亞波長閃耀光柵矢量衍射效率計(jì)算

曹艷波,艾 華

(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林長春 130033)

1 引 言

閃耀光柵是一種能將單個(gè)刻槽面衍射的中央極大和諸槽面間干涉零級(jí)主極大分開的相位型光柵。閃耀光柵的刻槽面與光柵面不平行,兩者之間有一夾角 (稱為閃耀角),從而使單個(gè)刻槽面(相當(dāng)于單縫)衍射的中央極大和諸槽面間 (縫間)干涉零級(jí)主極大分開,將光能量從干涉零級(jí)主極大,即零級(jí)光譜,轉(zhuǎn)移并集中到某一級(jí)光譜上去,實(shí)現(xiàn)該級(jí)光譜的閃耀[1]。而閃耀光柵的衍射效率理論上可以利用基于惠更斯-菲涅耳原理和基爾霍夫積分的標(biāo)量衍射理論進(jìn)行計(jì)算,但結(jié)果只是近似,特別是對(duì)于微小尺寸光柵,無法避免由于入射光的偏振態(tài)而造成的偏差。矢量衍射理論主要針對(duì)處于共振區(qū)域或亞波長區(qū)域的光柵,耦合波方法是目前廣泛使用的一種矢量衍射理論,由M.Moharma率先提出,20世紀(jì) 90年代在穩(wěn)定性、收斂性和計(jì)算效率方面得到不斷完善[2,3]。矢量衍射理論的基礎(chǔ)是嚴(yán)格電磁波理論,即通過在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件上嚴(yán)格地求解 Maxwell方程組,嚴(yán)格耦合波分析算法 (Rigorous Coupled Wave Analysis,RCWA)是通過在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件上嚴(yán)格地求解Maxwell方程組來數(shù)值分析光柵的衍射問題。

本文提出將矢量衍射數(shù)值算法—嚴(yán)格耦合波分析應(yīng)用于亞波長閃耀光柵衍射效率的計(jì)算,介紹了如何利用嚴(yán)格耦合波算法來分析光柵的衍射問題。以金屬鋁閃耀光柵為例進(jìn)行了衍射效率的分析計(jì)算,得到其衍射效率在 TE偏振態(tài)下可達(dá)到 90%以上,并在 -5衍射級(jí)次上產(chǎn)生閃耀。

2 矢量衍射算法—嚴(yán)格耦合波分析

耦合波理論主要包括 3個(gè)步驟:(1)由Maxwell基本方程組求得入射區(qū)域及透射區(qū)域電磁場的表達(dá)式,但這往往可以由 Rayleigh展開式直接給出;(2)將光柵區(qū)域內(nèi)的介電常數(shù)及電磁場用傅里葉級(jí)數(shù)展開,并由 Maxwell基本方程組推導(dǎo)出耦合波方程組;(3)在不同區(qū)域邊界面上運(yùn)用電磁場邊界條件,通過一定的數(shù)學(xué)方法求得各級(jí)衍射波的振幅及衍射效率。耦合波將電磁場按衍射級(jí)次展開,因而耦合波方法涉及到的數(shù)學(xué)理論更為簡單。

由于 TE和 T M兩種偏振的分析計(jì)算方法相同,本文只分析 TE偏振態(tài)波入射的情況。電場矢量平行于刻槽方向,設(shè)入射平面波的波長為λ0,由于在入射區(qū) 1和透射區(qū) 2(如圖1所示)介電常數(shù)為常數(shù),根據(jù) Rayleigh展開式[2],兩個(gè)區(qū)的電場分布為:

圖1 一維矩形衍射光柵示意圖Fig.1 Schematic diagram of one d imension rectangle diffraction grating

式中Rm和Tm分別為第m級(jí)后向衍射和前向衍射的歸一化電場振幅,d為光柵刻槽深度,k0為入射光在真空中的波矢。kxm=k0[n1sinθ+m(λ0/T)];kl,zm=;l=1,2;kxm,kl,zm只能為正實(shí)數(shù)或負(fù)虛數(shù)。

通過計(jì)算矩陣的特征值和特征向量來求解嚴(yán)格耦合波方程[3]:

式中qi和wm,i分別為矩陣 A的特征值的正平方根和特征向量;gm,i為矩陣 G的元素,G=WQ,Q為對(duì)角矩陣,元素qi,系數(shù)由邊界條件確定。代入邊界條件方程,并根據(jù)定義,可以得出光柵的衍射效率為:

對(duì)于不規(guī)則結(jié)構(gòu)的閃耀光柵,可以將其分為若干層,每一層當(dāng)作是一個(gè)矩形光柵,從而任意面形光柵可由若干占空比不同、周期相同的矩形光柵進(jìn)行依次疊加來近似,矩形越小,層數(shù)越多,簡化結(jié)構(gòu)越接近實(shí)際結(jié)構(gòu),計(jì)算結(jié)果更精確,但是也會(huì)影響到計(jì)算結(jié)果的收斂性,如圖2所示。

圖2 閃耀光柵的二維簡化計(jì)算模型Fig.2 Two d imension simplyfied model of blazed grating

對(duì)于任意的第l層,考慮到算法的繼承性,直接從第l層的 TE偏振電場和磁場空間諧波振幅開始算起:

式中di為第i層的厚度,Dl=dk,其他參數(shù)如前所述。迭代計(jì)算即可求出復(fù)雜多層結(jié)構(gòu)的衍射效率,對(duì)于計(jì)算過程中出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定性問題,可以采用增強(qiáng)透射矩陣算法得到較好的解決[4],通過帶入邊界條件,可以得到多層結(jié)構(gòu)的綜合算式:

式中 X,Y1和 Y2都為對(duì)角矩陣,其對(duì)角元素分別為 exp(-k0qid),k1,zi/k0和k2,zi/k0,由此式也可以得出透射效率的計(jì)算結(jié)果。

3 閃耀光柵衍射效率的計(jì)算分析結(jié)果

利用上述嚴(yán)格耦合波分析算法,對(duì)亞波長閃耀光柵進(jìn)行分析計(jì)算。分析對(duì)象為將二氧化硅表面鍍的純金屬鋁膜刻蝕而成的楔形閃耀光柵,光柵的截面幾何結(jié)構(gòu)如圖3所示。光柵參數(shù)為:閃耀角β=11.3°,光柵常數(shù)d=500 nm。

圖3 閃耀光柵截面尺寸折射率云圖Fig.3 Contour map of cross-section profile of blazed grating

由于計(jì)算分析的譜段為可見光范圍,金屬材料對(duì)可見光的吸收率大,而且折射率隨波長變化比較大,金屬鋁在可見光波段內(nèi)的折射率如表1所示[5],而底層材料二氧化硅對(duì)可見光的折射率可以近似為常數(shù),約為 1.45。

表1 可見光范圍內(nèi)金屬鋁不同波長的折射率[5]Tab.1 Refractive indice of alum in ium in VIS spectral coverage[5]

通過簡化結(jié)構(gòu)后對(duì)該光柵進(jìn)行計(jì)算,可以得到光柵各級(jí)衍射效率 (包括反射、透射和吸收,由于金屬介質(zhì)對(duì)可見光波段的消光系數(shù)大,透射為零),多層光柵結(jié)構(gòu)周期相同,占空比不同,在入射角為閃耀角 (即θ=11.3°)時(shí),分別計(jì)算 TE和T M兩種偏振態(tài)下的衍射效率。各級(jí)衍射效率之和 (±6級(jí))如圖4所示,對(duì)應(yīng)級(jí)次為 -5的衍射效率的閃耀方向如圖5所示。

圖4 入射角為閃耀角時(shí)計(jì)算的各級(jí)衍射效率之和Fig.4 Total diffraction efficiency when launch angle is a blazed angle

圖5 入射角為閃耀角時(shí) -5級(jí)次的衍射效率Fig.5 Diffraction efficiency of-5 order when launch angle is a blazed angle

從結(jié)果可以看出,在可見光譜段內(nèi),TE偏振態(tài)的衍射效率要高于 T M偏振態(tài),衍射效率主要集中在 0級(jí),但是在 -5級(jí)出現(xiàn)閃耀,同樣級(jí)次在短波段范圍內(nèi),T M偏振態(tài)的衍射效率略高于 TE偏振態(tài) (除了個(gè)別奇異點(diǎn)外,二者趨于一致)。

利用標(biāo)量衍射的算法對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算[1],結(jié)果如圖6和圖7所示,在入射條件和計(jì)算的衍射級(jí)次不變的前提下,不考慮入射光的偏振態(tài),得出閃耀的衍射級(jí)次和總的衍射效率,可以得到相同的衍射效率結(jié)果 (由于波長/光柵常數(shù)比不在標(biāo)量衍射計(jì)算范圍),計(jì)算結(jié)果必然存在很大偏差[6,7]。

圖6 標(biāo)量衍射計(jì)算的各級(jí)衍射效率之和Fig.6 Total diffraction efficiency using scalar diffraction computingmethod

圖7 標(biāo)量衍射計(jì)算的 -1級(jí)次的衍射效率Fig.7 Diffraction efficiency of-1 order using scalar diffraction computingmethod

4 結(jié) 論

本文將矢量衍射數(shù)值算法—嚴(yán)格耦合波分析應(yīng)用于亞波長閃耀光柵衍射效率的計(jì)算,該方法能夠計(jì)算任意復(fù)雜輪廓光柵,通過細(xì)分分層,可以得到光柵基本單元,各層之間通過增透矩陣算法來實(shí)現(xiàn)多層的傳遞計(jì)算,結(jié)果相對(duì)于標(biāo)量衍射計(jì)算方法能得到更加精確的結(jié)果。對(duì)于亞波長閃耀光柵在可見光范圍內(nèi)以閃耀角入射時(shí)的各級(jí)衍射效率進(jìn)行計(jì)算,得到其衍射效率在 TE偏振態(tài)下可以達(dá)到 90%以上,并在 -5衍射級(jí)次上產(chǎn)生閃耀。矢量衍射數(shù)值算法可以適用于刻線更加致密的閃耀光柵,可以得到精確的衍射效率分析計(jì)算結(jié)果。

[1] 趙博,宴磊,李顏青,等.閃耀光柵的傅里葉分析 [J].光學(xué)技術(shù),2001,27(2):103-108.ZHAO B,YAN L,L I YQ,et al..Analysis of blazed gratings with Fourier optics[J].Opt.Technique,2001,27(2):103-108.(in Chinese)

[2] MOHARAM M G,GRANN E B,POMMETD A,et al..Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings[J].J.Opt.Soc.Am.A,1995,12(5):1068-1076.

[3] LALANNE P. Improved formulation of the coupled-wave method for two-dimensional gratings[J].J.Opt.Soc.Am.A,1997,14(7):1592-1598.

[4] MOHARAM M G,POMMET D A,GRANN E B,et al..Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings:enhanced trans mittance matrix approach[J].J.Opt.Soc.Am.A,1995,12(5):1077-1086.

[5] EDWARD D P.Handbook of Optical Constants in Solids[M].New York:Academic Press,1985.

[6] 李娜娜,安志勇,崔繼承.中階梯光柵光譜儀光學(xué)系統(tǒng)的安裝及檢測[J].光學(xué)精密工程,2009,17(3):531-536.L IN N,AN ZH Y,CU IJ CH.Aligning and testing of optical system of echelle spectrography[J].Opt.Precision Eng.,2009,17(3):531-536.(in Chinese)

[7] 張善文,巴音賀希格.寬波段金屬光柵設(shè)計(jì)中閃耀波長對(duì)光柵異常的補(bǔ)償效應(yīng)[J].光學(xué)精密工程,2009,17(5):990-1000.ZHANG SHW,Bayanheshig.Compensating effectof blazedwavelength to grating anomalies in design of broad bandmetallie diffraction gratings[J].Opt.Precision Eng.,2009,17(5):990-1000.(in Chinese)