創(chuàng)新體現(xiàn) 創(chuàng)新架構(gòu) 創(chuàng)新滲透
——2010年數(shù)學(xué)高考“創(chuàng)新三步曲”賞析

● (湖州市第二中學(xué) 浙江湖州 313000)

近幾年全國各地高考試題逐漸強(qiáng)調(diào)考查創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，強(qiáng)調(diào)理論與實(shí)踐相統(tǒng)一.一些新穎的試題背景、試題類型在近幾年的試卷中從無到有、從零星到常見、從粗糙到精致，這些變化都體現(xiàn)了高考命題在有意識地將新課程的理念落實(shí)到高考試題中去，這其中就蘊(yùn)含了“創(chuàng)新三步曲”.

一步曲：“數(shù)學(xué)探究”的創(chuàng)新體現(xiàn)

圖1

數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程.這個過程包括：觀察、分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明.高考重點(diǎn)考查高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，從2010年各地高考試題來看，無論課標(biāo)卷還是大綱卷，創(chuàng)新題明顯增多，開放程度增強(qiáng)，突出研究性、探索性和實(shí)踐性.

例1如圖1所示，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0)，則導(dǎo)函數(shù)y=S′(t)的圖像大致為

( )

A. B. C. D.

(2010年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

剖析本題主要考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識，重點(diǎn)考查的是學(xué)生對數(shù)學(xué)的探究能力.此題的命題角度新穎、獨(dú)特、創(chuàng)新，可使用“排除法”，答案為A.

例2若數(shù)列{an}滿足：對任意的n∈N*，只有有限個正整數(shù)m使得am

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

剖析本題以數(shù)列為背景，通過創(chuàng)設(shè)適度開放，引導(dǎo)考生進(jìn)行推理探索，此類題型可以說是新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題的一大亮點(diǎn).答案為2，n2.

教學(xué)建議高考命題對數(shù)學(xué)思維能力作了新的闡釋，它不但包含了原大綱提到的三大數(shù)學(xué)能力，即邏輯思維能力、空間想象能力與計(jì)算能力，而且將其擴(kuò)展為直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與構(gòu)建等思維能力.這不僅說明了我國對數(shù)學(xué)問題的研究在高考的促進(jìn)下有了一定的發(fā)展，也為今后的教學(xué)指明了新的方向.

二步曲：“數(shù)學(xué)建?！钡膭?chuàng)新架構(gòu)

“開展數(shù)學(xué)建模活動”是國際數(shù)學(xué)教育界推動數(shù)學(xué)教育改革的一個突破口.真正的數(shù)學(xué)建?；顒有枰獙W(xué)生付諸大量的時間，但作為在有限時間內(nèi)考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的高考，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)建模問題必須是“濃縮”的、“經(jīng)典”的，便于學(xué)生尋找“模型”進(jìn)行問題的分析與解決.它的特點(diǎn)是：對給出的實(shí)際問題進(jìn)行了預(yù)先的簡化與假設(shè)；問題的設(shè)計(jì)具有預(yù)設(shè)鋪墊，難度層層遞進(jìn)，為學(xué)生搭建良好的“腳手架”，幫助學(xué)生能夠在其能力范圍內(nèi)快速、有效地進(jìn)入問題解決的核心.

(2010年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

剖析此類考題是比較常規(guī)的函數(shù)建模應(yīng)用題.設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，則

使用“換元法”或者“求導(dǎo)法”均可求得此函數(shù)的最小值.

圖2

(1)求考察區(qū)域邊界曲線的方程；

(2)設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界線)，當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2 km,以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間.

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

剖析此題具備“大眾化”的問題背景.因?yàn)閰⒓痈呖嫉目忌鷣碜赞r(nóng)村和城市各個階層，所以擁有“大眾化”背景的試題對考生來講具有公平性.在考查數(shù)學(xué)建模的同時，將圓的方程、橢圓的定義與方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、等比數(shù)列求和等知識點(diǎn)巧妙地融為一體，要求考生能理解問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，從而建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗(yàn)證，且能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)和說明.

教學(xué)建議《新課標(biāo)》倡導(dǎo)“發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中要對學(xué)生進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，構(gòu)造的問題要遵循“貼近生活、背景公平、控制難度”的原則，設(shè)計(jì)背景符合學(xué)生心理成長和學(xué)習(xí)生活實(shí)際、有一定時代氣息、反映正確價值取向、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}，多角度地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

三步曲：“數(shù)學(xué)文化”的創(chuàng)新滲透

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.將數(shù)學(xué)文化滲透于高考試題中是近幾年高考的一個亮點(diǎn)，這樣的問題走入高考，將引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價值，形成對數(shù)學(xué)價值的全面認(rèn)識，同時獲得自身的和諧發(fā)展.

圖3

例5如圖3，一個小球從點(diǎn)M處投入，通過管道自上而下落到A或B或C處.已知小球從每個叉口落入左右2個管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為1，2，3等獎.

(1)已知獲得1，2，3等獎的折扣率分別為50%，70%，90%．記隨機(jī)變量ζ為獲得k(k=1,2,3)等獎的折扣率，求隨機(jī)變量ζ的分布列及期望Eζ；

(2)若有3人次(投入1球?yàn)?人次)參加促銷活動，記隨機(jī)變量η為獲得1等獎或2等獎的人次，求P(η=2).

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

剖析往年浙江省的概率解答題均在“摸球問題”與“數(shù)字問題”之間“徘徊”，2010年的考題“一反常態(tài)”，令很多考生“措手不及”.其實(shí)此題源于數(shù)學(xué)史上著名的“高爾頓(釘)板”，在選修2-3“正態(tài)分布”的篇頭就有介紹，因此此題是“源于課本、高于課程”的典范.

教學(xué)建議像這樣滲透著“數(shù)學(xué)文化”的高考新題型給數(shù)學(xué)文化教育提供了很好的素材，可以引導(dǎo)學(xué)生探究“高爾頓板”與“二項(xiàng)分布”、“楊輝三角”的關(guān)系.在日常的教學(xué)中，可利用已有的高考題開展例題教學(xué)，也可自己開發(fā)編制此類新題，深刻挖掘此類問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和文化內(nèi)涵，對學(xué)生開展數(shù)學(xué)文化教育.

結(jié)束語

高考試題對創(chuàng)新意識的考查，主要是要求考生不僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應(yīng)用這些知識和方法解決數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中比較新穎的問題.數(shù)學(xué)教育的目的不只是讓學(xué)生掌握一些知識，也不是把每個學(xué)生都培養(yǎng)成數(shù)學(xué)家，而是把數(shù)學(xué)作為材料和工具，通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，在知識和方法的應(yīng)用中提高綜合能力和基本素質(zhì)，形成科學(xué)的世界觀和方法論.因此，高考試題加強(qiáng)對創(chuàng)新意識的考查，其意義已超出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對提高學(xué)習(xí)和工作能力、對今后的人生都有重要的意義.