用馬爾可夫鏈的蒙特卡洛方法更新及預(yù)測(cè)連續(xù)油藏模擬模型

編譯:楊菁華 王奇 (西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院)

審校:王青青 (西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院)

用馬爾可夫鏈的蒙特卡洛方法更新及預(yù)測(cè)連續(xù)油藏模擬模型

編譯:楊菁華 王奇 (西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院)

審校:王青青 (西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院)

大多數(shù)油藏模擬研究都局限于靜態(tài)范疇,因時(shí)間和預(yù)算限制,未知參數(shù)明顯減少,這容易導(dǎo)致低估預(yù)測(cè)的不確定性或作出不明智的決策。馬爾可夫鏈的蒙特卡洛(MCMC)方法已被用于靜態(tài)研究以對(duì)預(yù)測(cè)參數(shù)空間的不確定性進(jìn)行嚴(yán)格的量化考察。但這些方法在長(zhǎng)期性和系列穩(wěn)定性方面存在局限。文中將MCMC應(yīng)用于實(shí)時(shí)油藏建模。較之傳統(tǒng)方法,MCMC方法在某一特殊時(shí)間點(diǎn)上應(yīng)用更少的模型來(lái)實(shí)現(xiàn)合理的概率預(yù)測(cè),它也提供了一種隨時(shí)校準(zhǔn)不確定性預(yù)測(cè)的機(jī)制。

連續(xù)油藏模擬 馬爾可夫鏈蒙特卡洛 概率預(yù)測(cè) 不確定性量化

1 背景

1.1 不確定性量化技術(shù)

對(duì)產(chǎn)量預(yù)測(cè)中的不確定性進(jìn)行量化完全依賴(lài)于歷史擬合。進(jìn)行歷史擬合包含三個(gè)主要步驟:第一,根據(jù)描述油藏幾何與流動(dòng)特性的整套參數(shù)來(lái)定義油藏;第二,根據(jù)預(yù)估的概率分布對(duì)油藏未知參數(shù)進(jìn)行賦值;第三,從預(yù)先的分配油藏模型可作為實(shí)際模擬例子,并在目標(biāo)函數(shù)中量化模擬結(jié)果和觀察數(shù)據(jù)的差異。許多方法用于尋求合理的模型,某些歷史擬合的技術(shù)——梯度法技術(shù),它們的目標(biāo)就是最優(yōu)化,即模擬結(jié)果最符合觀測(cè)結(jié)果的模型就是所需要的模型。用梯度法進(jìn)行的不確定性量化也許還不是最完美的方法,因?yàn)樗辉谀繕?biāo)函數(shù)的一個(gè)或多個(gè)極疏區(qū)的相鄰區(qū)取樣。MCMC方法已廣泛應(yīng)用于從一個(gè)復(fù)雜的分布函數(shù)中取樣,特別是當(dāng)不知道函數(shù)的精確形式的時(shí)候。

在油藏模型研究中,MCMC技術(shù)用于研究貝葉斯推斷的后驗(yàn)分布。最后分布只不過(guò)產(chǎn)生于一套案例中油藏模型所用的樣本。首先,一個(gè)隨機(jī)模型取樣于一個(gè)先驗(yàn)分布的樣本,這是馬爾可夫鏈的出發(fā)點(diǎn)。其次,第二個(gè)模型被隨機(jī)選擇但受限且關(guān)聯(lián)于馬爾可夫鏈中已存在的前一個(gè)模型。當(dāng)這個(gè)馬爾可夫鏈足夠長(zhǎng)后,可以用此鏈中的模型產(chǎn)生后驗(yàn)分布。生成未知分布的另一種相關(guān)方法叫作遺傳算法(GAs),它有多個(gè)相關(guān)的應(yīng)用軟件。遺傳算法是基于控制自然界遺傳基因規(guī)則、類(lèi)別涉及面廣的一類(lèi)最優(yōu)化算法。

在遺傳算法中的一個(gè)稱(chēng)為“繁殖”的過(guò)程中,特種油藏模型的子模型產(chǎn)生于先前運(yùn)行的模型混合參數(shù)值。最后應(yīng)用所有的子模型生成一種分布。較之GAs,MCMC方法在統(tǒng)計(jì)上更嚴(yán)格。MCMC也被當(dāng)作是遺傳算法的一個(gè)類(lèi)型,因?yàn)橄乱粋€(gè)模型依賴(lài)于其前一個(gè)模型,這在GAs就是其母模型。

1.2 實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)與綜合最小方差線性遞推估算濾波器

綜合最小方差線性遞推估算濾波器 (卡爾曼濾波器)技術(shù)廣泛應(yīng)用于天氣預(yù)報(bào),近來(lái)應(yīng)用于石油工程以進(jìn)行概率預(yù)測(cè)?？柭鼮V波器是一種蒙特卡洛手段,是一種通過(guò)連續(xù)模型校正而進(jìn)行不確定性量化的技術(shù)。較之傳統(tǒng)的歷史擬合中進(jìn)行同步數(shù)據(jù)同化,EnKF(綜合卡爾曼濾波器)要順序進(jìn)行。EnKF從受靜態(tài)數(shù)據(jù) (如巖心、測(cè)井及構(gòu)造資料)約束的整體油藏模型開(kāi)始運(yùn)行。當(dāng)數(shù)據(jù)可用時(shí), EnKF用來(lái)自于綜合模型的靜態(tài)信息和模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)更新每個(gè)模型的實(shí)現(xiàn)。因此,EnKF生成一套受生產(chǎn)歷史約束的擬模型實(shí)現(xiàn),而且從理論上講,它應(yīng)該尊重先前的靜態(tài)或地質(zhì)信息。然而,由于受依賴(lài)于樣本數(shù)量或模型實(shí)現(xiàn)的所有統(tǒng)計(jì)測(cè)量中固有的雜波影響,對(duì)于小的整體規(guī)模,EnKF更新能導(dǎo)致地質(zhì)不協(xié)調(diào)實(shí)現(xiàn)。因此,如果最終的模型實(shí)現(xiàn)尊重歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù),那么模型可能就不符合先前的地質(zhì)信息。在EnKF過(guò)程中使用大的整體規(guī)?？梢詼p少運(yùn)行的困難,但對(duì)于油田規(guī)模計(jì)算費(fèi)用可能比較昂貴。EnKF仍是為達(dá)到歷史擬合而進(jìn)行積極研究的主題,并且該技術(shù)正致力于解決運(yùn)行中的難題。

2 連續(xù)模擬過(guò)程

用連續(xù)MCMC方法進(jìn)行歷史擬合以及生成概率預(yù)測(cè)需要幾個(gè)部分相結(jié)合:首先,不確定性油藏的參數(shù)以及先驗(yàn)分布必須是確定的。其次,既然將來(lái)的油藏動(dòng)態(tài)的不確定性通常要通過(guò)一套油藏模型的模擬動(dòng)態(tài)來(lái)評(píng)估,那么必須有在參數(shù)空間取樣以及生成油藏模型的方法。MCMC方法在這里被用來(lái)探究不確定性參數(shù)空間,并自動(dòng)生成運(yùn)行模擬的編碼。針對(duì)每一示例模型,隨著歷史擬合的進(jìn)行,預(yù)測(cè)也一并進(jìn)行,同時(shí)運(yùn)行結(jié)果也被存儲(chǔ)起來(lái)。在連續(xù)的歷史擬合過(guò)程中,油田現(xiàn)場(chǎng)的新數(shù)據(jù)也一直被加入目標(biāo)函數(shù)中。被更新的目標(biāo)函數(shù)致力于后來(lái)的模擬運(yùn)行。最后,各個(gè)運(yùn)行結(jié)果被合并入概率預(yù)測(cè)。

2.1 參數(shù)化

在作任何模擬之前都必須首先決定考慮哪些不確定性參數(shù)。一旦確定了相關(guān)的參數(shù),就要指定先驗(yàn)分布 (這里通常是連續(xù)的)以在數(shù)量上描述參數(shù)的不確定性。正確的分布類(lèi)型通常是建立在油藏特征數(shù)據(jù)上的。后期的分布就在貝葉斯框架內(nèi)定義,而先前的分布根據(jù)觀測(cè)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)作出修正,表示如下:

式中dobs——從油田現(xiàn)場(chǎng)上觀測(cè)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù),如含水率;

m——不確定性參數(shù);

P(m)——不確定性參數(shù)的先驗(yàn)概率分布;

P(dobs|m)——與觀測(cè)數(shù)據(jù)有關(guān)的似然函數(shù);

P(m|dobs)——后期的分布函數(shù)。

如果假設(shè)先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛿?shù)據(jù)誤差服從正態(tài)分布,那么這里的后驗(yàn)分布P(m|dobs)就成為如下形式(Howard,2005):

式中g(shù)(m)——符合不確定性參數(shù)的先驗(yàn)概率分布m的模擬油藏響應(yīng) (曲線);

Cm——參數(shù)協(xié)方差;CD——資料協(xié)方差。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)是從數(shù)量上評(píng)估一個(gè)獨(dú)立模型再現(xiàn)油田現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)的滿意程度的函數(shù)。這一項(xiàng)被定義為如下后驗(yàn)分布函數(shù)的一部分:

在 (3)式中,(m-μ)T(m-μ)是先驗(yàn)項(xiàng);[g(m)-dobs]TC-1D[g(m)-dobs]是似然項(xiàng);μ表示先驗(yàn)平均值。目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果就是先驗(yàn)信息與觀測(cè)信息的結(jié)合,是一個(gè)在貝葉斯框架內(nèi)后驗(yàn)分布結(jié)構(gòu)的推論。

2.3 Metropolis-Hasting MCMC算法

該MCMC方法的主要目標(biāo)是構(gòu)造一個(gè)平穩(wěn)分布與后驗(yàn)分布相匹配的馬爾科夫鏈。這種后驗(yàn)分布典型地定義在多維參數(shù)空間上并常有多路系統(tǒng)式。這里所使用的 Metropolis-Hasting MCMC方法(Hastings,1970)常被用來(lái)從復(fù)雜后驗(yàn)分布中采樣,其隨機(jī)步進(jìn)M-H采樣過(guò)程如下:

(1)從先驗(yàn)分布中隨機(jī)采樣一套參數(shù),表示為;

(2)從狀態(tài)ti時(shí)刻到ti+1,mti+1=mti+σ ε,其中,ε是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)隨機(jī)變量;σ是一個(gè)比例因子;

(4)從0～1間的均勻分布中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)y。如果y≤R,則接受鏈中的mti+1;否則又將mti放入鏈中;

(5)回到第 (2)步。

2.4 連續(xù)數(shù)據(jù)的同化作用

在連續(xù)模擬過(guò)程中的不同時(shí)間點(diǎn)上,油田現(xiàn)場(chǎng)新數(shù)據(jù)就顯得很有用了。由于通常會(huì)設(shè)想油田現(xiàn)場(chǎng)的信息越豐富則導(dǎo)致預(yù)測(cè)和不確定性評(píng)估的效果就越好,因此盡快在模擬過(guò)程中引入新數(shù)據(jù)是有利的。當(dāng)更多的數(shù)據(jù)加入,則 (3)式中將包括更多的觀測(cè)及模擬數(shù)據(jù)點(diǎn)。這樣,觀測(cè)數(shù)據(jù)的限定不符合目標(biāo)函數(shù)中相關(guān)項(xiàng)的狀況就將隨著時(shí)間的推移而改變。盡管持續(xù)變化的目標(biāo)函數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是不嚴(yán)格的,但可以假設(shè)在這種違規(guī)情況下能產(chǎn)生合理的概率預(yù)測(cè)。

2.5 概率預(yù)測(cè)

模擬過(guò)程的最后一步是將為單獨(dú)的馬爾可夫鏈樣本所做的生產(chǎn)預(yù)測(cè)合并入概率預(yù)測(cè)中。在連續(xù)的MCMC過(guò)程中,通過(guò)使用足夠多的最新采樣模型可在任何時(shí)候生成概率預(yù)測(cè)。要么用少量的模型以使改變目標(biāo)函數(shù)的影響最小,要么用大量的模型以使獲取可代表后驗(yàn)分布的平穩(wěn)系列分布的機(jī)會(huì)最大,這二者之間需要尋求一個(gè)可以接受的平衡。

3 PUNQ-S3油藏實(shí)例研究

PUNQ-S3人造油藏作為在生產(chǎn)預(yù)測(cè)中量化不確定性的測(cè)試實(shí)例已應(yīng)用了很多次。PUNQ-S3油藏模型是一個(gè)基于實(shí)際油田的5層3相人造油藏(Bos,1999)。該模型包括13 300(19×28×25)個(gè)網(wǎng)格塊,其中1761個(gè)網(wǎng)格塊起作用。油藏被東部和南部的斷層所限制并與西和北邊相當(dāng)厚的含水層有關(guān)系。帶井位的結(jié)構(gòu)如圖1所示,圖中有一個(gè)小氣頂在中央并以紅色顯示,6口生產(chǎn)井表示為黑色的圓點(diǎn)。石油行業(yè)和學(xué)術(shù)理論上的幾個(gè)合作伙伴用不同的方法來(lái)檢驗(yàn)歷史擬合與不確定性量化技術(shù)。這個(gè) PUNQ項(xiàng)目的目標(biāo)就是確立一種方法——可以通過(guò)適當(dāng)方式將油藏模型、油藏參數(shù)、油井觀察結(jié)果的不確定性與生產(chǎn)預(yù)測(cè)的不確定性結(jié)合起來(lái)。

圖1 PUNQ人造油藏結(jié)構(gòu)圖

用來(lái)確定不確定性參數(shù)及指定先驗(yàn)分布的過(guò)程與傳統(tǒng)上模擬研究中評(píng)估輸入不確定性時(shí)所做的工作是一致的。在PUNQ-S3模型中,假設(shè)孔隙度呈正態(tài)分布,而滲透率呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布。另外,研究中的不確定性參數(shù)不直接使用孔隙度和滲透率值而是孔隙度和滲透率的乘積,在運(yùn)行模擬過(guò)程中,這些乘子應(yīng)用于孔隙度和滲透率底圖。這樣做的效果與直接使用孔隙度和滲透率值的效果相同,但是這種方法簡(jiǎn)化了實(shí)施過(guò)程。對(duì)每一層使用統(tǒng)一的屬性值繪制底圖。基于Barker 2001年提供的平均孔隙度常量值,垂向和縱向滲透率通過(guò) (4)、 (5)式(Gu and Oliver,2004)計(jì)算得到。表1列出了底圖中使用的平均孔隙度和滲透率值。

式中,kv表示垂向滲透率;kh表示橫向滲透率。

用每層6個(gè)同源區(qū)對(duì)PUNQ-S3模型進(jìn)行參數(shù)化。另外,通過(guò)分裂油藏的方式將各區(qū)視為相互獨(dú)立的區(qū)域,這一點(diǎn)是基于實(shí)時(shí)地質(zhì)描述的,指示油藏廣泛分布著東南走向的優(yōu)質(zhì)夾層 (Imperial College,2007)。這樣,在先驗(yàn)分布中,5層6區(qū)3個(gè)屬性 (孔隙度、垂向滲透率和橫向滲透率)就產(chǎn)生總共90個(gè)未確定的乘子?？紫抖瘸俗颖恢付ǚ闹兄禐?、標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.3的正態(tài)分布 (Barker et al,2001)?；?(4)、(5)式,垂向和橫向滲透率乘子被指定服從中值為1、標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.35的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。為防止出現(xiàn)極端和不實(shí)際的滲透率值,此乘子分布被冠以上不過(guò)4而下不過(guò)0的限制。同樣,孔隙度范圍在0～2.28。

表1 PUNQ-S3油藏每層的平均孔隙度、滲透率值

3.1 目標(biāo)函數(shù)

由于在研究中確定的不確定性參數(shù)是孔隙度和滲透率,目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?

式中,X代表不確定的乘子。

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,在第5、6、7、8、9年初順序加入歷史資料。因此,當(dāng)加入新數(shù)據(jù)時(shí),目標(biāo)函數(shù)中的觀測(cè)資料值的數(shù)量成倍數(shù)增加。

3.2 參數(shù)空間研究

在連續(xù)歷史模擬過(guò)程中,模擬運(yùn)行過(guò)程是與歷時(shí)8.04年的觀測(cè)資料進(jìn)行擬合。進(jìn)行的預(yù)測(cè)是16.5年的生產(chǎn)經(jīng)歷。PUNQ-S3模型連續(xù)模擬開(kāi)始于第4.5年,持續(xù)到第9年底,并作出16.5年的預(yù)測(cè)。在第一個(gè)半年 (從第4.5年到第5年),用MCMC采樣方法的模擬中有4 500個(gè)模型作為樣品,并且在其余的年份里每年樣本模型數(shù)為9 000,最后模擬樣品總數(shù)是49 500。所有這些都假設(shè)9 000個(gè)模型的運(yùn)行都發(fā)生在一年中的實(shí)際時(shí)間,即每小時(shí)運(yùn)行一個(gè)模型,這不是今天石油行業(yè)中用于油田模擬的非典型的運(yùn)行頻率。圖2顯示模擬運(yùn)行的累積次數(shù)與油藏生產(chǎn)時(shí)期的對(duì)比。包括在目標(biāo)函數(shù)計(jì)算中的額外數(shù)據(jù)也導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)更大且引起目標(biāo)函數(shù)曲線中太多的數(shù)值起落跳躍 (圖3)。

3.3 預(yù)測(cè)

一個(gè)獨(dú)立的預(yù)測(cè)是與每一次歷史擬合一起運(yùn)行。在第5、6、7、8、9年和第10年,利用在鏈中可用的樣品模型在相應(yīng)的時(shí)間進(jìn)行概率預(yù)測(cè)。通過(guò)過(guò)去一年 (或第5年中的半年)的模擬運(yùn)行可以生成這些概率預(yù)測(cè),這些概率預(yù)測(cè)的累積分布一起顯示在圖4中。

圖2 連續(xù)測(cè)試中模型運(yùn)行數(shù)與油藏生產(chǎn)各時(shí)期的關(guān)系曲線

圖3 目標(biāo)函數(shù)與連續(xù)實(shí)例中MCMC鏈模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖4 累積分布函數(shù)的比較

3.4 不確定性估計(jì)的校準(zhǔn)

從圖5中可以看出,前3個(gè)預(yù)測(cè)沒(méi)能反映真實(shí)情形,在4.5～5年間偏離明顯。因此,在前幾年里不確定性明顯淡化了,這可能歸因于先驗(yàn)分布中對(duì)不確定性的低估,或是對(duì)觀測(cè)資料誤差的低估。即使沒(méi)有大量的可用動(dòng)態(tài)資料,人們也總是要去量化不確定性。為了增加不確定性,可以在先驗(yàn)分布或觀測(cè)資料或兩者中使用更大的標(biāo)準(zhǔn)差。為了克服這些缺點(diǎn),增大了先驗(yàn)乘子的標(biāo)準(zhǔn)差。滲透率乘子標(biāo)準(zhǔn)差從1.35增大到20,而孔隙度乘子標(biāo)準(zhǔn)差從0.3增大到0.5。伴隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增大,先前的后驗(yàn)分布被重新建立,直到它們?cè)诒举|(zhì)上支持所有繼發(fā)的后驗(yàn)分布。

圖5 連續(xù)實(shí)例預(yù)測(cè)與PUNG油藏分布的預(yù)測(cè)值的對(duì)比

4 結(jié)論

MCMC方法是一種應(yīng)用于歷史擬合與不確定性量化的強(qiáng)有力工具。通過(guò)對(duì)油藏的歷史擬合及其整個(gè)生命周期的連續(xù)預(yù)測(cè),隨著時(shí)間的推移和觀測(cè)資料的增加,預(yù)測(cè)不確定性范圍逐漸變小。較之MCMC方法傳統(tǒng)上應(yīng)用于過(guò)去一時(shí)間上的模擬研究,連續(xù)MCMC方法可用很少的模型在特別的時(shí)間點(diǎn)上進(jìn)行合理的概率預(yù)測(cè),這是因?yàn)檫B續(xù)方法得益于最新觀測(cè)資料同化前的模型運(yùn)行。在油藏的長(zhǎng)期生產(chǎn)中持續(xù)建模可考慮以下方面:在參數(shù)化過(guò)程中獲得更多的不確定性參數(shù),更多的樣本以及由此造成的參數(shù)空間大得多的片斷取樣。這應(yīng)該最終導(dǎo)致更可靠的概率預(yù)測(cè)。

連續(xù)的模擬方法也提供一種從始至終的不確定性估計(jì)校準(zhǔn)機(jī)制。如果觀測(cè)到后驗(yàn)分布除了變窄以外始終發(fā)生的跳躍起伏,那么可以放大先驗(yàn)分布中的標(biāo)準(zhǔn)差或者增加觀測(cè)資料以增加不確定性。應(yīng)該采取調(diào)整措施直到繼發(fā)的后驗(yàn)分布與所有先前的分布相一致。

資料來(lái)源于美國(guó)《SPE 119197》

10.3969/j.issn.1002-641X.2010.6.003

2009-03-23)