在比較時(shí)歸納特征 于操作中形成概念

黃袁媛

【摘要】三角形是學(xué)習(xí)平面圖形知識(shí)的起點(diǎn)，準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征、迅速形成相關(guān)概念對(duì)學(xué)生學(xué)好三角形乃至今后所有的幾何課程都至關(guān)重要。本文以《三角形的認(rèn)識(shí)》為例，詳細(xì)闡述比較引導(dǎo)和操作啟發(fā)在教學(xué)中的重要意義。

【關(guān)鍵詞】比較? ? 特征? ? 操作? ? 概念

一、案例背景

《三角形的認(rèn)識(shí)》是“空間與圖形”領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容之一。學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)直觀認(rèn)識(shí)了三角形，那么，課堂上該如何抽絲剝繭地揭示并歸納出三角形的特征，幫助學(xué)生建立三角形高的核心概念，明確深化三角形中高的畫法呢？在這樣的任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，筆者對(duì)本次執(zhí)教的過程做了詳細(xì)的記錄與分析，取得了良好的教學(xué)效果。現(xiàn)將課堂教學(xué)主要過程簡要介紹如下。

[片段一]認(rèn)識(shí)三角形的特征

師：瞧！黃老師帶來了一些圖片，誰可以找到三角形？

生1：自行車上有三角形。

生2：建筑物上有三角形。

……

根據(jù)學(xué)生指出的三角形，課件動(dòng)態(tài)演示出三角形的輪廓，并隱去實(shí)物產(chǎn)品圖片，抽象出4個(gè)三角形。

師：大家快速準(zhǔn)確地找到了圖片中的三角形，想一想生活中還有哪些三角形？

生1：三角尺上有三角形。

生2：我家弟弟玩的積木上有三角形。

……

師：看來同學(xué)們對(duì)三角形并不陌生，你可以試著在紙上畫一個(gè)三角形嗎？

學(xué)生畫完三角形后，教師組織展示和交流，并讓三個(gè)學(xué)生依次上臺(tái)對(duì)照作品詳細(xì)說說畫三角形的過程。教師隨即將三幅作品并排展示在投影上。

師：比較一下這三個(gè)三角形，它們有哪些共同點(diǎn)呢？

生1：都有三條邊。

生2：都有三個(gè)角。

生3：都有三個(gè)頂點(diǎn)。

師：一條線段2個(gè)端點(diǎn)，為什么三角形有三條線段卻只有3個(gè)頂點(diǎn)呢？

生：每兩條線段有一個(gè)端點(diǎn)重合，所以，三角形有3個(gè)頂點(diǎn)。

師：對(duì)！在數(shù)學(xué)上這就叫首尾相連，首尾相連是三條線段圍成三角形的重要條件。（師板書）

師：誰可以嘗試描述怎樣的圖形稱為三角形嗎？

生：三條線段首尾相連圍成的圖形叫三角形。

師;圍成，你可真善于觀察！說明三角形是一個(gè)封閉的圖形。

思考：三角形是生活中常見的平面圖形，學(xué)生對(duì)其認(rèn)知只停留在直觀的層面，如果要問“什么樣的圖形是三角形？”學(xué)生很難準(zhǔn)確地說出概念，大多數(shù)只能說出一些基本的特征。

考慮到學(xué)生在生活中會(huì)接觸一些三角形的物體，因此，本課伊始，教師聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，選擇他們熟悉的生活場(chǎng)景，引導(dǎo)他們從中尋找現(xiàn)成的三角形。首先在場(chǎng)景圖中尋找，然后聯(lián)系生活中的三角形，并初步感知其特征。接著引導(dǎo)學(xué)生通過畫三角形并在對(duì)所畫的三角形進(jìn)行對(duì)比的活動(dòng)中，進(jìn)一步建立正確而清晰的表象，因?yàn)樯钪械娜切味疾豢杀苊獾乇Ａ糁湮锢韺傩?，只有畫出的三角形才可以看作是?shù)學(xué)意義上的三角形。

本環(huán)節(jié)分兩個(gè)層次，教師先組織了系列活動(dòng)，尋找生活中的三角形，豐富了圖形的表象。再引導(dǎo)學(xué)生從圖形的邊、角、點(diǎn)不同角度進(jìn)行觀察，通過嘗試畫圖、抽象概括等方式，讓學(xué)生自主建構(gòu)三角形的概念特征。

[片段二]認(rèn)識(shí)三角形的高

師（出示圖1）：老師帶來了一張三角形賀卡，你能幫它做一個(gè)長方形的信封嗎？長和寬至少是多少？需要測(cè)量賀卡的什么數(shù)據(jù)？

師：請(qǐng)把你的想法畫出來，再量一量。

（指名演示）

生1：我是用最底下這條邊作為長方形的長，寬是沿著頂點(diǎn)畫出來的線段。（如圖2）

生2：我是用左邊的這條邊作為長方形的寬，長是沿著右下角的頂點(diǎn)畫出的一條垂線。（如圖3）

生3：我是用右邊的這條邊作為長方形的長，寬是沿著左下角的頂點(diǎn)畫出的一條垂線。（如圖4）

師：觀察比較一下以上的設(shè)計(jì)方法，有什么共同點(diǎn)？

生：它們都是基于三角形的一條邊作為長，對(duì)面的頂點(diǎn)到這條邊的距離作為寬。

師：為什么要以這條線段作為寬呢？

交流明確：信封的長是三角形的其中一條邊，寬是這條邊對(duì)面的頂點(diǎn)到這條邊的距離。

師：像這樣的線段，在數(shù)學(xué)上叫作三角形的高（邊說邊用手指高）。誰可以試著描述一下什么叫三角形的高嗎？

生：從三角形上面頂點(diǎn)到下面邊的垂直線段是三角形的高，下面這條邊，也就是上面頂點(diǎn)所對(duì)的邊，是三角形的底邊。

師：可以看到，三角形的高就是頂點(diǎn)到對(duì)邊的什么？

生（眾）：距離。

師：說得不錯(cuò)。（邊說邊演示）我們用虛線表示三角形的高，在高與底邊組成的直角上標(biāo)上直角標(biāo)記。用字母h表示三角形的高，字母a則表示與高相對(duì)應(yīng)的底邊，我們就說，a是高h(yuǎn)對(duì)應(yīng)的底，h是底邊a上的高。

（讓學(xué)生照樣子互相說一說）

師：剛才我們找到了a邊上的高，你覺得這個(gè)三角形一共有多少條高呢？先思考一下。

師：現(xiàn)在老師來采訪一下同學(xué)們，你為什么認(rèn)為是1條？有不同想法嗎？

……

師（課件演示小結(jié)）：三角形有3個(gè)頂點(diǎn)和3條對(duì)邊，每條邊對(duì)應(yīng)一條高，所以三角形有3條高。

思考：在三角形高的認(rèn)識(shí)教學(xué)時(shí)，教師借用給賀卡加信封的設(shè)計(jì)貫穿始終，給予足夠重視，放慢學(xué)生操作學(xué)習(xí)的節(jié)奏，在實(shí)踐中探究信封的長與寬就是三角形對(duì)應(yīng)的底與高，在此基礎(chǔ)上定義三角形的高，水到渠成，瓜熟蒂落。而強(qiáng)調(diào)高對(duì)應(yīng)的底和底上的高，目的在于幫助學(xué)生理解三角形的底與高的相互依存關(guān)系，深化對(duì)概念的理解。

三角形高的認(rèn)識(shí)是本節(jié)課的重點(diǎn)，在問題情境中讓學(xué)生大膽探索與嘗試，使學(xué)生真正“動(dòng)”起來，思維“活”起來，打破傳統(tǒng)教學(xué)三角形高的方法，讓學(xué)生在“操作”中發(fā)現(xiàn)高與邊的關(guān)系，學(xué)得主動(dòng)，學(xué)得輕松，學(xué)得快樂。

[片段三]學(xué)會(huì)畫指定邊上的高

反饋：重點(diǎn)辨析下面這兩種情況。

預(yù)設(shè)：（1）高在直角邊上。我找不到這個(gè)三角形的高在哪里？你知道嗎？問反饋的學(xué)生：他的回答是你畫的高嗎？（2）鈍角三角形。從頂點(diǎn)向底邊作高，又在哪里呢？

師：如果老師把一個(gè)三角形放在一組平行線之間，任選一個(gè)頂點(diǎn)沿著所在的平行線上移動(dòng)，同學(xué)們想象一下，高會(huì)發(fā)生什么情況？

預(yù)設(shè)：（1）三角形的形狀發(fā)生變化了?！罢娴膯幔课覀兊认聛砜纯础?。（2）三角形的高會(huì)移動(dòng)，跑到外面去。“你說的話是什么意思？誰聽懂了？”（3）三角形的面積變了。“這等我們學(xué)習(xí)了面積后再來回顧下這題是否變化了?！?/p>

師（第一次移動(dòng)）：和你們的猜測(cè)一樣嗎？

師（第二次移動(dòng)）：如果老師慢慢移動(dòng)這個(gè)頂點(diǎn)，你們仔細(xì)觀察三角形的高，它的位置又發(fā)生了什么變化？高從外面到里面會(huì)經(jīng)過哪個(gè)地方？

師：在一組平行線中移動(dòng)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)位置有無數(shù)個(gè)，高的位置隨著頂點(diǎn)變化而變化，時(shí)而在圖形內(nèi)，時(shí)而在圖形外，時(shí)而和一條邊重合。多么神奇的高呀！

思考：“高會(huì)移動(dòng)”這是學(xué)生對(duì)于問題的淺層思考。的確，高是隨著頂點(diǎn)移動(dòng)，但是動(dòng)態(tài)的問題對(duì)于空間觀念不強(qiáng)的小學(xué)生來講，理解起來比較困難。教師借用幾何畫板，通過在一組平行線內(nèi)移動(dòng)三角形的頂點(diǎn)，讓學(xué)生直觀感受三角形高的移動(dòng)，體會(huì)到兩條平行線間的垂直線段相等，滲透了等底等高的思想。

在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生經(jīng)歷了“提出猜想→進(jìn)行驗(yàn)證→得出結(jié)論”的探究過程，并聯(lián)系已學(xué)的知識(shí)和日常生活經(jīng)驗(yàn)，猜想高的變化，然后動(dòng)態(tài)操作去驗(yàn)證，最后得出正確結(jié)論。

二、案例總結(jié)

1.特征的歸納來源于對(duì)比

在本課教學(xué)中，教師特別注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從生成的素材中對(duì)比出幾何概念的過程。例如，在引入三角形概念時(shí)，教師通過對(duì)學(xué)生自己所畫的三角形的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生觀察和比較，從三個(gè)不同形狀的三角形中提煉出三角形的共同特征，獲得對(duì)三角形特征的豐富感知。在認(rèn)識(shí)三角形的高時(shí)，通過對(duì)三種不同的信封的設(shè)計(jì)方法的對(duì)比，體會(huì)三角形高的含義及其與對(duì)應(yīng)底的關(guān)系。這樣經(jīng)過比較后的歸納方式，有助于學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)三角形的幾何特征與本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念“外延描述的抽象化”，也有助于學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.概念的形成伴隨著操作

動(dòng)作及表象是兒童認(rèn)識(shí)客觀事物的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。本節(jié)課安排了多樣而豐富的操作活動(dòng)。例如，自己動(dòng)手畫一個(gè)三角形，能讓學(xué)生在操作中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)三角形的特征;給三角形的賀卡設(shè)計(jì)一個(gè)長方形的信封，有助于學(xué)生主動(dòng)在腦海里構(gòu)建高的概念。所有這些，都有助于學(xué)生自主建構(gòu)并理解三角形概念的內(nèi)涵，積極探索獲得平面圖形特征的經(jīng)驗(yàn)，形成初步的直觀推理能力。

圖形教學(xué)的意義不僅在于讓學(xué)生掌握其特征和相關(guān)幾何概念本身，更在于引導(dǎo)學(xué)生形成認(rèn)識(shí)和研究幾何圖形的抽象邏輯思維。通過上述案例，我們發(fā)現(xiàn)在比較時(shí)歸納特征、于操作中形成概念是行之有效的方法，有助于小學(xué)生真正打開思維的天窗，做學(xué)習(xí)的主人。這一理念和教學(xué)方法在之后的平行四邊形和梯形等幾何教學(xué)中應(yīng)繼續(xù)予以貫徹。