論小學數(shù)學中的開放題教學

王韻夏

(蘇州市滄浪區(qū)實驗小學,江蘇蘇州 215006)

論小學數(shù)學中的開放題教學

王韻夏

(蘇州市滄浪區(qū)實驗小學,江蘇蘇州 215006)

在中國大步走向開放的形勢下,數(shù)學教學界也提出了一種新的教學模式:數(shù)學開放題教學。它強調(diào)學生獲得解答的過程,體現(xiàn)了學生在教學活動中的真正主體地位,極大地提高了學生的學習積極性,是對學生進行素質教育的有效途徑。因此,研究數(shù)學開放題的編制并用之于數(shù)學教學具有重要的現(xiàn)實意義。

開放題;教育意義;開放題的編制與教學

0 引言

在應試教育背景下,傳統(tǒng)的數(shù)學教學模式易使學生形成思維定勢,對學生數(shù)學學習產(chǎn)生了一定的消極影響。開放題作為一種富有教育價值的新題型進入小學數(shù)學課堂后,逐漸成為數(shù)學教學改革的一個熱點。開放題可以切實培養(yǎng)學生發(fā)散性思維,加強學生的創(chuàng)新思維。其功能決定了其教育價值,因而它是實施素質教育的有效途徑。因此,研究數(shù)學開放題并用之于數(shù)學教學具有重要的現(xiàn)實意義。

1 開放題的定義

從理論角度分析,“什么是開放題”尚無定論,但我們可以從開放題所具有的一些共性給開放題一個描述性定義,它包括以下要點:

1.1 開放題的答案是不唯一的

1.1.1 答案不唯一是開放題的基本特征

“開放題”是相對于傳統(tǒng)封閉題而言的。封閉題的共同特征為:問題組織良好,答案只有正確和不正確 (包括不完整)兩種,并且正確答案是唯一的。而開放題的答案往往有兩種以上,或沒有答案,或有無數(shù)種。

1.1.2 “答案不唯一”與“結論不唯一”有區(qū)別

“數(shù)學問題的答案”和“數(shù)學問題的結論”是兩個不同的概念,如“請你盡可能用各種不同的方式來計算 125×88”,125×88作為一種確定的運算“結論”是唯一的,但這個問題的答案是多種多樣的。戴再平先生認為:問題的“結論”是問題系統(tǒng)內(nèi)部相對于問題的“條件”而言,問題的“答案 (解法)”是相對于整個問題而言的。[1]

1.1.3 答案不唯一與自身知識儲備有關

美國一位小學老師給學生提出了這樣一個問題:每箱可樂裝有 24罐,要使全年級 250名學生人手一罐,需要多少箱?對于已會使用除法的學生來說,這不能算是一道開放題,但對從未學過除法的學生而言,他會有一番思考探索,因而方法也會多樣:有的同學用加法:對 24連加直至 250;有的學生用減法:從 250減去 24直至 0;還有的學生提出:100包括 4個 25,由于 250是 2個 100再加上半個 100,因此,如果每箱可樂都裝 25罐,相對應的結果就是四個四箱再加上兩箱,但現(xiàn)在每箱只有 24罐,每箱少一罐,必須在第 11箱中補取十罐……這題就變成一道不折不扣的開放題。

1.2 開放題的設問方式是多方指向的

一道數(shù)學題的開放性很大程度上取決于這道題的設問方式。即使是一道傳統(tǒng)的封閉數(shù)學題,改變其設問方式就能轉換成一道開放題[2]。如圖 1:四條直線交于一點,圖中有多少個角?

圖1 多條直線交于一點示意圖

顯然這是一道封閉題,其答案是唯一的。如果把設問方式改為“你能找到多少個角?”,那么它并不要求你回答“事實上存在多少個角”,而是要求回答“你找到了多少個角”。不論你找到了多少個角 (小于等于實際數(shù)目)都是正確答案,之間的差異只是解答的層次不同。

1.3 開放題的條件往往是不完備的

條件不完備也是開放題重要的特征之一。如:媽媽買了相同價格的糖,付了 40元,售貨員阿姨找回她 4元,你知道媽媽買了幾盒糖嗎?由于題中“一盒糖的價格”條件的缺失,需要學生根據(jù)實際情況及“糖的盒數(shù)是正整數(shù)”這一隱蔽條件進行合理的猜想,補充合理的條件。

綜上所述,我認為,開放題,相對于封閉題而言,是條件不完備,答案不唯一,可以從多層次、多角度,用多種策略來解決問題的問題。

2 開放題的編制

2.1 編制的方法

哥德說得好:要得到聰明的回答,就要提出聰明的問題。因此設計能調(diào)動學生積極思考、綜合運用數(shù)學知識來解決問題的開放題就顯得尤為重要。下面我將具體談談開放題的編制:

2.1.1 轉變陳題

1)弱化已知條件,使其結論多樣化

原題:小明與小玲的家和學校在同一條路上,小明的家在學校東面 300米,小玲的家在學校東面 500米,小明的家和小玲的家距離是多少?

現(xiàn)改為:小明的家離學校 300米,小玲的家離學校 500米,小明的家離小玲的家距離是多少?

很顯然,因為缺乏小明的家和小玲的家具體的方位,所以他們的距離是不定的,學生的思考角度從單純的加減數(shù)字變?yōu)楣烙嬎麄儍杉铱赡艿姆轿?從而促使他們積極思考,大膽猜想。

2)隱去原題結論,使其指向多樣化

不少封閉型的陳題,其條件充分,結論明確而且單一化,在很多情況下,只要隱去其結論,就成為結論多樣化的開放題。[3]

原題:做一個高 4米,池口一周 6.28米的圓柱形蓄水池,它的容積為多少?

隱去結論,該為“根據(jù)這些條件,能提出并解答什么問題?”

那么除了求水池的容積,至少還有以下答案:

a.水池占地的面積

b.給水池涂上水泥,需要涂多少面積?

c.用水泵向池內(nèi)注水,每分鐘進水 2立方米,全部注滿需用多少時間?

3)改變提問方式,使策略使用多樣化

郝心利老師在 2000年第九期的《中小學數(shù)學》中介紹過這么一題:

做同種零件,王師傅 2小時做 15個,李師傅3小時做 20個,誰做的更快一點?(化為帶分數(shù)后再比較)

學生的做法如出一轍:“15÷2=7(個),20÷3=6(個),因為 7>6,所以王師傅做的快一點?！?/p>

究其原因,是學生剛學完帶分數(shù),題目又要求“化為帶分數(shù)后再比較”

郝老師把括號里的附加條件去掉,讓學生用不同的方法解。之后學生們的解題思路之多,之妙讓人驚訝:

策略一:15 ÷2=7.5(個 ),7.5 ×3=22.5(個 )。

相同的時間內(nèi),李師傅 20個,王師傅做 22.5個,即王師傅做得快。

策略二:假設王師傅和李師傅都做 60個零件,王師傅需要 2×(60÷15)=8(小時),李師傅需要3×(60÷20)=9(小時),可見王師傅做的快。

策略三:假設王師傅和李師傅都做 6小時,王師傅可做 15×(6÷2)=45(個),李師傅可做20×(6÷3)=40(個),可見王師傅做得快。

策略四:2÷15≈ 0.13(小時 ),3÷20≈0.15(小時),王師傅做一個零件用的時間比李師傅少,所以王師傅做得快。

對數(shù)學而言,獲得正確的結果當然重要,但是否能靈活運用各種策略來得到結果是解題過程中最關鍵的一部分。

4)結論條件互換,尋求結論成立的條件

傳統(tǒng)題:長方形長是 30厘米,寬是 15厘米,求它的面積。

開放題:媽媽要做一塊面積為 450平方厘米的玻璃,這塊玻璃的長和寬為多少?(長和寬的長度為整數(shù))

學生尋求答案的過程表現(xiàn)為逆向思維的過程。在這道題里的體現(xiàn)為:兩個數(shù)的乘積→積分解成兩個數(shù),所需的工具為分解質因數(shù)的技能。這有利于學生進一步認清條件與結論的內(nèi)在聯(lián)系。

2.1.2 另辟蹊徑,創(chuàng)造開放題

1)比較某些對象的共同特點

發(fā)現(xiàn)某些對象的共同特點和相異點,是學生自主性創(chuàng)造的思維活動。對一些數(shù)學對象,或比較它們的異同,或加以分類,是編制開放題的視角之一。

中小學數(shù)學開放題叢書之一《小學生開放題集 (上 )》(2000年 5月第 1版 )第 1.1題:“在 2,4,6,7,10這五個數(shù)中,哪一個與眾不同?”就是一個比較正整數(shù)異同的例子。

2)既定條件中求不同解法

給出既定條件,尋找多種解法與理論,是編制開放題一個重要方法。

如:怎樣用兩塊一套的三角板畫出 15°角?

有以下多種做法:先畫出 30°角,再將它對折:先畫出 60°角,在內(nèi)部畫出 45°角,剩下就為15°;先畫出 60°角 ,在內(nèi)部去除 45°后即可 ;畫出90°角 ,在內(nèi)部依次去掉 45°和 30°角 ;畫出 60°和45°兩個角的和,再減去一個直角;等等。

3)創(chuàng)設實際情景解決問題

當今社會,數(shù)學的理論和方法已經(jīng)滲透到社會各個層面,純數(shù)學和應用數(shù)學之間的距離在縮小。所以有必要在小學數(shù)學教育中滲透生活中的數(shù)學應用。

籃球教練選主力問題:李教練要從王兵和施華兩人中選一人作為學校籃球隊主力,兩人在過去每場球賽中的得分情況如下:

王兵:12 10 8 6

施華:4 14 3 6 16 17

由于兩人賽過的場次不同,教練應選拔誰為主力?

可以從這幾個方面考慮:

a.王兵的平均進球 9個,施華為 10個,選施華。

b.他們進球的穩(wěn)定性,與平均數(shù)之間差的和的平均數(shù) (即σ的變形),王兵為 2個,施華為 6.7個左右,顯然施華發(fā)揮不穩(wěn)定,應選王兵。

c.近期表現(xiàn),王兵成績在下滑,而施華在上升,選施華。

d.從比賽場次上看,施華比賽經(jīng)驗要比王兵豐富,選施華。

從不同的角度考慮,更是貫穿了統(tǒng)計的思想,使學生的判斷力從感性向理性轉變,從直覺向以具體數(shù)據(jù)為依據(jù)轉變。

2.2 編制的原則

編制足夠多的開放題,是進行數(shù)學開放題教學的基礎。但我們不能因求多而忽視開放題的質量,本人認為開放題的編制應注意以下幾個問題:

2.2.1 不應為“放”而“放”

有一些關于數(shù)學名詞名稱或一些顯而易見的規(guī)則和定理,如:圓各部分的名稱;字母與數(shù)字相乘,數(shù)字應寫在字母前面的規(guī)定;同分母相加減的運算法則等,教師只需要作陳述或簡單介紹,不必設計此類開放題來“難為”學生。

2.2.2 要適應不同層次的學生

由于學生的主體本身具有不同的層次性和差異性。設計開放題要面向全體學生,要能適應不同層次的學生。應具有一定的發(fā)展余地,可由一個開放題引出新問題和啟動新思考。通過解題,讓所有的學生都認為“自己能行”,“其實自己并不笨”,從而體現(xiàn)“人人掌握數(shù)學”和“不同的人學習不同樣的數(shù)學”。同時要對學生進行客觀評價。

2.2.3 開放題的中心應為數(shù)學

當前許多教師認為開放題開放的內(nèi)容應寬廣,不僅僅涉及數(shù)學內(nèi)容,而且應該涉及其他學科及社會活動。本著這種想法,一位教師設計了一道兩地之間鋪水管的問題:請學生幫她算一下需用多少費用[4]。這道題一方面離學生生活實際和已有經(jīng)驗太遠,學校家庭兩點一線、衣食無憂的孩子們鮮有關心鋪水管之類的問題,也不會了解人工費用,水管費用等細節(jié)的測算;另一方面,題中除了兩地距離外包含的數(shù)學知識太少,不足以充分調(diào)動學生已有的數(shù)學知識,建立新的數(shù)學模型。相比之下,筆者認為自己設計的“籃球教練選主力問題”(見上一節(jié) (3)創(chuàng)設實際情景解決問題)更有教學上的意義:既聯(lián)系學生的實際,又滲透了平均數(shù)、標準差等數(shù)學統(tǒng)計的基礎知識。因此,我認為數(shù)學開放題的核心還應是數(shù)學問題,不應脫離數(shù)學本身。

綜上所述,我們可以看到,“數(shù)學開放題”是一種特殊的數(shù)學問題,它不是一個純數(shù)學范圍的概念,而是一個教育范疇的概念。數(shù)學開放題不是普通的數(shù)學問題,而是為了達到一定教育目的而精心設計編制的數(shù)學問題。數(shù)學開放題的教育價值在于培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度,在于尋求解答的過程中主體的認知結構的重建,在于能激起多數(shù)學生的好奇心,全體學生都可以參與解答過程而不管他屬于何種程度和水平。在學生經(jīng)歷知識再創(chuàng)造的過程中,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和探索能力。第一屆東亞數(shù)學教育會議指出,中國在“一題多解”“一題多變”的教學中有許多好的經(jīng)驗,但是還沒有提高到開放性教學的高度來認識。因此,研究數(shù)學開放題并用之于數(shù)學教學具有重要的現(xiàn)實意義,廣大數(shù)學教師應該對自己的教學經(jīng)驗進行總結,主動接受建構主義教學理論的指導,構建中國式的數(shù)學開放題教學模式。

[1]龔雷.數(shù)學開放題的設問方式.[EB/OL].http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SXXJ1998050 02.htm.

[2]李玉萍.開放題問題設計原則[J].中小學教育·小學版,2000(12):20.

[3]戴再平.開放題——數(shù)學教學的新模式 [M].上海:上海教育出版社,2004(1):4-6.

[4]儲冬生.關于開放題的開放性思考[J].中小學教育·小學版,2002(6):2-3.

D iscussion aboutOpeningMath Questions for Pupils

WANG Yun-xia
(ChanglangDistrict Experimental Primary School,Suzhou Jiangsu Province,215006,China)

While China is open to the world,a new teaching method has been come into being in math field,which is teaching about openingmath question.It emphasizes on the process of ans wering,which present the students’main position in teaching activity,being a useful method of education.So it’s meaningful to preparation and applying it in math teaching.

opening question;educational significant;preparation and applying

G62

A

1671-6876(2010)04-0357-04

2010-06-30

王韻夏 (1982-),女,江蘇蘇州人,小教一級,主要從事小學數(shù)學的教學和評價研究。

[責任編輯:仇海燕 ]