漸近線性二階常微分方程組解的存在性和多重性

卜玉成,束永祥,盧蕊,凌蕾花

(1.鎮(zhèn)江高等專科學校教師教育系,江蘇丹陽 212310;2.鎮(zhèn)江高等?？茖W校學報編輯部,江蘇鎮(zhèn)江 212003; 3.鎮(zhèn)江高等?？茖W校人事處,江蘇鎮(zhèn)江 212003)

漸近線性二階常微分方程組解的存在性和多重性

卜玉成1,束永祥1,盧蕊2,凌蕾花3

(1.鎮(zhèn)江高等?？茖W校教師教育系,江蘇丹陽 212310;2.鎮(zhèn)江高等?？茖W校學報編輯部,江蘇鎮(zhèn)江 212003; 3.鎮(zhèn)江高等?？茖W校人事處,江蘇鎮(zhèn)江 212003)

研究一類漸近線性二階常微分方程組解的情況。通過建立對應線性二階常微分方程組的指標理論,得到漸近線性二階常微分方程組解的存在性與多重性判定方法和實例。

二階常微分方程組;線性系統(tǒng)的指標理論;解的存在性;解的多重性

0 引 言

董玉君[1]討論了漸近線性二階 Hamilton系統(tǒng)

在Dirchlet邊值

下解的存在性和多重性,其中V:[0,1]×Rn→R和V′:[0,1]×Rn→Rn均連續(xù),V′表示 V關于 x的導數(shù)。岳靜[2]和卜玉成[3]進一步討論了系統(tǒng) x″+Cx′+V′(t,x)=0在條件 (2)下解的存在性和多重性,其中:C是 n階反對稱矩陣,V滿足的條件同上。

I.Ekeland[4]提出了系統(tǒng) (1)的另一種拓展形式

其中:C(t)是 n階對稱矩陣函數(shù),V滿足的條件同上。I.Ekeland指出,分析系統(tǒng) (3)有助于我們處理一些非凸性問題。本文將討論系統(tǒng)(3)在條件(2)下解的存在性和多重性。

2 線性系統(tǒng)的指標理論

對?A1,A2∈GLs(Rn),若 A2-A1半正定,則記 A1≤A2;若 A2-A1正定,則記 A1＜A2。對?A1,A2∈L ((0,1);GLs(Rn)),若對 a.e.t∈(0,1)有 A1(t)≤A2(t),則記 A1≤A2;若 A1≤A2,且在 (0,1)內具有非零測度的子集上有 A1(t)＜A2(t),則記。

系統(tǒng)(3)對應線性系統(tǒng)為

定義1 記二次型若φC,A(x,y)=0,則稱 x與 yφC,A正交。H1和 H2是 H中的兩個子空間,若對?x∈H1,y∈H2都有 x與 yφC,A正交,則稱子空間 H1與 H2φC,A正交。

命題 1 對?A∈L ((0,1);GLs(Rn)),H必有一φC,A正交分解式:,且滿足:1)φC,A(x,x)＞0,; 4)都是有限維的。

證明 定義內積

由定理 5.4.2[5]可知,范數(shù)‖x‖λ0和‖x‖等價,其中λ0＞0且滿足A＜λ0In。由 Riesz表示定理可知,存在連續(xù)線性算子→H滿足

記τ:H→L2是緊嵌入,則 fλ0τ:H→H是自伴緊算子。由自伴緊算子的譜理論可知,存在μi→0和 ei∈H(i= 1,2,…),使得

由式(6),式(7)可得

從而由定義 1可知命題 1成立。

定義 2 對?A∈L ((0,1);GLs(Rn)),定義和νC(A)分別稱為A的指標和零化度。

定義 3[6-7]若φ是 Hilbert空間 X上的對稱雙線性形式,則它的Morse指標和零化度定義如下:

證明 式(10)是顯然的,下面證明式(9)。

引理 2 設 x∈H,f∈L2((0,1),Rn)滿足則 x∈H2且滿足 x″+f(t)=0。

證明 對于 f∈L2((0,1),Rn),存在 F(t)∈H2滿足 F″(t)=f(t),故

由 y的任意性可得 x′(t)+F′(t)=0,從而 x″(t)+f(t)=0。

命題 2 對于?A∈L ((0,1);GLs(Rn)),iC(A)和νC(A)具有以下性質:1)νC(A)是式 (4),式 (2)解空間的維數(shù),且對?A1,A2((0,1);GLs(Rn)),若 A1≤A2,則 iC(A1)≤iC(A2);若 A1＜A2,則 iC(A1)+νC(A1)≤iC(A2)。

由引理 2可知,x是式 (4),式(2)的解。

3)由于A1≤A2,故對?x∈(A1),有φC,A2(x,x)≤φC,A1(x,x)＜0。由φ的Morse指標定義和引理 1可知 iC(A1)≤iC(A2)。若 A1＜A2,則φC,A2(x,x)＜φC,A1(x,x)＜0。對?y∈(A1),有φC,A2(y,y)＜φC,A1(y, y)=0,故由定義 3和引理 1可知,iC(A1)+νC(A1)≤iC(A2)。

3 漸近線性系統(tǒng)解的存在性與多重性

定理1 設

1)存在連續(xù)函數(shù) A∈L ((0,1);GLs(Rn))和 h:[0,1]×Rn→Rn,對于?t∈[0,1]當 |x|→ 時一致有h(t,x)=ο(|x|),使得

2)存在 A1,A2∈L ((0,1);GLs(Rn))且 A1≤A2,iC(A1)=iC(A2)＞0,νC(A2)=0,使得

或存在 A0∈L ((0,1);GLs(Rn))且 iC(A0)+νC(A0)=0使得

則式(3),式(2)至少有一個解。

定理2 設

1)V∈C2([0,1]×Rn,R),對于任意 |x|≥M ＞0,必存在 A1,A2((0,1);GLs(Rn)),使得A1(t)≤V″(t,x)≤A2(t),且 iC(A1)=iC(A2)＞0,νC(A2)=0;

2)V(t,θ)=0,V′(t,θ)=θ,A0(t):=V″(t,θ),且 iC(A1)?[iC(A0),iC(A0)+νC(A0)],則式 (3),式 (2)至少有一個非平凡解;

同時,若 3)νC(A0)=0,|iC(A1)-iC(A0)|≥n,則式 (3),式 (2)有兩個非平凡解。

定理 1和定理 2的證明完全依據(jù)指標理論進行,限于篇幅,本文不再給出,感興趣的讀者可參考文獻[2-3]。下面給出定理 1和定理 2的應用實例。

4 實 例

例 1 設 C(t)=diag{λ1,λ2,…λn},A(t)=diag{μ1,μ2,…μn},fi:R→[0,α]連續(xù)且 fi(R)=[0,α],其中:α＞0,λi, μi∈R(i=1,2,…,n)。記t∈[0,1],x∈ Rn,故 V(t,x)滿足式 (11),其中:A(t,x) =A(t) +diag{f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)},若令α},則 iC(A0)=νC(A0)=0,故 A(t,x)滿足式 (13);若λi+μi+α∈(k2π2,(k+1)2π2)(i=1,2,…,n)且α充分小,令 A1(t)=A(t),A2(t)=A(t)+αIn,則νC(A2)=0,iC(A1)=iC(A2)=nk,故 A(t,x)滿足式 (12),由定理 1可知,式(3),式(2)有解。

[1]DONG Yu-jun.Index theory,nontrivial solutions and asymptotically linear second-order Hamiltonian systems[J].J.Differential Equations,2005(214):233-255.

[2]岳靜.指標理論和漸近線性二階常微分方程組解的存在性[D].南京:南京師范大學數(shù)學科學學院,2008.

[3]卜玉成.漸近線性二階常微分方程組解的多重性[D].南京:南京師范大學數(shù)學科學學院,2009.

[4]EKELAND I.Convexitymthods in hamiltonian mechanics[M].Berlin:Springer,1990.

[5]張恭慶,林源渠.泛函分析講義 (I)[M].北京:北京大學出版社,1987.

[6]MAWH IN J,W ILLEM M.Critical point theory and hamiltonian systems[M].Berlin:Springer,1998.

[7]CHANG K C.Infinite morse theory and multiple solution problems[M].Basel:Birkhauser,1993.

〔責任編輯:盧 蕊〕

Existence and multiplicity of solutions of asymptotically linear second-order ordinary different ial system s

BU Yu-cheng1,SU Yong-xiang1,LU Rui2,L ING Lei-hua3

(1.Teachers'TrainingDepartment,Zhenjiang College,Danyang 212300,China;2.Journal EditorialDepartment,Zhenjiang College, Zhenjiang 212003,China;3.PersonnelDepartment,Zhenjiang College,Zhenjiang 212003,China)

Solutionsof asymptotically linear second-orderordinary differential systems are discussed and index theory of correspondingly linear systems is established.Existence and multiplicity of solutions of asymptotically linear second-order ordinary differential systems are obtained from it.At the same time,examples are given.

second-orderordinary differential systems;index theory of linear systems;existence of solutions;multiplicity of solutions

O175.1

A

1008-8148(2010)03-0062-04

2010-03-02

鎮(zhèn)江高等?？茖W校 2010年度校級科研課題(2010053113);江蘇省“青藍工程”資助項目(蘇教師〔2007〕2號)

卜玉成(1978—),男,江蘇丹陽人,講師,碩士,主要從事常微分方程研究;束永祥 (1972—),男,江蘇丹陽人,副教授,碩士,江蘇省“青藍工程”優(yōu)秀青年骨干教師,主要從事基礎數(shù)學和數(shù)學教育教學研究。