將正n邊形分成大小形狀相同的n等份有無(wú)窮多種方法

李海

（和田師專(zhuān)數(shù)學(xué)系 新疆和田 848000）

將正n邊形分成大小形狀相同的n等份有無(wú)窮多種方法

李海

（和田師專(zhuān)數(shù)學(xué)系 新疆和田 848000）

我們?cè)谥衅趫?bào)告中只是證明了正四邊形，在此我們還是用“中點(diǎn)分形法”證明對(duì)正n邊形命題也成立，又想出了另外的一種證明方法“旋轉(zhuǎn)多邊形法”，從而在此基礎(chǔ)上推廣了一個(gè)結(jié)論：對(duì)一般的圖形 P只要具有以下兩點(diǎn)性質(zhì)：1.旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ后與原圖形重合；2.存在一個(gè)正整數(shù)n，使得那么就能將此圖形分成大小形狀相同的n等份。也可以將其類(lèi)似等分。

正n邊形；分法；等分；無(wú)窮

在中期報(bào)告中我們證明了正四邊形可以分成大小、形狀相同的四等份，且有無(wú)窮種分法。現(xiàn)我們用“中點(diǎn)分形法”證明對(duì)正n邊形該結(jié)論也成立。

據(jù)中期報(bào)告的分法可知，取正n邊形邊的中點(diǎn)，連接這些點(diǎn)，組成的仍為正n邊形，找出其中心，連其中心和中點(diǎn)，如圖1所示：

圖1

圖2

1A，2B，3C，4D都是大小形狀相同的，這就是一種分法。更進(jìn)一步，在剛剛那個(gè)正n邊形的基礎(chǔ)上，可以用同樣的辦法。如圖2所示，就是在剛剛所得正n邊形的基礎(chǔ)上做得，其中相同數(shù)字的塊組成一個(gè)大塊，111，222，333……都是大小形狀相同的，故這又是一種分法。如此反復(fù)下去，對(duì)于正n邊形，把它分成大小、形狀相同的n等份有無(wú)窮種方法。這個(gè)方法簡(jiǎn)單易行，而且還很直觀(guān)。

在此基礎(chǔ)上，我們又想到另外的一種證明方法“旋轉(zhuǎn)多邊形法”：記正n邊形的中心為O，分別在邊上取使得連接則又因?yàn)檎齨邊形繞O旋轉(zhuǎn)與原多邊形重合，其中與與與重合，′與′與與重合，即有四邊形與四邊形重合，…四邊形與四邊形重合，所以有四邊形四邊形四邊形與四邊形大小形狀完全相同，而且是對(duì)應(yīng)邊上使得成立的任意點(diǎn)，故有無(wú)窮多種取法，從而分法有無(wú)窮多種，命題得證。

經(jīng)過(guò)上面對(duì)正n邊形的分法，我們進(jìn)一步推廣證明了對(duì)一般的圖形P只要具有以下兩點(diǎn)性質(zhì)：

1.旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ后與原圖形重合；

由性質(zhì)1知該圖形存在旋轉(zhuǎn)中心，設(shè)該圖形的旋轉(zhuǎn)中心為O，然后在該圖形的任一邊（若該圖形是由曲線(xiàn)圍成，則只須在該曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)即可）上選取一點(diǎn)A1，連接旋轉(zhuǎn)中心和該點(diǎn)，將直線(xiàn)OA1按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度θ與該圖形交于A2點(diǎn)，將此手續(xù)進(jìn)行n次，分別與該圖形交于A3、A4…An點(diǎn)，連接OA2、OA3…OAn，很容易驗(yàn)證這n個(gè)圖形大小形狀相同，由點(diǎn)A1的任意選取性可知該分法有無(wú)窮種，證畢。

圖4

如圖4：圖形五角星ACDEF，N，X，P，Q，R是在邊上取得點(diǎn)，保證NI=XJ=PK=LQ=RM，就可以知道多邊形ANORM，CXONI，DPOXJ，EQOPK，F(xiàn)ROQL，大小形狀都相等，此為一種分法。因?yàn)镹，X，P，Q，R是在邊上任意取得，故有無(wú)窮多種分法。

特別的，我們可以猜測(cè)在三維空間中，對(duì)于正多面體，我相信也可以用我們的分法來(lái)將其等分。

以上只是通過(guò)幾何作圖方法簡(jiǎn)單的證明了推廣的結(jié)論，由于所學(xué)知識(shí)有限，對(duì)旋轉(zhuǎn)體和圖形結(jié)構(gòu)還不能深入研究，因此在這不能從理論上系統(tǒng)證明，因此該證明待續(xù)。

經(jīng)過(guò)這一段時(shí)間的學(xué)習(xí)與研究，我們從系統(tǒng)上證明了可將正 n邊形等分成大小、形狀相同的n等份，且有無(wú)窮種分法。我們先從正四邊形中著手，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體到抽象，一步一步地完成，得到我們所要證明的結(jié)論。然后我們還作了進(jìn)一步推廣，對(duì)具有上述性質(zhì)1和性質(zhì)2的一般圖形P仍然可以等分成大小、形狀相同的n等份，且有無(wú)窮種分法。

這里，我們只是從幾何作圖方法簡(jiǎn)單證明了該結(jié)論。不過(guò)我們還是希望可以用數(shù)學(xué)軟件把分圖的過(guò)程表達(dá)出來(lái)。經(jīng)過(guò)一起討論思考，我們猜想：對(duì)于一般的n維歐氏空間，當(dāng)它滿(mǎn)足一定條件后，仍可以像上述結(jié)論一樣，可以等分成具有相同性質(zhì)（大小、形狀或者說(shuō)是基、維數(shù)等性質(zhì)）的n等份，且有無(wú)窮種分法，這有待于我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)與探究。

[1]李尚志，陳發(fā)來(lái).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].高等教育出版社，1999.

[2]戴一奇，胡冠章，陳衛(wèi).圖論與代數(shù)結(jié)論[M].清華大學(xué)出版社，1995.

[3]李海.將正四邊形分成大小形狀相同的四等份有無(wú)窮多種方法[J].和田師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2010（1）.

和田師專(zhuān)研究計(jì)劃基金資助項(xiàng)目《將正N邊形分成大小形狀相同的N等份有無(wú)窮多種方法》部分研究成果，項(xiàng)目編號(hào)：1076509073

李海（1985-），男，江西吉安人，和田師專(zhuān)數(shù)學(xué)系助教，從事數(shù)學(xué)教育工作與研究。

2010-07-12