極端位置成為解決幾何問題的“突破口”

● (龍灣中學(xué)高二(5)班 浙江溫州 325000)

我們在解決幾何問題時往往會遇到這么一類題目：點在動或者線、面在動.這類題目有點難，難的是它讓人摸不著頭腦，不知從何處下手.但有一點十分關(guān)鍵：極端位置.

例1如圖1，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(端點除外)上一動點．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK=t，則t的取值范圍是________.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

圖1

當(dāng)看完這道題后,你會發(fā)現(xiàn)這正是一道涉及動點的距離問題.動點的不確定性是本題的難點,但問題的關(guān)鍵是需要從變化中找出不變的關(guān)系.于是我們選取幾種位置,比較它們的大小,不難發(fā)現(xiàn)t會隨著點F的左移而變小.于是就合情合理地這樣假設(shè):在最左端t有最大值,反之在最右端取到最小值.

例2正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是________.

(2006年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

另解構(gòu)造一個正方體,如圖2.若將平面AEBF看作平面α，則正四面體上所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形為正方形AEBF.因為AB=1，所以

若將ABH看作平面α，則正四面體上所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形為三角形ABH.因為AB=1，所以

圖2

圖3

例3如圖3,在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各取一動點P，Q滿足A1P=BQ，過點P,Q,C的截面把棱柱分成2個部分,則其體積之比為

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分析由題意得只要滿足A1P=BQ,體積之比就不變,因此取極端位置就是解決此題的關(guān)鍵.

圖4

例4已知正方形的4個頂點A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1).一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點Ρ1后，依次反射到CD,DA和AB上的點P2,P3和P4(入射角等于反射角).設(shè)點P4的坐標(biāo)為(x4,0)，若1

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通過對以上例題的探討,可知極端位置在解決某些幾何問題時能起到關(guān)鍵的作用.其實,這類問題并不可怕，也并非那么復(fù)雜，把復(fù)雜的問題簡單化，用極端位置來求解正能達到事半功倍的效果.