)探索AM·AN的值是否與直線l的傾斜角的大小有關(guān).若無關(guān),請(qǐng)求出其值;若有關(guān),請(qǐng)說明理由.

    解(1)當(dāng)直線l與m垂直時(shí),l的方程為y=3(x+1),l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),即l必過圓心C.

    x-uy+1=0.

    由點(diǎn)到直線距離公式得

    解得

    故所求直線l的方程為x+1=0或4x-3y+4=0.

    (3)若l過點(diǎn)C,由第(1)小題知l⊥m.設(shè)垂足為H,則

    若l不過點(diǎn)C,連結(jié)CM.由題意得CM⊥l(如圖4).易證

    △AMC∽△AHN,

    因此

    AM·AN=AC·AH=5,

    所以AM·AN的值與直線l的傾斜角大小無關(guān),其值為5.

    評(píng)注把握當(dāng)直線l過點(diǎn)C時(shí)這一特殊情形,利用相似三角形的相關(guān)知識(shí),有效地避免了較為繁瑣的運(yùn)算,從而使探索過程輕松、順利,事半功倍.

    4 通過幾何結(jié)論的運(yùn)用化難為易

    例4如圖5,已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),短軸長為2,一條準(zhǔn)線方程為l:x=2.

    (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長為定值.

    圖5

    (2)設(shè)橢圓準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為P,F(xiàn)N與OM的交點(diǎn)為H,連結(jié)MN.在Rt△OMN中由OM為圓的直徑,利用射影定理可得

    又OM⊥FN,l⊥x軸,得點(diǎn)M,H,F(xiàn),P共圓.由圓的割線定理可得

    由式(1),式(2)得

    ON2=OF·OP=1×2=2,

    kMN·kON=-1,

    進(jìn)而

    解析幾何和平面幾何研究的對(duì)象都是幾何問題,區(qū)別在于研究的手段不同.在研究解析幾何問題時(shí),如果注意強(qiáng)化平面幾何應(yīng)用意識(shí),合理地借助平面幾何知識(shí),出奇制勝,那么就能順利地找到解題突破口,使問題得以解決.

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