簡述極小值點(diǎn)與三角形內(nèi)心相關(guān)的點(diǎn)函數(shù)

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(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)

簡述極小值點(diǎn)與三角形內(nèi)心相關(guān)的點(diǎn)函數(shù)

●黎海燕吳康

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)

幾何極值是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題之一，很多專家、教師都研究過大量的幾何極值問題，總結(jié)了很多求解方法.其實(shí)，除了各式各樣的求幾何極值的方法外，其中蘊(yùn)含著的美妙性質(zhì)更是值得我們?nèi)ヌ骄?研究發(fā)現(xiàn)不少點(diǎn)函數(shù)(設(shè)P為非空點(diǎn)集，若按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，即對(duì)于集合P中任意一點(diǎn)A，在實(shí)數(shù)集R中都有唯一確定的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱f:P→R為從點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集R的一個(gè)函數(shù)，簡稱點(diǎn)函數(shù))的極小值點(diǎn)恰為圓外切多邊形的內(nèi)心.

(第22屆IMO試題)

圖1

推廣1如圖1，在四邊形ABCD中，AB=a+b,BC=b+c,CD=c+d,DA=d+a.四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，點(diǎn)P到AB，BC，CD，DA各邊的距離分別為x,y,m,n，使得函數(shù)

取極小值的點(diǎn)P為四邊形ABCD的內(nèi)心.

證明因?yàn)?/p>

∠A+∠B+∠C+∠D+2∠1+

2∠2+2∠3+2∠4=4π，

所以

∠1+∠2+∠3+∠4=π，

即

∠GOE+∠GFE=π.

同理可證

∠FGO+∠FEO=π，

于是點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G共圓.設(shè)圓心為I，線段OG的中點(diǎn)為H，連結(jié)AH，IH，則

AH⊥GO,IH⊥GO，

所以點(diǎn)A，H，I共線.因?yàn)锳O=AG，所以AI為∠A的角平分線.同理可證BI，CI，DI分別為∠B,∠C,∠D的角平分線，所以四邊形ABCD的內(nèi)心存在，為點(diǎn)I.設(shè)∠PAB=α,∠PBC=β,∠PCD=γ，∠PDA=δ，由

AB=x·cotα+x·cot(B-β),
BC=y·cotβ+y·cot(C-γ)，
CD=m·cotγ+m·cot(D-δ),
DA=n·cotδ+n·cot(A-α)，

得

cotα+cos(A-α)+cotβ+cot(B-β)+

cotγ+cot(C-γ)+cotδ+cot(D-δ).

又因?yàn)?/p>

所以

當(dāng)且僅當(dāng)2α=A,2β=B,2γ=C,2δ=D，即點(diǎn)P為四邊形ABCD的內(nèi)心時(shí)，f(P)取得最小值.

證明設(shè)二面角∠A-BC-D=θ1，∠A-CD-B=θ2,∠A-BD-C=θ3,∠C-AB-D=θ4,∠B-AC-D=θ5,∠B-AD-C=θ6,∠P-BC-D=α1,∠P-BD-C=α2,∠P-CD-B=α3,∠P-AC-D=β1,∠P-AD-C=β2,∠P-AB-C=γ.由

2S1=BC·h1·cotα1+BD·h1·cotα2+

CD·h1·cotα3,

2S2=CD·h2·cot(θ2-α3)+AC·h2·cotβ1+

AD·h2·cotβ2,

2S3=BD·h3·cot(θ2-α2)+AD·h3·cot(θ6-β2)+

AB·h3·cotγ,

2S4=BC·h4·cot(θ1-α1)+AB·h4·cot(θ4-γ)+

AC·h4·cot(θ5-β1).

類似推廣1,可得

當(dāng)且僅當(dāng)2α1=θ1,2α2=θ3,2α3=θ2,2β1=θ5,2β2=θ6,2γ=θ4，即點(diǎn)P為四面體A-BCD的內(nèi)心時(shí)，f(P)取得極小值.

除了在與幾何極值相關(guān)的問題中可挖掘大量極小值點(diǎn)恰為圓外切多邊形內(nèi)心的點(diǎn)函數(shù)，在與圖形內(nèi)心相關(guān)的恒等式中，常常也可以構(gòu)造出相應(yīng)的以圖形內(nèi)心為極小值點(diǎn)的點(diǎn)函數(shù)，因此按照此研究思路可以發(fā)現(xiàn)更多類似的點(diǎn)函數(shù)，例如以下定理和推論.

定理1△ABC內(nèi)任一點(diǎn)到3個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為x,y,z,使得函數(shù)f(P)=ax2+by2+cz2取得極小值的點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心.

證明由于在△ABC中，平面內(nèi)任意一點(diǎn)P到內(nèi)心I的距離[1]為

f(P)=(a+b+c)F2(P)+abc.

當(dāng)F(P)取得極小值時(shí)，f(P)取得極小值.由于F(P)的極小值為F(I)=0，因此使f(P)取得極小值的點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心.

圖2

證明如圖2,設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，與頂點(diǎn)A，B，C相對(duì)的旁心分別為Ia,Ib,Ic，AI，BI，CI分別與△ABC外接圓相交于點(diǎn)A1,B1,C1，則

因?yàn)閍=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

由B1Ib=B1I,C1Ic=C1I,A1Ia=A1I[2]，得

IbIc=2B1C1,IaIc=2A1C1,IaIb=2A1B1,

由推論2得

取得極小值的點(diǎn)P為△ABC旁心三角形的內(nèi)心.

[1] 劉黎明.三角形內(nèi)心的性質(zhì)和心距公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1996(2):45-47.

[2] 胡耀宗.涉及三角形旁心的幾何命題[J].益陽師專學(xué)報(bào)，1994,10(5):37-39.