發(fā)揮向量的工具功能 優(yōu)化解題觀念

●(義烏市第四中學(xué) 浙江義烏 322000)

向量是高中階段的新增內(nèi)容之一，它以其強(qiáng)大的工具性，在解決某些問(wèn)題中越來(lái)越受到師生的重視，特別是近幾年的高考對(duì)向量的考查更突出了向量作為工具的主體功能.它在很多情況下是和解析幾何進(jìn)行聯(lián)系的橋梁，許多問(wèn)題能用“老辦法”解決，但利用向量解決會(huì)更合理，體現(xiàn)了高中課程改革內(nèi)容的優(yōu)越性和必要性.筆者通過(guò)以下幾種情況，以解析幾何題為例，詳細(xì)分析向量的工具功能，充分體現(xiàn)出運(yùn)用向量解題所發(fā)揮的效果.

1 題中直接給出向量信息

在一類(lèi)解析幾何題中明顯給出了向量信息，學(xué)生能自然地聯(lián)想到用向量的方法進(jìn)行解題.

(1)求證：直線l經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，∠AFB=θ,試問(wèn)θ的值能否等于120°.若能，求出直線l的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)(用向量作為工具進(jìn)行解題)設(shè)直線l：y=kx+b，把它代入拋物線方程x2=3y，整理得

x2-3kx-3b=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韋達(dá)定理知

x1+x2=3k,x1x2=-3b.

因?yàn)?/p>

所以

-4(x1x2+y1y2)=9.

又因?yàn)?/p>

所以

(2)方法1利用余弦定理，具體略.

方法2利用角公式，具體略.

利用拋物線的焦半徑公式,可知

因此

經(jīng)整理得

這與y1>0,y2>0矛盾,故∠AFB≠120°.

(1)求點(diǎn)C的軌跡D的方程；

(2)若直線l：y=k(x-1)與曲線D有2個(gè)不同的交點(diǎn)E,F，設(shè)P(-1，0)，當(dāng)∠EPF為銳角時(shí)，求k的取值范圍.

解(1)設(shè)M(1，m)，B(a，0)，則

設(shè)C(x，y)，則

把式(2)代入式(1)并整理得

3k2x2+(1-6k2)x+3k2-1=0.

因?yàn)椤螮PF為銳角，所以

解得

2 題中未直接給出向量信息

在實(shí)際解題過(guò)程中，許多解析幾何題不會(huì)直接給出向量信息，而是隱藏在題目的某些信息中，這就要求學(xué)生有扎實(shí)的向量基礎(chǔ)知識(shí)和敏銳的洞察力，發(fā)掘題干中的向量信息，運(yùn)用向量知識(shí)簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

圖1

例3如圖1,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為拋物線x2=2y上的點(diǎn)，且△OAB的面積S=t·tanθ，其中θ=∠AOB.

(1)求當(dāng)t取最小值時(shí)，θ的最大值；

(2)求證：當(dāng)t取最小值時(shí)，△OAB的垂心H在一條定曲線上，并求出此定曲線的方程.

解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

于是

從而

設(shè)直線AB：y=kx+b，代入拋物線x2=2y中,得

x2-2kx-2b=0，

于是

x1+x2=2k,x1x2=-2b，

因此y1y2=b2，則

因?yàn)棣取?0,π)，所以

(2)由第(1)小題知，直線AB的方程為y=kx+1.設(shè)H(x，y),則

因?yàn)镠是垂心,所以

又由韋達(dá)定理知

x1+x2=2k,x1x2=-2.

上式經(jīng)整理可得:y=-1.當(dāng)k=0時(shí),易求垂心H的坐標(biāo)為(-1,0),適合上式,所以垂心H在一條定曲線上,定曲線的方程為y=-1.

回顧本題利用向量進(jìn)行解題,避免了大量繁瑣的運(yùn)算過(guò)程,提高了解決這類(lèi)問(wèn)題的解題速度和準(zhǔn)確率.