光學(xué)折射反射定律的兩種不同的數(shù)學(xué)實現(xiàn)

石市委, 孫兆奇, 呂建國

(1.安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230039;2.合肥師范學(xué)院物理與電子工程系,安徽合肥 230601)

光學(xué)折射反射定律的兩種不同的數(shù)學(xué)實現(xiàn)

石市委1, 孫兆奇1, 呂建國2

(1.安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230039;2.合肥師范學(xué)院物理與電子工程系,安徽合肥 230601)

文中分析了光學(xué)中折射反射公式的兩種數(shù)學(xué)實現(xiàn)方法,矢量法和復(fù)數(shù)法。其中復(fù)數(shù)法應(yīng)用方便簡單,且在其他文獻中未見有報道。

折射公式;反射公式;矢量法;復(fù)數(shù)法

1 前言

幾何光學(xué)在當(dāng)今的光學(xué)設(shè)計領(lǐng)域仍占有舉足輕重的地位,它忽略衍射效應(yīng),認為光是沿直線傳播的,故又稱為線光學(xué)理論。這種忽略衍射效應(yīng)的近似是有效且務(wù)實的,它可以使光學(xué)設(shè)計任務(wù)變得簡潔而且直觀,計算工作大為簡化,并且結(jié)果在應(yīng)用范圍內(nèi)足夠精確。所以現(xiàn)在的光學(xué)設(shè)計理論主體仍然是幾何光學(xué)。幾何光學(xué)中光在介質(zhì)分界面處的傳輸行為由反射定律和折射定律來描述,在具體的光學(xué)設(shè)計過程中需要處理大量的在界面處的光線折射和反射,傳統(tǒng)的處理是將模型化的計算對象帶入采用矢量法表示的反射定律和折射定律來計算出射光線,但這并非是唯一的一種處理方法。本文根據(jù)多年來編制光學(xué)計算程序的經(jīng)驗[1],給出計算光線折射和反射另一種方法,即復(fù)數(shù)法,該方法在應(yīng)用到程序中時更方便直接。本文介紹這種方法的推導(dǎo)過程,希望可以對其他需要編制光學(xué)設(shè)計軟件的人員及光學(xué)設(shè)計方向的教學(xué)人員有一定的幫助或參考。為便于比較,文中同時給出兩種方法的推導(dǎo)過程和結(jié)論。

2 矢量形式的折射公式和反射公式

在不考慮光強變化的情況下,光學(xué)設(shè)計主要考慮的是光線在傳輸過程中的方向改變問題。對于由一種或多種均勻介質(zhì)組成的光學(xué)系統(tǒng),光線在傳輸?shù)倪^程中光線方向的改變僅僅出現(xiàn)在介質(zhì)的分界面處,而且嚴(yán)格依照折射定律和反射定律進行。計算過程中需要的是公式化的折射定律和反射定律,這兩個定律的不同的數(shù)學(xué)表示對光學(xué)計算復(fù)雜度的影響是不同的,一個好的數(shù)學(xué)表達可以給光學(xué)計算帶來很多方便。本文首先給出矢量形式的折射公式,然后給出復(fù)數(shù)形式的折射公式和反射公式。

(1)矢量形式的折射公式[2]

如圖1所示,以分別表示入射光線和折射光線的單位矢量,n0和n1分別表示折射面兩邊的介質(zhì)的折射率,矢量指向右為正方向,反之為負。為入射面入射點法線的單位矢量,順著光線傳播方向為正,反之為負。

圖1 光線的折射——矢量法

折射定律可表示為:上式即為矢量形式的折射定律。

(2)矢量形式的反射公式

我們知道,在折射定律中若令n1=-n0,可得I′=-I的反射定律?，F(xiàn)將此用于矢量形式的折射定律,由(3)式所表示的偏向常數(shù)為

3 復(fù)數(shù)形式的折射公式和反射公式

通常光線在遇到界面時,如果介質(zhì)不是非線性或各向異性材料,光線的傳播將被限制在入射光線和法線所在的平面(即所謂的入射面)內(nèi),即折射光線和反射光線亦處在入射面內(nèi)。因此,在不考慮光強變化的情況下,由于僅僅是平面內(nèi)的方向偏轉(zhuǎn)問題,具有方向性的數(shù)學(xué)量肯定能承擔(dān)界面處光線的偏轉(zhuǎn)計算,如在復(fù)平面內(nèi)變化的復(fù)數(shù)。下面給出用復(fù)數(shù)表示的折射公式和反射公式及其推導(dǎo)過程。

圖2 光線的折射——復(fù)數(shù)法

(1)折射定律的復(fù)數(shù)形式

假設(shè)光線從折射率為n0的介質(zhì)由界面入射到折射率為n1的介質(zhì),法線方向與參考坐標(biāo)正方向的夾角分別為φn、φi和φt。

法線、入射光線和折射光線分別用模為1的復(fù)數(shù)表示:

根據(jù)(5)式所示的折射角和法線方向及入射角的關(guān)系,即可知道出射光線的方向

(9)式即為折射定律的復(fù)數(shù)形式。由實部與虛部的對應(yīng)關(guān)系,可以進一步寫出Tx1和Ty1

只要知道入射方向,法線方向,就可以唯一地確定折射光線的方向。(9)式表面上看起來比(5)式復(fù)雜,其實在實際編程時要容易實現(xiàn)的的多。使用(5)式進行編程需要進行多次迭代,而使用(9)式一步即可實現(xiàn)。

(2)反射定律的復(fù)數(shù)形式

入射光線折射光線法線分別表示為:

上式即為反射定律的復(fù)數(shù)形式。

由實部與虛部的對應(yīng)關(guān)系,有

由上式可以看出,只要知道入射方向,法線方向,就可以唯一地確定反射光線的方向,而且它比(7)式更容易使用。

4 總結(jié)

本文給出復(fù)數(shù)形式的幾何光學(xué)折射反射定律,使用起來方便直接。此結(jié)果不僅可作為光學(xué)課程教學(xué)時的一個拓展思維的教學(xué)實例來使用,而且可為光學(xué)設(shè)計人員提供又一種計算光線折射反射的方法。

[1] 易佑民,章于川,夏茹,等.聚合物梯度折射率微球透鏡的研制[J].光子學(xué)報,2003,32(4):425-428.

[2] 周昆,李繼陶,陳禎培編.應(yīng)用光學(xué)[M].四川:四川大學(xué)出版社,2004:4-5.

The Expressions of Refraction Lawand Reflection Law in Optics

SHI Shi-wei1, SUN Zhao-qi1, LV Jian-guo2
(1.School of Physics and Material Science,A nhui University,Hefei230039,China;2.Department of Physics and Electronic Engineering,Hefei Normal University,Hefei230601,China)

Two kinds of expressions for refraction law and reflection law in optics are analyzed in this paper. The two expressions include vector expression and complex expression,the latter has not been found in the literature.

refraction law;reflection law;vector expression;complex expression

O441.1

A

1674-2273(2010)06-0017-03

2010-05-10

安徽大學(xué)青年科學(xué)研究基金重點項目(2009QN008A),安徽普通高等學(xué)校自然科學(xué)基金(KJ2010A284),光電信息獲取與控制教育部重點實驗室開放基金項目,安徽大學(xué)211工程三期教學(xué)質(zhì)量工程項目[2304005(0006)]。

石市委(1978-),男,安徽界首人,安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院教師,博士研究生。