特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等的充要條件及其應(yīng)用

譚玉明

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 滁州239012）

特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等的充要條件及其應(yīng)用

譚玉明

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 滁州239012）

給出了矩陣的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等的幾個(gè)充分必要條件以及它們的應(yīng)用.

特征多項(xiàng)式；最小多項(xiàng)式；不變因子；初等因子

0 引言

設(shè)Mn（F）是數(shù)域F上n階方陣的集合，F(xiàn)［x］是F上一元多項(xiàng)式的集合，A∈Mn（F）的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式分別為fA（x），mA（x）.設(shè)g（x）＝xn＋a1xn－1＋…＋a0∈F［x］，則稱n階方陣

為g（x）的友陣.若首1多項(xiàng)式g1（x），…，gr（x）∈F［x］，gi＋1（x）｜gi（x），i＝1，2，…，r－1，則稱準(zhǔn)對(duì)角陣diag（C（g1（x）），…，C（gr（x）））為有理標(biāo)準(zhǔn)形.設(shè)p（x）為F［x］中首1不可約多項(xiàng)式，則稱分塊下三角形矩陣

為（p（x））k的廣義若當(dāng)塊，其中

特別地，當(dāng)p（x）＝x－c時(shí)，

為k階若當(dāng)塊，此時(shí)J（（x－c）k）可簡(jiǎn)記為Jk（c）.若p1（x），…，pr（x）是數(shù)域F上首1不可約多項(xiàng)式，則稱準(zhǔn)對(duì)角陣

為廣義若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.特別地，當(dāng)p1（x）＝x－c1，…，pr（x）＝x－cr時(shí)，J＝diag（Jk1（c1），…，Jkr（cr））為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.不難驗(yàn)證，友陣、廣義若當(dāng)塊、若當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式均相等.若A∈Mn（F）在F上的不變因子組和初等因子組分別為g1（x），…，gr（x）（gi＋1（x）｜gi（x），i＝1，2，…，r－1）和p1（x）k1，…，ps（x）ks（p1（x），…，pr（x）是F上首1不可約多項(xiàng)式），則A在F上相似于有理標(biāo)準(zhǔn)形diag（C（g1（x）），…，C（gr（x）））和廣義若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形diag（J（p1（x）k1），…，J（ps（x）ks）），而且除了對(duì)角塊的排列次序外兩種標(biāo)準(zhǔn)形都是惟一的.

一般地，對(duì)A∈Mn（F），有mA（x）｜fA（x）且兩者根集相等，但實(shí)際問(wèn)題中常遇到mA（x），fA（x）是否相等的問(wèn)題，弄清這些問(wèn)題有利于學(xué)生理解線性代數(shù)中的一些重要定理，因而對(duì)此作深入探討是有意義的.

1 主要定理

定理1 設(shè)A∈Mn（F），則以下命題等價(jià)：

（1）mA（x）＝fA（x）；

（2）A的不變因子組為1，…，1，fA（x）；

（3）A的有理標(biāo)準(zhǔn)形為C（fA（x））；

（4）A對(duì)應(yīng)的線性變換所作用的線性空間是一循環(huán)空間；

（5）A的初等因子組是F上兩兩互素的首1不可約多項(xiàng)式的冪：p1（x）k1，…，ps（x）ks；

（6）A的廣義若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為diag（J（p1（x）k1），…，J（ps（x）ks）），其中p1（x）k1，…，ps（x）ks是A在F上的初等因子組；

（7）在復(fù)數(shù)域C上，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為diag（J（c1），…，J（cs）），其中c1，…，cr為A的全部不同特征值；

（8）在復(fù)數(shù)域C上，A屬于每個(gè)特征值只有1個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量；

（9）矩陣方程AX＝XA的解空間的維數(shù)是n；

（10）與A可換的矩陣均為A的多項(xiàng)式.

易證（1）、（2）、（3）、（4）等價(jià)，（2）、（5）、（6）、（7）、（8）等價(jià).為證（7）與（9）、（10）等價(jià)，先證明以下引理

引理1 設(shè)A＝diag（J（c1），…，J（cs））為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則矩陣方程AX＝XA的解是X＝（Xij）s×s與A的分法相同的分塊矩陣，且

其中下三角分層矩陣是指如下形狀的矩陣：

證明 方程AX＝XA相當(dāng)于J（ci）Xij＝XijJ（cj），i，j＝1，2，…，s.當(dāng)ci≠cj時(shí)，J（ci）與J（cj）無(wú)公共特征值，故Xij＝0.當(dāng)ci＝cj時(shí)，J（ci）Xij＝XijJ（cj）相當(dāng)于J（0）Xij＝XijJ（0），兩邊乘開比較元素可得Xij為下三角分層矩陣.

下面證（7）與（9）等價(jià)：若在復(fù)數(shù)域C上A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J＝diag（J（c1），…，J（cs）），其中c1，…，cr互不相同.設(shè)X是任意與A可換的矩陣且J＝P－1AP，令Y＝P－1XP，則方程AX＝XA等價(jià)于方程JY＝Y(jié)J，由引理1得Y＝（Yij）s×s，其中

由于當(dāng)1≤i≠j≤s時(shí)，ci≠cj，故Yij＝0，從而Y＝diag（Y11，…，Yss）且對(duì)角線上的小塊均為下三角分層矩陣.所以Y中共有n個(gè)自由參數(shù)，故X＝PYP－1中也有n個(gè)自由參數(shù)，所以方程AX＝XA的解空間的維數(shù)是n.

若在復(fù)數(shù)域C上，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J＝diag（J（c1），…，J（cs））中c1，…，cr有相同的情形，不妨設(shè)c1＝c2，由引理1知，方程JY＝Y(jié)J的解Y＝（Yij）s×s中除對(duì)角線上的小塊均為下三角分層矩陣外，Y12，Y21也是下三角分層矩陣.因此Y中自由參數(shù)個(gè)數(shù)大于n，從而原方程的解空間維數(shù)大于n.

再證（7）與（10）等價(jià)：若在復(fù)數(shù)域C上A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J＝diag（J（c1），…，J（cs）），其中c1，…，cr互不相同.設(shè)X是任意與A可換的矩陣，J＝P－1AP，Y＝P－1XP，故JY＝Y(jié)J.由上面證明知，Y＝diag（Y11，…，Yss）且對(duì)角線上的小塊均為下三角分層矩陣.取Lagrange－Sylvester內(nèi)插多項(xiàng)式p（x），可使p（J）＝Y(jié).p（x）的具體算法參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］.所以X＝PYP－1＝Pp（J）P－1＝p（PJP－1）＝p（A）.

若在復(fù)數(shù)域C上，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J＝diag（J（c1），…，J（cs））中c1，…，cr有相同的情形，X，Y同上所設(shè)，由上面證明知Y＝（Yij）可以取到非準(zhǔn)對(duì)角形Y0，所以不存在任何多項(xiàng)式p（x）使p（J）＝Y(jié)0，從而也不存在任何多項(xiàng)式g（x）使g（A）＝X0＝PY0P－1.

注1 由（4）知，mA（x）＝fA（x）等價(jià)于A有一個(gè)循環(huán)向量，即存在列向量α∈Fn，使α，Aα，…，An－1α為Fn的一組基.

由（7）知，mA（x）＝fA（x）等價(jià)于A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中屬于每個(gè)特征值的若當(dāng)塊只有一塊，可見(jiàn)這樣矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的若當(dāng)塊沒(méi)有“分裂”.

由（10）知當(dāng)且僅當(dāng)mA（x）＝fA（x）時(shí)，A的中心化子C（A）＝｛X∈Mn（C）｜AX＝XA｝等于｛g（A）｜g（x）∈C［x］｝.

2 應(yīng)用舉例

推論1 設(shè)c1，…，cr為A∈Mn（F）的互不相同特征值，g（x）∈F［x］，若g（c1），…，g（cr）互不相同且g′（c1），…，g′（cr）均不為0，則

證明 （?）由（7）可設(shè)A＝Pdiag（J（c1），…，J（cr））P－1，其中c1，…，cr為A的全部不同特征值.則

g（A）＝Pdiag（g（J（c1）），…，g（J（cr）））P－1，

其中

因g′（c1），…，g′（cr）均不為0，則g（J（ci））的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為

又由于g（c1），…，g（cr）互不相同，所以g（A）的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中屬于不同特征值的若當(dāng)塊只有一塊，由（7）得

（?）假如mA（x）≠fA（x），由（7）知，A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中屬于某一特征值的若當(dāng)塊至少有兩塊，從而g（A）的也是.再由（7）得mg（A）（x）≠fg（A）（x）.

注2 盡管A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中屬同一特征值若當(dāng)塊只有一個(gè)，但是g（A）的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的同一特征值的若當(dāng)塊一般會(huì)發(fā)生兩種情況的變化：一是原來(lái)屬于不同特征值的幾個(gè)若當(dāng)塊“整合”成了屬于同一特征值的若干若當(dāng)塊，這是由于g（x）將這些不同特征值變?yōu)橄嗤?；二是屬于某特征值ci的階數(shù)大于1的若當(dāng)塊“分裂”成幾個(gè)屬于同一特征值的若當(dāng)塊，這是由于g′（x）將ci變?yōu)?.推論1的條件g（c1），…，g（cr）互不相同保證了A的屬于不同特征值若當(dāng)塊不會(huì)“整合”，條件g′（c1），…，g′（cr）均不為0保證了A的屬于同一特征值的若當(dāng)塊不會(huì)“分裂”.

推論1 容易推廣到g（x）為在A的譜影上有定義的任意復(fù)變函數(shù)，譜影的定義可見(jiàn)文獻(xiàn)［1］，這里不再贅述.例如，當(dāng)可逆矩陣A滿足mA（x）＝fA（x）時(shí)，mA3（x）＝fA3（x），meA（x）＝feA（x），mA－1（x）＝fA－1（x），mA＊（x）＝fA＊（x），但是mA2（x），fA2（x）不一定相等.

推論2 設(shè)A∈Mn（F）且mA（x）＝fA（x），則A在數(shù)域F上可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)A在F中有n個(gè)不同特征值.

證明：（必要性）因A在數(shù)域F上可對(duì)角化，則A在數(shù)域F中有n個(gè)特征值.假如有相同的特征值，則mA（x）≠fA（x）.充分性顯然.

由此不難推出，對(duì)復(fù)數(shù)域上正規(guī)矩陣A，mA（x）＝fA（x）當(dāng)且僅當(dāng)fA（x）無(wú)重根.故實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征多項(xiàng)式如有重根，則mA（x）≠fA（x）.

推論3 設(shè)A∈Mn（F）在數(shù)域F上有k次方根B，即Bk＝A.若mA（x）＝fA（x），則mB（x）＝fB（x）.

證明 （反證法）若mB（x）≠fB（x），由（7）知，B的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中屬于某一特征值的若當(dāng)塊至少有兩塊，則A＝Bk的也是，矛盾.

注3 對(duì)實(shí)數(shù)域R上的矩陣A＝Pdiag（Jk1（c1），…，Jkr（cr））P－1，若c1，…，cr∈R互不相同且A在R上有平方根B，則B的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為diag（Jk1（d1），…，Jkr（dr）），其中d1，…，dr∈R互不相同且d2i＝ci，i＝1，…，r.因此，當(dāng)c1，…，cr出現(xiàn)0或負(fù)數(shù)時(shí)，A在R上沒(méi)有平方根B.

下面以參考文獻(xiàn)［2］、［3］中幾個(gè)習(xí)題為例來(lái)說(shuō)明定理1及其推論的應(yīng)用.

例1 證明：σ2有循環(huán)向量，則σ也有循環(huán)向量.反過(guò)來(lái)對(duì)嗎？

證明 化為矩陣問(wèn)題是：A2有循環(huán)向量，則A也有循環(huán)向量.因A2有循環(huán)向量，由（4）知，則mA2（x）＝fA2（x），再由推論3得mA（x）＝fA（x），再由（4）知A也有循環(huán)向量.

例2 設(shè)σ是F上n維線性空間V的線性變換，有循環(huán)向量.證明：與σ可換的線性變換τ必為σ的多項(xiàng)式.

證明 化為矩陣問(wèn)題是：A有循環(huán)向量，則與A可換的線性變換B必為A的多項(xiàng)式.這可直接由命題（4）（10）得.

例3 設(shè)σ是F上n維線性空間V的線性變換，證明：V中有向量α具有如下性質(zhì)：對(duì)任意多項(xiàng)式f（x），若f（σ）α＝0則f（σ）＝0（此種向量稱為分離向量）.再證明，若σ有循環(huán)向量，則循環(huán)向量是分離向量.

證明 仍化為矩陣問(wèn)題.設(shè)σ對(duì)應(yīng)的矩陣是A，由A的有理標(biāo)準(zhǔn)形知，F(xiàn)n中存在向量α以mA（x）為其最小零化子，由題意知對(duì)任意多項(xiàng)式f（x），若f（x）是α的零化子，則mA（x）｜f（x），故f（A）＝0，從而f（σ）＝0.

若A有循環(huán)向量β，則由（4）知，mA（x）＝fA（x），且β的最小零化子mA（x）＝fA（x）.對(duì)任意多項(xiàng)式f（x），若f（A）β＝0，則mA（x）｜f（x），從而f（A）＝0，故β是分離向量.

例4 設(shè)N為域F上n階方陣，Nn＝0，Nn－1≠0.證明：不存在n階方陣A使A2＝N.

證明 由題意知mN（x）＝fN（x）＝xn，n＞1.由（7）知N的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為n階方陣Jn（0），由注3知N無(wú)平方根.

例5 設(shè)A為n階復(fù)方陣，證明：存在一個(gè)n維向量α使α，Aα，…，An－1α線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是，A的每個(gè)特征值恰有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

證明 存在一個(gè)n維向量α，使α，Aα，…，An－1α線性無(wú)關(guān)，等價(jià)于Cn為一循環(huán)空間（對(duì)A），由（4）（8）等價(jià)直接可得證.

［1］王耕祿，史榮昌.矩陣?yán)碚摚跰］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1988.

［2］張賢科，許甫華.高等代數(shù)學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1998.

［3］王品超.高等代數(shù)新方法［M］.濟(jì)南：山東教育出版社，1989.

On Necessary and Sufficient Conditions for Equality of Characteristic Polynomial with Minimum Polynomial and their Application

Tan Yuming
（Department of Mathematics，Chuzhou University，Chuzhou 239012，China）

Some necessary and sufficient conditions for equality of characteristic polynomial with minimum polynomial and their application are given in this paper.

characteristic polynomial；minimum polynomial；invariant factors；elementary factors

O151

：A

：1673－1794（2010）05－0001－03

譚玉明（1965－），男，副教授，碩士，主要從事代數(shù)學(xué)教學(xué)科研。

安徽省高等學(xué)校應(yīng)用數(shù)學(xué)省級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目，滁州學(xué)院本科優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)項(xiàng)目

2010－08－03