九點圓定理的高維推廣

周永國, 張松英

(1.沅陵一中,湖南懷化 419600; 2.中方中學(xué),湖南懷化 418000)

九點圓定理的高維推廣

周永國1, 張松英2

(1.沅陵一中,湖南懷化 419600; 2.中方中學(xué),湖南懷化 418000)

給出并證明了九點圓定理的高維推廣.

n維空間; 有限點集; 超球面.

1 引 言

1821年,法國數(shù)學(xué)家龐斯萊 (Poncelet)提出并證明了如下命題.

九點圓定理[1]在三角形中,以它的外心與垂心連線的中點為圓心,外接圓半徑的一半為半徑的圓,必通過9個特殊點,即:3個頂點與垂心連線的中點, 3條邊的中點,以及3條高的垂足.

1863年,法國數(shù)學(xué)家普魯海 (Prouhet)將這個命題推廣到垂心四面體中,得到了:

十二點球定理[2]在四面體中,4個頂點與垂心連線的1:2分點 (即靠近頂點的一個三等分點),4個面的重心,以及4條高的垂足,共12個點在同一個球面上.

本文應(yīng)用向量方法,擬將九點圓定理推廣到 n維歐氏空間的“共超球面有限點集”中.為此,我們約定:

(1)若點集Ω={A1,A2,…,AN}中的點都在同一個 n維超球面上,則點集Ω稱為共超球有限點集,這個超球面稱為點集Ω的外接超球面,其球心稱為點集Ω的外心.

(2)從點集Ω={A1,A2,…,AN}(N≥3)中任意除去一個點Aj(1≤j≤N),其余(N-1)個點組成的集合,稱為點集Ω的最大真子集,記作Ωj.

(3)以點O為球心,R為半徑的超球面記作S(O, R).

顯然,超球內(nèi)接多胞形的頂點集 (及其子集)是共超球有限點集.

2 定義與定理證明

定義1 設(shè)共超球有限點集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面為S(O,R),若點 P滿足

其中 k∈N＊,則點 P稱為點集Ω的k號心.

若點Qj(1≤j≤N)滿足

則點Qj稱為點集Ω的最大真子集Ωj的k+1號心.

定義2 以Ω的k+1號心Q為球心,R/(k+1)為半徑的超球面稱為點集Ω的k+1號超球面,記作S(Q, R/(k+1)).

根據(jù)上述定義,我們有

定理1 設(shè)共超球有限點集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面為S(O,R),其 k號心為P,點 Mj內(nèi)分線段AjP成則Ω的k+1號超球面S(Q, R/(k+1))必通過諸分點 Mj(j=1,2,…,N).

證明 依題設(shè),P是Ω的k號心,所以等式(1.1)成立.于是,注意到點Mj內(nèi)分線段AjP成1,由定比分點的向量表示[3]可得

又點Q是Ω的k+1號心,由定義1知由以上兩式可得

注意到點Aj(1≤j≤N)在超球面S(O,R)上,由上式可知

所以,超球面 S(Q,R/(k+1))通過點 Mj(j=1,2,…, N).命題得證.

定理2 設(shè)共超球有限點集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面為 S(O,R),則其 k+1號超球面 S(Q, R/(k+1))必通過各最大真子集Ωj的k+1號心Qj(j= 1,2,…,N).

證明 依題設(shè),點Q和Qj分別滿足(1.1)和(1.2),所以有

注意到點Aj(1≤j≤N)在超球面S(O,R)上,由上式可知

所以,超球面 S(Q,R/(k+1))通過點 Qj(j=1,2,…, N).命題得證.

定理3 設(shè)共超球有限點集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面為S(O,R),其k號心為P,最大真子集Ωj的k+1號心為Qj,自點Qj引直線與直線AjP垂直相交于 Hj,則點集Ω的k+1號超球面S(Q,R/(k+1))必通過諸垂足 Hj(j=1,2,…,N).

證明 取線段AjP的k+1等分點為Mj,則由定理1和定理2可知,點Mj和Qj都在超球面S(Q,R/(k+1))上;又依題設(shè)條件有據(jù)此而知,要證明超球面S(Q,R/(k+1))通過垂足 Hj,只需證明球心Q是線段MjQj的中點即可.

比較(1.1)和(1.4),可知球心 Q是線段MjQj的中點T.命題得證.

綜合定理1,2,3,我們得到如下結(jié)論.

定理4 設(shè)共超球有限點集Ω={A1,A2,…,AN}的k+1號超球面必通過3N個特殊點.即:各點Aj與Ω的k號心P的連線段AjP的內(nèi)分點Mj(其中k∶1;j=1,2,…,N);Ω的各個最大真子集Ωj的k+1號心Qj(j=1,2,…,N);自點Qj引直線與直線AjP垂直相交的垂足 Hj(j=1,2,…,N).

推論 n維單形Φ={A1,A2,…,An+1}的2號超球面必通過3(n+1)個特殊點,即:各頂點Aj與Φ的1號心 P連線的中點Mj(j=1,2,…,n+1);Φ的各個最大真子集的2號心Qj(j=1,2,…,n+1);自點Qj引直線與直線AjP垂直相交的垂足Hj(j=1,2,…,n+1).

顯而易見,九點圓定理可視為定理4當(dāng)N=3,K= 1時的特例.因此,定理4是九點圓定理在n維歐氏空間的推廣.

設(shè)線段MjQj的中點為T,注意到點Qj和Mj分別滿足(1.2)和(1.3),可得

[2]沈康生.數(shù)學(xué)的魅力 (1) [M].上海:上海辭書出版社,2004.

[3]沈文選.單形論導(dǎo)引 [M].長沙:湖南師范大學(xué)出版社,2000.

[4]周永國.平面閉折線的 k號心及其性質(zhì) [J].中學(xué)數(shù)學(xué),2003,(10):26.

[5]周永國.四面體的 k號心及其性質(zhì) [J].數(shù)學(xué)通訊, 2003,(19):32.

Abstract:This essay puts forward and proves the high-dimensional promotion of the theroem of nine-point circle.

Key words:n-dimensional space; finite set; Hypersphere

The High-dimensional Promotion of the Theorem of Nine-point Circle

ZHOU Y ong-guo1, ZHANG Song-ying2

(1.From No.1 Middle School of Yuanlin,Huaihua,Hunan 419600; 2.Zhongfang Middle School,Huaihua,Hunan 418000)

O184

A

1671-9743(2010)05-0041-02

2010-03-28

湖南省教育廳科學(xué)研究一般項目 (09C470).

周永國 (1962-),男,湖南沅陵人,沅陵一中高級教師,主要研究初等數(shù)學(xué)和高維幾何不等式.