非線性永磁同步電動機(jī)約束預(yù)測控制

林 輝，王永賓

(西北工業(yè)大學(xué)，陜西西安710129)

0 引 言

目前，在永磁同步電動機(jī)(以下簡稱PMSM)伺服系統(tǒng)中，主要采用矢量控制、直接轉(zhuǎn)矩控制策略。上述策略在處理系統(tǒng)中的約束條件(主要是輸入飽和，輸出限幅)時，常采用傳統(tǒng)的抗飽和方法，即設(shè)計獨立的飽和補(bǔ)償器來減小由約束條件導(dǎo)致的系統(tǒng)性能惡化，這不僅增加了控制系統(tǒng)設(shè)計的復(fù)雜性，而且通常僅適用于某一類情況［1-2］。

線性預(yù)測控制(以下簡稱LMPC)是20世紀(jì)70～80年代發(fā)展起來的一種高級控制方法，其可以直接有效地處理系統(tǒng)中包含的輸入、狀態(tài)、輸出約束條件［3］。不同于傳統(tǒng)抗飽和方法，LMPC將求解最優(yōu)控制率問題構(gòu)造為包含約束條件的優(yōu)化問題，采用線性規(guī)劃方法系統(tǒng)地設(shè)計預(yù)測控制器。然而，對于PMSM這樣的非線性被控對象，需采用非線性預(yù)測控制(以下簡稱NMPC)方法。由于非線性規(guī)劃是非凸規(guī)劃，迭代算法有可能收斂于局部極小點，而且計算量巨大，這使得NMPC無法應(yīng)用于實時系統(tǒng)［4-5］。反饋線性化(以下簡稱FBL)是一種重要的非線性控制方法。該方法利用非線性狀態(tài)反饋和微分同胚坐標(biāo)變換將非線性模型轉(zhuǎn)換為線性模型，當(dāng)系統(tǒng)不存在零動態(tài)問題時，結(jié)合線性系統(tǒng)控制理論，可以很容易得到非線性系統(tǒng)控制率［6］。

本文中，針對帶有輸入約束條件的PMSM伺服系統(tǒng)，提出FBL與LMPC聯(lián)合控制方法;對設(shè)計過程中存在的約束條件映射問題，提出一改進(jìn)方法。通過仿真實驗，將FBL-LMPC與FBL-極點配置方法的控制效果進(jìn)行比較。

1 線性預(yù)測控制原理

下面以單輸入/單輸出系統(tǒng)為例，對預(yù)測控制原理進(jìn)行說明，對于多輸入/多輸出系統(tǒng)，具有類似的結(jié)論。系統(tǒng)狀態(tài)方程如下:

式中:u(k)、x(k)、y(k)分別為輸入(控制)、狀態(tài)和輸出變量;A、B、C為相應(yīng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。假設(shè)在時刻k，通過測量狀態(tài)變量x(k)獲得系統(tǒng)的當(dāng)前信息，控制變量預(yù)測序列表示為:

式中:Nu為控制時域;u(k+j|k)表示在k時刻預(yù)測的未來k+j時刻輸入變量值，j=0，1，…，Nu-1;針對其它變量，該表示法具有相同含義。根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)變量x(k)和式(1)，可以得到輸出變量預(yù)測序列:

式中:Np為預(yù)測時域，Nu≤Np;I為單位矩陣;當(dāng)Nu≤j≤Np時為了便于分析，將式(3)重新寫成矩陣形式:

式中:F=［CA，CA2，…，CANp］T;

Y=［y(k+1|k)，y(k+2|k)，…，y(k+Np|k)］T。假定預(yù)測時域內(nèi)參考信號為一常數(shù)，即:為k時刻的參考信號。LMPC的控制目標(biāo)是在預(yù)測時域內(nèi)求解最優(yōu)控制預(yù)測序列u(k+j)|k)，使預(yù)測輸出盡可能接近參考信號。因此，定義二次型指標(biāo)函數(shù):

式中，R為控制預(yù)測序列權(quán)矩陣。將式(4)代入式(5)中，二次型指標(biāo)函數(shù)可重新寫為:

在無約束條件下，可以通過對指標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)求解最優(yōu)控制預(yù)測序列，從而得到:

得到最優(yōu)控制預(yù)測序列U后，根據(jù)滾動優(yōu)化策略，系統(tǒng)僅將u(k)=u(k|k)作為實際控制變量作用于系統(tǒng)，其它時刻預(yù)測控制變量將被拋棄。在時刻k+1，重新測量系統(tǒng)最新狀態(tài)信息x(k+1)，并重復(fù)上述優(yōu)化過程。

在實際控制系統(tǒng)中，為應(yīng)對因為裝置的非線性和干擾等因素導(dǎo)致的模型失配，必須引入反饋校正。其方法是測出當(dāng)前裝置的輸出與模型輸出之差，然后從參考軌跡中減去這一偏差，得到新的控制序列:

式中:l表示一個矢量由于k+1，…，k+Np時刻還未到來，所以上述時刻真實輸出值是未知的，這里假設(shè)當(dāng)前(k時刻)的偏差將連續(xù)以相同水平進(jìn)入未來時刻［7］，如式(8)。

上述是無約束LMPC優(yōu)化求解過程，在系統(tǒng)有輸入和輸出約束條件時:

由指標(biāo)函數(shù)式(6)和約束條件式(1)、式(9)共同構(gòu)成新的控制序列尋優(yōu)問題。式(6)中，矩陣ΦTΦ+R為正定矩陣，因為指標(biāo)函數(shù)J表示為二次型，而約束表示為線性不等式形式，新的尋優(yōu)問題變成標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃問題。通過積極域法或內(nèi)點法，可以迅速求解出二次規(guī)劃問題的最優(yōu)控制變量數(shù)值解序列。結(jié)合上面提到的滾動優(yōu)化策略和反饋校正，構(gòu)成了約束線性預(yù)測控制。

2 PMSM反饋線性化

本文選擇隱極PMSM，忽略寄生磁阻轉(zhuǎn)矩;在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(dq)中，使d軸與轉(zhuǎn)子磁鏈重合，得到狀態(tài)方程:

式中:id、iq、ud和uq分別為d、q軸電樞電流、電壓;ωr為轉(zhuǎn)子角速度;Rs為電樞電阻;L為電樞電感;Ψr為轉(zhuǎn)子磁鏈;B為摩擦系數(shù);J為總轉(zhuǎn)動慣量;p為極對數(shù);Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量分別為x=［idiqωr］T，u=［uduq］T，選擇直軸電流和轉(zhuǎn)速作為輸出變量，將式(10)寫為仿射非線性形式:

根據(jù)微分幾何理論［8-9］，首先確定式(11)的相對階，對輸出變量h1(x)、h2(x)分別求李導(dǎo)數(shù):

式中:Lgh1(x)≠0，LgLfh2(x)≠0可知系統(tǒng)相對階r=3，滿足反饋線性化條件，并且不存在零動態(tài)問題［10］。因此，可以通過微分同胚坐標(biāo)變換:

和非線性狀態(tài)反饋:

3 約束條件映射

得到式(15)后，對式(11)中的約束條件作相應(yīng)的映射。因為該映射是基于式(14)非線性映射，這使得原線性不等式約束條件變換成非線性、與狀態(tài)變量相關(guān)的不等式約束條件，必須在每一采樣時刻進(jìn)行映射變換。式(14)的映射反變換可寫為:

在時刻k，為了得到虛擬輸入變量v的約束條件，需求解下列優(yōu)化問題:

并服從于約束條件:

很顯然，求解虛擬輸入變量約束條件需要輸入預(yù)測序列u(k+j|k)和狀態(tài)預(yù)測序列x(k+j|k);而輸入和狀態(tài)預(yù)測序列需求解線性預(yù)測控制問題后才可獲得;進(jìn)而在新系統(tǒng)約束條件未知的情況下，線性預(yù)測控制問題無法求解。因此，式(17)、式(18)所表述的優(yōu)化問題，只有通過非線性規(guī)劃或數(shù)值迭代方法求解。這樣一來，將嚴(yán)重削弱由FBL-LMPC所帶來的減小計算量的優(yōu)勢，影響系統(tǒng)實時性。

因為僅k時刻約束條件對系統(tǒng)起作用，對于虛擬輸入變量約束vmin(k+j|k)和vmax(k+j|k)，j≥1可以進(jìn)行近似計算。文獻(xiàn)［2］與文獻(xiàn)［11］分別提出了常值約束和可變約束方法獲得近似虛擬輸入變量約束條件。上述兩種方法克服了NMPC計算量大的缺點，但是由于沒有考慮系統(tǒng)誤差對約束條件映射的影響，造成求解的優(yōu)化輸入預(yù)測序列過于保守或激進(jìn)。

由式(8)可得:

即系統(tǒng)誤差可以通過在輸入變量上加一附加項來補(bǔ)償。假設(shè)LMPC在時刻k-1產(chǎn)生輸入虛擬序列:

V(k-1|k-1)=［v(k-1|k-1)，v(k|k-1)，…，v

(k+Np-2|k-1)］T。第一輸入變量v(k-1|k-1)將被作用于系統(tǒng)，剩余輸入變量作為時刻k的近似預(yù)測值:

其中，直接擴(kuò)展第Np-1個輸入變量得到第Np個輸入變量，對上式進(jìn)行反饋校正:

這里仍假設(shè)當(dāng)前(k時刻)的偏差將連續(xù)以相同水平進(jìn)入未來時刻。當(dāng)前狀態(tài)變量測量值x(k)通過式(13)計算出線性化模型狀態(tài)變量z(k)，然后根據(jù)式(15)和式(21)產(chǎn)生線性化模型近似狀態(tài)預(yù)測序列:

式中:z(k|k-1)=z(k)。利用式(22)以及式(13)的反變換可以計算得到式(11)的近似狀態(tài)預(yù)測序列:

對于非線性優(yōu)化問題式(17)、式(18)，用x(k+j|k-1)代替x(k+j|k)后，優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為包含u(k+j|k-1)的線性優(yōu)化問題，避免求解原NMPC問題。在下一采用時刻，利用輸入變量序列V(k|k)和測量狀態(tài)x(k+1)重復(fù)上述過程。

該方法一個顯著特點是，在k時刻作用于系統(tǒng)的輸入變量v(k)所對應(yīng)的約束條件vmin(k|k-1)，vmax(k|k-1)是采用真實狀態(tài)測量值x(k)計算得到的，所以完全滿足實際約束條件。與上述兩種方法相比，通過改進(jìn)方法得到的約束條件在整個預(yù)測時域Np上，與實際約束條件更加一致，有利于提高系統(tǒng)性能和系統(tǒng)魯棒性。

4 仿真實驗分析

本文中，控制目標(biāo)是使輸出轉(zhuǎn)速ωr快速跟蹤給定轉(zhuǎn)速，同時，為了實現(xiàn)磁場定向矢量變換控制，使d軸電流為零。僅對輸入變量設(shè)置約束條件:

表1 主要參數(shù)

對于FBL-LMPC方法，根據(jù)上述內(nèi)容，可以定義指標(biāo)函數(shù):

式中:Wω、Wd是各項對應(yīng)權(quán)系數(shù)，并設(shè)置為Wω=27，Wd=26。根據(jù)第三節(jié)所述內(nèi)容，將式(24)映射至線性坐標(biāo)空間。由此，可將原NMPC問題轉(zhuǎn)換為LMPC問題，借助Matlab提供的二次規(guī)劃解算器，可以得到虛擬輸入變量v=［v1v2］T，再通過式(14)進(jìn)行反變換，可以得到實際輸入變量u=［uduq］T。FBL-LMPC閉環(huán)控制框圖如圖1所示，線性化模型部分實現(xiàn)模型線性化和約束映射功能;線性預(yù)測控制器則根據(jù)線性化模型進(jìn)行設(shè)計。

圖1 FBL-LMPC閉環(huán)控制框圖

對于FBL-極點配置方法，根據(jù)極點配置定理，通過狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)式(15)的3個極點(特征值)，狀態(tài)反饋矩陣為狀態(tài)反饋矩陣與3個特征值的推導(dǎo)關(guān)系為a10=-λ1，a21=λ2λ3，a22=-(λ2+λ3)，并確定反饋系數(shù)為a10=494，a21=123.6，a22=15.72。

圖3中，F(xiàn)BL-極點配置方法為了消除系統(tǒng)非線性影響，導(dǎo)致控制變量峰值非常大，達(dá)到1 000 V。在無約束的情況下，系統(tǒng)根本無法實現(xiàn)，這也是該方法的一個缺點。圖2中，無約束時，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)速度很快，超調(diào)量較小，可以滿足系統(tǒng)的要求;在對輸入采用抗飽和方法限幅后，系統(tǒng)出現(xiàn)嚴(yán)重滯后，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)值后，出現(xiàn)小幅振蕩現(xiàn)象，過渡時間延長。

圖2 FBL-極點配置控制速度響應(yīng)波形

圖3 FBL-極點配置控制uq響應(yīng)波形

圖5中，在無約束時，與上一方法比較，控制變量峰值顯著減小;圖4中，速度響應(yīng)速度很快，而且沒有超調(diào)。在有約束時，轉(zhuǎn)速上升階段響應(yīng)有一滯后，但仍在0.36 s達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)時間與無約束情況基本一樣，而且同樣沒有超調(diào)。這一結(jié)果驗證了LMPC對約束控制的優(yōu)越性和有效性。

圖4 FBL-LMPC控制速度響應(yīng)波形

圖5 FBL-LMPC控制uq響應(yīng)波形

圖6、圖7中，兩種方法均使id趨向于零，然而，從減小焦耳損耗的角度來看，F(xiàn)BL-LMPC方法的控制效果更好。

圖6 FBL-LMPC控制id響應(yīng)波形

圖7 FBL-極點配置控制id響應(yīng)波形

5 結(jié) 語

FBL方法是解決非線性問題的一種有效方法，LMPC則可以系統(tǒng)地將約束條件包含在控制器設(shè)計中，充分利用兩者的優(yōu)勢，采用FBL-LMPC的聯(lián)合控制方法設(shè)計帶有約束條件的PMSM伺服系統(tǒng)，同時解決了系統(tǒng)非線性和約束控制給控制器設(shè)計帶來的困難。仿真實驗結(jié)果表明了該方法可改善系統(tǒng)靜動態(tài)性能，提高系統(tǒng)實時性和魯棒性。

［1］ Astrom K J，Rundqwist L.Integrator Windup and How to Avoid It［C］//American Control Conference.1989:1693-1698.

［2］ Kurtz R J，Henson M A.Feedback linearizing control of discrete-time nonlinear systems with constraints［C］//System Theory 1996 Proceedings of the Twenty-Eighth South eastern Symposium.1996:23-27.

［3］ Zhao Y B，Liu G P，Rees D.Improved predictive control approach to networked control systems［J］.Control Theory＆Applications，IET.2008，2(8):675-681.

［4］ Wagh S R，Kamath A K，Singh N M.Non-linear Model Predictive Control for improving transient stability of power system using TCSC controller［C］//Asian Control Conference.2009:1627-1632.

［5］ Pin G，Raimondo D M，Magni L，et al.Robust Model Predictive Control of Nonlinear Systems With Bounded and State-Dependent Uncertainties［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54(7):1681-1687.

［6］ Franco A L D，Bourles H，De Pieri E R，et al.Robust nonlinear control associating robust feedback linearization and H＆infin;control［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51(7):1200-1207.

［7］ 錢積新，趙均，徐祖華.預(yù)測控制［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2007.

［8］ Chiasson J.Dynamic feedback linearization of the induction motor［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1993，38(10):1588-1594.

［9］ Schoukens J，Nemeth J G，Vandersteen G，et al.Linearization of nonlinear dynamic systems［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2004，53(4):1245-1248.

［10］ Freidovich L B，Khalil H K.Performance Recovery of Feedback-Linearization-Based Designs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2008，53(10):2324-2334.

［11］ Kurtz M J，Guang-Yan Z，Henson M A.Constrained output feedback control of a multivariable polymerization reactor［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2000，8(1):87-97.