隨機(jī)利率下壽險(xiǎn)定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)的VAR分析

劉家軍，黃少杰

(廣東商學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510320)

隨機(jī)利率下壽險(xiǎn)定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)的VAR分析

劉家軍，黃少杰

(廣東商學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510320)

在隨機(jī)利率下對(duì)壽險(xiǎn)定價(jià)的利率風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析.通過(guò)對(duì)隨機(jī)利率模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，選擇CIR模型為產(chǎn)生模擬利率的基礎(chǔ)，推導(dǎo)出基于隨機(jī)利率的定期壽險(xiǎn)毛保費(fèi)表達(dá)式，結(jié)合加拿大資產(chǎn)負(fù)債方法為產(chǎn)品定價(jià)，并利用在險(xiǎn)價(jià)值（VAR）度量定價(jià)的利率風(fēng)險(xiǎn).

CKLS模型；VAR；人壽保險(xiǎn)；隨機(jī)利率；加拿大資產(chǎn)負(fù)債方法

0 引言

利率風(fēng)險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司主要的風(fēng)險(xiǎn)因素，傳統(tǒng)的保單在對(duì)壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)時(shí)是以一個(gè)預(yù)定利率進(jìn)行貼現(xiàn).但是市場(chǎng)利率不是固定不變的，當(dāng)市場(chǎng)利率低于預(yù)定利率時(shí)，保險(xiǎn)基金的收益水平下降，會(huì)給保險(xiǎn)公司帶來(lái)?yè)p失.當(dāng)市場(chǎng)利率高于預(yù)定利率時(shí)，投保人又有可能會(huì)為獲得更高的收益而退保，同樣會(huì)給保險(xiǎn)公司帶來(lái)償付能力方面的風(fēng)險(xiǎn).為了有效規(guī)避利率波動(dòng)給保險(xiǎn)公司帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，有必要使用隨機(jī)利率對(duì)保險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行利率風(fēng)險(xiǎn)的分析.

1 隨機(jī)利率模型實(shí)證分析

1.1 思路概述

由于使用預(yù)定利率定價(jià)缺乏靈活性，一些學(xué)者嘗試?yán)秒S機(jī)利率對(duì)壽險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià).1976年，Boyel[1]考慮了壽險(xiǎn)與年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況，即所謂的“雙隨機(jī)性”.吳金文和楊靜平[2]針對(duì)隨機(jī)利率壽險(xiǎn)模型，考慮一保單組平均給付額的性質(zhì)，但是利率的不確定性仍然存在；趙靜宇、郭士杰、羅傳光[3]把Vasicek模型引入到壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)研究中，推導(dǎo)出在隨機(jī)利率下毛保費(fèi)的分布，討論了以毛保費(fèi)均值和中位數(shù)定價(jià)的合理性.

大部分文獻(xiàn)是通過(guò)隨機(jī)利率為保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià).當(dāng)前，我國(guó)的保險(xiǎn)監(jiān)督機(jī)構(gòu)對(duì)保險(xiǎn)定價(jià)的預(yù)定利率有十分嚴(yán)格的規(guī)定，導(dǎo)致隨機(jī)利率定價(jià)無(wú)法直接應(yīng)用在實(shí)務(wù)中.不過(guò)，可以根據(jù)預(yù)定利率定出的價(jià)格，在隨機(jī)利率的環(huán)境下，分析損失的可能.本文把銀行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)管理工具VAR系統(tǒng)引入到壽險(xiǎn)定價(jià)中，分析傳統(tǒng)方法定出的價(jià)格所面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)，用實(shí)例說(shuō)明VAR在化解利率風(fēng)險(xiǎn)方面的作用，并實(shí)證了加拿大資產(chǎn)負(fù)債方法[4]在定價(jià)方面的應(yīng)用.

1.2 利率期限結(jié)構(gòu)的單因子模型

目前國(guó)際上對(duì)隨機(jī)利率的研究主要是4個(gè)重要的利率期限結(jié)構(gòu)的單因子模型：Merton模型、Vasicek模型、CIR模型和CKLS模型.CKLS模型是其中最一般的模型[5]，其它模型都是CKLS模型的特例.CKLS模型假設(shè)利率服從隨機(jī)過(guò)程rt，rt滿足：

其中rt是利率，Wt是布朗運(yùn)動(dòng)，α=kθ，β=-k，k是均值回歸的速率，k＞0，θ是利率均值，σ是利率的標(biāo)準(zhǔn)差，θ和σ為常數(shù).θ表示rt的長(zhǎng)期水平，它又是一臨界值，當(dāng)rt=θ時(shí)，漂移項(xiàng)k（θ-rt）·d t為零，當(dāng)rt＞θ時(shí)，漂移項(xiàng)為負(fù)，這樣rt有向下運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，當(dāng)rt＜θ時(shí)，rt有向上運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，從而瞬時(shí)利率圍繞θ上下波動(dòng)，體現(xiàn)了均值回復(fù)的特征.漂移項(xiàng)是rt的線性函數(shù).

1.3 CKLS模型的最大似然估計(jì)（MLE）

從穩(wěn)定性和有效性比較，MLE方法優(yōu)于其他估計(jì)方法，用MLE估計(jì)參數(shù)更具有吸引力[5].Nowman[6]使用離散化的方法來(lái)估計(jì)CKLS模型，他首先將式（1）離散化，然后利用MLE對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì).Nowman的方法離散化后得到方程：

其中τ是微分變量，εt（t=1，2，…，T）滿足條件:

由式（2）可得到εt（r0，…，rt-1）的似然函數(shù)：

其中，f（rTrT-1，…，r0；Θ）為（rT，rT-1，…，r0）的聯(lián)合概率密度函數(shù)，T表示當(dāng)前這一期.f（ri+1ri；Θ）為轉(zhuǎn)移密度函數(shù)，Θ為參數(shù)向量.

由于假設(shè)利率是一個(gè)擴(kuò)散過(guò)程，所以離散化后的利率過(guò)程具有馬氏性，在0時(shí)刻，t0已知，所以其概率密度函數(shù)f（r0）=1且εt（r0，…，rt-1）服從正態(tài)分布.將f（ti+1ti；Θ）代入，對(duì)式（2）的似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，可得：

1.4 利率模擬的實(shí)證結(jié)果

上海銀行間同業(yè)拆放利率（Shibor）的推出是中國(guó)利率市場(chǎng)化標(biāo)志性的一步，是中國(guó)貨幣市場(chǎng)的基準(zhǔn)利率.我們選取相對(duì)活躍且具代表性的1W-Shibor（品種為1周），時(shí)間范圍從2006-10-12至2008-11-27，共778個(gè)交易觀測(cè)值，數(shù)據(jù)是5日均值的加權(quán)平均利率.

利用EViews的最大似然估計(jì)LogL過(guò)程編程，可得到4個(gè)模型參數(shù)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果，見(jiàn)表1（數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)貨幣網(wǎng)http：∥www.chinamoney.com.cn／）.

表1 模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

對(duì)于Vasicek模型和CIR模型，3個(gè)參數(shù)的估計(jì)值在95%的置信水平上顯著不為零.比較Vasicek模型和CIR模型的對(duì)數(shù)似然值和AIC準(zhǔn)則，最終選取CIR模型來(lái)產(chǎn)生用于分析的模擬利率，并對(duì)其進(jìn)行離散化.

對(duì)于式（1），代入CIR模型的參數(shù)，用差分代替微分，并取d rt=rt+1-rt，d t=1，其中dWt為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，可得隨機(jī)過(guò)程的離散形式：

基于式（4）可以產(chǎn)生用于VAR分析的模擬利率，模擬的方法采用MATLAB的蒙特卡羅模擬程序[7].

2 壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)的VAR分析

2.1 在險(xiǎn)價(jià)值（VAR）

在險(xiǎn)價(jià)值（VAR）是一種用于測(cè)量和控制金融風(fēng)險(xiǎn)的量化工具，Philippe Jorion將其定義為“VAR是在給定的置信水平下的一個(gè)持有期內(nèi)的最大預(yù)期損失（或最壞情況下的損失）”[8]，即在一定的持有期和置信度內(nèi)，某金融工具面臨的最大潛在損失.

定義損失現(xiàn)值κ＝C+V+Q-G，其中，C表示保險(xiǎn)給付的精算現(xiàn)值，V表示費(fèi)用的精算現(xiàn)值，Q表示利潤(rùn)的精算現(xiàn)值，G表示毛保費(fèi)的精算現(xiàn)值.

VAR可以表示為滿足P（κ≤RVAα（κ））＝1-α的RVAα（κ），RVAα（κ）表示在給定概率1-α下產(chǎn)品的最大損失現(xiàn)值，α表示置信水平.模擬出大量利率路徑，計(jì)算出κ的分布，由κ的分布得到RVAα（κ）的值.

2.2 隨機(jī)利率下定期壽險(xiǎn)毛保費(fèi)模型推導(dǎo)

本文以半連續(xù)性產(chǎn)品為例，推導(dǎo)隨機(jī)利率下的毛保費(fèi)模型，這是傳統(tǒng)壽險(xiǎn)中最具代表性的保險(xiǎn)產(chǎn)品，其保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)刻給付，而保費(fèi)在期初繳納，實(shí)務(wù)中也是如此.在這一節(jié)中所用的符號(hào)都是國(guó)際上通用的精算符號(hào)，對(duì)于x歲的人（x），半連續(xù)型且保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn)，其躉交純保費(fèi)[9]：

其中E（ZT）為保險(xiǎn)給付的期望值，bt為死亡給付保險(xiǎn)金，ν（t）為利率折現(xiàn)因子，tpx·μx+t為（x）在t時(shí)刻死亡的概率.假定保單類型為k年繳費(fèi)，且每年的附加費(fèi)用率（包含了預(yù)期的利潤(rùn)因素）分別為αh（h=1，2，…，k），記均衡毛保費(fèi)為.則：

由式（5）～（7）可以推導(dǎo)出該保單的均衡毛保費(fèi)為：

2.3 實(shí)例分析

利用式（4）模擬10000次，共3660天，并以半年為單位計(jì)算每個(gè)模擬路徑半年的平均利率，作為定價(jià)的利率.蒙特卡羅隨機(jī)模擬每次得到的路徑都是不同的，由精算等價(jià)原理得到的是κ的一個(gè)分布，通過(guò)下面的例子進(jìn)行分析.

假定35歲的被保險(xiǎn)人，投保一份保險(xiǎn)金額為1000元的10年期定期壽險(xiǎn)，保費(fèi)分5年繳納，該產(chǎn)品的預(yù)定利率設(shè)為2.5%，死亡率采用我國(guó)非養(yǎng)老金男性生命表CL1（2000～2003）[4]，死亡發(fā)生在年中，并假設(shè)附加費(fèi)用率如表2.

2.3.1 傳統(tǒng)定價(jià)方法

利用傳統(tǒng)方法，毛保費(fèi)的確定如下：

表2 附加費(fèi)用率

該保單單位保額年繳毛保費(fèi)為3.632元.利用前面CIR模型得到的模擬利率，假設(shè)以3.632元為繳納的毛保費(fèi)，得到損失現(xiàn)值κ的分布，如圖1所示.

由損失現(xiàn)值的分布，可以得到損失現(xiàn)值分布的數(shù)字特征，如表3所示.

由圖1可以看出，以3.632元作為繳納的毛保費(fèi)，該產(chǎn)品出現(xiàn)虧損的概率非常小，當(dāng)α＝5%時(shí)，RVA＝-0.055，即以3.632元作為收取的毛保費(fèi)能以95%的概率保證該產(chǎn)品不但可以得到預(yù)期的利潤(rùn)，而且單位保額能賺取0.055元的超額利潤(rùn)，對(duì)于大保額保單，這種超額利潤(rùn)對(duì)實(shí)際利潤(rùn)的影響是比較大的.其中95%的含義表示100份相同的保單，有95份得到的利潤(rùn)比預(yù)期還要多.由表3可以看出，損失現(xiàn)值的期望為-0.163 4，即以該價(jià)格定價(jià)得到的超額利潤(rùn)現(xiàn)值平均為0.161 4，這說(shuō)明該保單定價(jià)偏高.

2.3.2 加拿大資產(chǎn)負(fù)債方法

在隨機(jī)利率下利用式（8）計(jì)算出毛保費(fèi)的分布，對(duì)于蒙特卡洛模擬法，當(dāng)模擬的次數(shù)足夠多時(shí)，根據(jù)大數(shù)法則，價(jià)格將會(huì)趨于穩(wěn)定.根據(jù)表1中CIR模型的參數(shù)，利用式（4）模擬10000次，可得到毛保費(fèi)分布的數(shù)字特征，見(jiàn)表4.

由表4可以看出均值和中位數(shù)重合，峰度非常接近3，偏度接近0，分布接近正態(tài)分布.但是均值3.59元小于用固定利率2.5%計(jì)算的毛保費(fèi)3.632元，這是因?yàn)橛肅IR模擬的利率表明目前市場(chǎng)上的利率被低估.

以均值3.59元作為繳納的毛保費(fèi)，得到損失現(xiàn)值的期望和中位數(shù)均為0.000 123，說(shuō)明用保費(fèi)均值定價(jià)，由于隨機(jī)利率存在不利偏差，導(dǎo)致了定價(jià)出現(xiàn)虧損.實(shí)務(wù)中評(píng)估準(zhǔn)備金時(shí)，如果使用的是隨機(jī)利率，那么需要增加對(duì)利率的不利偏差準(zhǔn)備，一般做法是為所有假設(shè)利率環(huán)境下所產(chǎn)生的準(zhǔn)備金的期望值加上一倍方差（加拿大資產(chǎn)負(fù)債方法）[4].這啟發(fā)我們，考慮毛保費(fèi)的方差，以增加對(duì)利率的不利偏差準(zhǔn)備，可得到新的保費(fèi)：

圖1 以3.632元定價(jià)的損失現(xiàn)值分布

表3 損失現(xiàn)值分布的數(shù)字特征

表4 隨機(jī)利率下毛保費(fèi)分布的數(shù)字特征

其中μ為隨機(jī)利率下毛保費(fèi)的均值，σ為毛保費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)于上面的例子，新的毛保費(fèi)：

把繳納的毛保費(fèi)設(shè)定為3.591元，分析損失現(xiàn)值的VAR，如圖2.

圖2 加拿大資產(chǎn)負(fù)債法定價(jià)的損失現(xiàn)值分布

由圖2可以看出，以3.591元作為毛保費(fèi)，當(dāng)α＝5%時(shí)，RVA＝0.107 1.即以3.590 9元作為實(shí)際繳納的毛保費(fèi)，能以95%的概率保證該保單的損失現(xiàn)值不超過(guò)0.107 1，而且損失現(xiàn)值期望為-0.000 001 327，非常接近于零，這說(shuō)明采用加拿大資產(chǎn)負(fù)債方法的思想定價(jià)比固定利率定價(jià)更合理.

3 結(jié)語(yǔ)

雖然實(shí)務(wù)中定價(jià)采用的是預(yù)定利率，但是實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以用預(yù)定利率計(jì)算出毛保費(fèi)，然后對(duì)毛保費(fèi)進(jìn)行VAR分析，通過(guò)設(shè)定α值和調(diào)整附加費(fèi)用率的手段，得到VAR值，從而實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)控制.如結(jié)果顯示定價(jià)偏高，可以降低保費(fèi)，以提高保單的銷量，反之，提高保費(fèi)，以滿足定價(jià)充足性的原則.最后通過(guò)把加拿大資產(chǎn)負(fù)債方法的思想引入模型，得到了用毛保費(fèi)均值加一倍方差作為定價(jià)毛保費(fèi)能同時(shí)滿足定價(jià)充足性和合理性的結(jié)論，為壽險(xiǎn)定價(jià)提出一個(gè)新的思路.利用VAR分析其他產(chǎn)品時(shí)思路是一樣的，可以用于資產(chǎn)份額法等定價(jià)方法的利率風(fēng)險(xiǎn)分析.

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[2] 吳金文，楊靜平，周俊.隨機(jī)利率壽險(xiǎn)模型[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2001（18）：1-8.

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VAR Analysis of Life Insurance Pricing Risk under the Random Interest Rate

LIU Jia-jun，HUANG Shao-jie

(Department of Mathematics，Guangdong University of Business Studies，Guangzhou 510320,Guangdong，China)

The interest rates risk of life insurance pricing under the random interest rate is analyzed.First of all，the CIR model is selected as the basis to generate the simulated interest rates by the parameter estimation and hypothesis testing of random interest rate model.Then，a gross premium expression of regular life insurance under the assumption of random interest rate is derived.The minds of CALM are combined to measure the interest rate risk by using the VAR.

CKLS model；VAR；Life insurance；Random interest rates model；CALM

O 211.67

A

1001-4217（2010）01-0042-06

2009-09-02

劉家軍（1974-），男，河南信陽(yáng)人，講師.研究方向：保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的理論與實(shí)證分析.E-mail:liu95828@yahoo.com.cn