格空間中混合單調(diào)算子的不動點定理

孫 潔

(徐州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇徐州 221116)

格空間中混合單調(diào)算子的不動點定理

孫 潔

(徐州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇徐州 221116)

利用格結(jié)構(gòu)與半序方法相結(jié)合,在(ru0)完備的Archimedean型向量格中討論算子A=BC耦合不動點的存在性.

向量格;格混合單調(diào)算子;耦合不動點

0 引言

1987年,郭大鈞和Lakshmikantham.v[1]首次提出了混合單調(diào)算子的概念并對它進(jìn)行了一些研究,得到了一系列的結(jié)果,開創(chuàng)了一個新的研究方向.之后,由于混合單調(diào)算子不僅對非線性泛函分析的理論研究有重要意義,更由于其重要理論價值在于可以直接解決各種工程技術(shù)問題,特別對核物理研究及傳染病模型研究有著廣泛的應(yīng)用.因此,國內(nèi)外研究成果不斷涌現(xiàn)[1-3].國內(nèi)外在研究各種非線性問題時大都使用了兩個基本條件,即連續(xù)性條件和緊性條件.本文利用半序方法(半序由錐 P導(dǎo)出),在非常弱的緊性條件 ——格擬可分和格列緊條件下,得到了不動點定理.在格空間中,這種格擬可分和格列緊是很容易被滿足的.我們把算子A表為A=BC的形式,分別對B和C算子加條件,可以得到格混合單調(diào)算子A的不動點.在Banach空間中利用錐理論[1]、半序方法、單調(diào)迭代[3]等方法研究混合單調(diào)算子.而本文是在(ru0)完備的Archimedean型向量格中對格混合單調(diào)算子進(jìn)行討論.

1 預(yù)備知識

本文總假定 E是(ru0)完備的Archimedean型向量格,P是E中的正元錐.

定義1 設(shè) X是一個半序集,D?X.如果存在z∈X,滿足

(i)對于任給的 x∈D,都有 x≤z;

(ii)如果 y∈X滿足x≤y,?x∈D,就有 z≤y.

則稱 z是D的上確界,記為 z=supD.類似的可以定義下確界infD.

定義2 設(shè) X是一個半序集.如果對 ?x,y∈X,都存在sup{x,y}和inf{x,y},則稱 X是一個格.如果 X是一個格.對 ?x,y∈X,定義 x∨y和x∧y為

x∨y=sup{x,y},x∧y=inf{x,y}.

定義3 設(shè) E是線性空間,又是半序集.如果半序結(jié)構(gòu)與線性結(jié)構(gòu)相容,即對任給的α,β∈R1,α≥0,β≥0,x1,x2,y1,y2∈E,x1≤x2,y1≤y2都有αx1+βy1≤αx2+βy2,則 E稱是一個半序線性空間.如果 E是一個半序線性空間,并且在半序結(jié)構(gòu)下是一個格,則稱是一個向量格.

格 E的序區(qū)間形式為[x1,x2]={x∈E,x1≤x≤x2}的任何集合,其中 x1≤x2,x1,x2∈E.

定義4 若 E為向量格,對于 x∈P,若對于 ?n∈N,x,y∈E,有 nx≤y?x=θ,則稱 E為Archimedean型向量格.

定義5 設(shè) E為Archimedean型向量格,固定 u0∈P{θ},{xn}∈E,x0∈P{θ},若存在數(shù)列εn→0,εn∈(0,∞),使得|x-xn|≤εnu0(n ∈N),則稱{xn}為(ru0)收斂到 x0,記為若對于任意的ε>0,存在 N=N(ε),使得當(dāng) m,n≥N時,有|xn-xm|≤εnu0,則稱序列{xn}為(ru0)基本列.若 E中元素的任何(ru0)基本列都是(ru0)收斂的,則稱 E為(ru0)完備的Archimedean型向量格.定義6 設(shè) E為Archimedean型向量格,P為E中的正元錐,我們稱一個線性算子B:E→E為正線性算子,如果 B(P)? P.

定義7 設(shè) E為序向量空間,E稱為向量格(又稱Riese空間),即對任意的 x,y∈E,存在它們的上確界sup{x,y}和下確界inf{x,y},并且滿足下列代數(shù)運算與序相容的條件:(i)對任意 z∈E,由 x≤y可推出x+z≤y+z;(ii)如果 x≥θ,而數(shù)λ≥0,則λx≥θ.

給定 E中的正元錐P后,可以在 E中引入半序關(guān)系如下:x≤y,如果 y-x∈P.

若 u0∈P{θ},令,使得λ(x)u0≤x≤μ(x)u0}對于 u,v∈X,u≤v,則稱為 E的一個序區(qū)間.

引理1 設(shè) E為Archimedean型向量格,對任意固定的 u0∈P,{xn}∈E,{yn}∈E.

證明詳見文獻(xiàn)[4].

滿足引理1的 E稱為格下的序列相容空間.

定義8 設(shè) X是一個格下的序列相容空間,S是X的一個子集

(i)如果對 S的每一個可數(shù)全序子集{xn},都存在{xn}的子列{xni}及 ˉx∈X,使得,則稱S是X中的格擬列緊集.

(ii)如果對S的每一個全序子集Δ,都存在Δ的至多可數(shù)子集{xn}在Δ中格稠密(即對任給的x∈Δ,都存在{xni}?{xn},使,則稱 S是X中的格擬可分集.

定義9 若 y-x∈P,則Ay≥Ax,A稱為格增算子;若 y-x∈P,則Ax≥Ay,A稱為格減算子(不要求A是線性的).

定義10 算子 A:Pu0→Pu0,若對任意的 x,y∈Pu0,t∈(0,1),存在η(t,x,y)>0,使得

則稱A為格u0凹凸算子.

在 E×E中令

顯然,P1是 E×E中的一個錐,并且由 P1導(dǎo)出的半序仍記做“≤”:

定義算子?A:D×D→E×E如下:

引理2 A為格混合單調(diào)算子,則

(i)?A在P1導(dǎo)出的半序下為格增算子;

(ii)?A有不動點(x,y)?(x,y)為A的格耦合不動點.

2 主要結(jié)果

定理 設(shè) E為(ru0)完備的Archimedean型向量格,D0=[u0,v0]是 Pu0的一個序區(qū)間,D=[(u0,v0),(v0,u0)],A:D→Pu0的格 u0-凹凸算子.

(i)存在格下的序列相容的半序空間Y及格混合單調(diào)算子B:D→Y和格增算子C:B(D)→Pu0,使得A=CB;

(ii)u0≤A(u0,v0),A(v0,u0)≤v0;

(iii)B(D)是 Y的格擬可分集,格擬列緊集;則A在D中必有格耦合不動點.

令 R2={(y,x)∈D(x,y)∈R1}.設(shè)M1是 R1的任意給定的全序子集,M2是 R2的任意給定的全序子集.

由于 B(Mi)(i=1,2)是全序集,故諸 un,vn都有定義,{un}?B(M1),{vn}?B(M2),并且

由 B(D)是 Y的格擬列緊集和Y為假設(shè)可知,un和vn是格收斂的,即存在 u,v∈Y和un,vn使得

且有 un≤u(n=1,2,…),vn≥v(n=1,2,…),由 un,vn的定義可知,對一切 n,有 an≤un≤u,bn≥vn≥v.因{an},{bn}分別在 B(M1)和 B(M2)中格稠密,故對于任何(x,y)∈M1,(y,x)∈M2,序列{an}和{bn}分別存在子序列{ani}和{bnj},使

由 Y為格下的序列相容空間,知

由B為格混合單調(diào)算子及(5)式和 Y為格下的序列相容空間,知

于是

故 Cu,Cv有定義,令 ?u=Cu,?v=Cv,因 C為格增算子,由(6)式可知,B(x,y) ∈M1,有

即 B(x,y) ≤(?u,?v),故 (?u,?v) 為 M1的上界.現(xiàn)證 (?u,?v) ∈ R1,由 (7) 式及條件(ii) 有

故(?u,?v) ∈D.由于{un} ? B(M1),{vn} ? B(M2),故可找到(xnk,ynk) ∈M1,(ynj,xnj) ∈M2,使 unk=B(xnk,ynk)(k=1,2,…)vnj=B(ynj,xnj)(j=1,2,…).

由(?u,?v) 為 M1的上界知 ,

故

由 (5) 式及 (?u,?v) 為 M1的上界可知 u ≤B(?u,?v),v ≥B(?v,?u),

因此有

故 ?u,?v ∈R1,從而(?u,?v)為 M1在 R1的上界 ,由 Zorn引理(對向量格空間也成立) 知 ,R1有極大元(u＊,v＊),由(u＊,v＊)≤A(u＊,v＊)和?A的格增性可知

于是?A(u＊,v＊)∈R1,故(?u,?v)=?A(u＊,v＊),由引理1,可知(u＊,v＊)為A在D中的格耦合不動點.證畢.

[1] Guo D J,Lakshmikantham V.Coupledfixed pointsof nonlinear operators with applications[J].Nonlinear Analysis,1987,11(5):623-632.

[2] 孫經(jīng)先.非線性泛函分析及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[3] 郭大鈞.非線性分析中的半序方法[M].山東:科學(xué)技術(shù)出版社,1987.

[4] 姚遙.混合單調(diào)u0-凹凸算子不動點的存在唯一性[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)2008,7(1):5-8.

Fixed Points Theorems of Mixed Monotone Operators In Lattice Space

SUN Jie
(School of Mathematical Science,Xuzhou Normal University,Xuzhou Jiangsu 221116,China)

In this paper,by using the partial order method and lattice theory,we discuss the operatorA=BCin u0-r complete Archimedean vector lattice and the existence of the coupled fixed point.

lattice theory;mixed monotone operators;coupling fixed point

O175

A

1671-6876(2010)04-0283-04

2010-06-18

國家自然科學(xué)基金資助項目(10971179);江蘇省2010年研究生科研創(chuàng)新計劃(CX10S-037Z)

孫潔(1987-),女,江蘇宿遷人,碩士研究生,研究方向為非線性泛函分析.

[責(zé)任編輯:李春紅]