閉口薄壁桿件受碰撞的振動(dòng)方程求解?

羅旗幟,徐中山,2,陳玉驥

(1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院土木工程與建筑學(xué)系,廣東佛山 528000;2.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院,廣東廣州 510640)

目前,對(duì)結(jié)構(gòu)受碰撞的現(xiàn)象已有不少的理論與實(shí)驗(yàn)研究,文獻(xiàn)[1-3]分析了結(jié)構(gòu)受沖擊的作用,但僅是針對(duì)純彎曲方面,沒有考慮結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng);文獻(xiàn)[4-5]進(jìn)行了薄壁結(jié)構(gòu)的彎扭耦合分析,其采用的方程是根據(jù)開口薄壁截面的特征建立的,由于開口和閉口在發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)的時(shí)候,其截面上的剪力流不同[6],因此其采用的動(dòng)力方程不適合用于閉口截面.本文基于 Timoshenko薄壁梁理論,運(yùn)用能量原理推出了閉口薄壁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力微分方程,通過積分變換方法求解了閉口薄壁結(jié)構(gòu)受碰撞的動(dòng)力方程.

1 微分方程的建立

基于烏曼斯基閉口薄壁梁約束扭轉(zhuǎn)理論,截面上任意一點(diǎn)的位移都可通過桿件軸線的基本位移來描

述.設(shè)桿件為等截面的直桿,O為截面形心,S為截面的剪切中心,其截面任意一點(diǎn)的位移函數(shù)可以表示為

式中:坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在截面的形心上,坐標(biāo)軸與截面的慣性主軸重合;v s(x)和 w s(x)為截面剪切中心的橫向位移;u(x)為截面軸向的平均位移;f(x)為翹曲函數(shù);θ(x)為截面的扭轉(zhuǎn)角;h v(x),h w(x)為截面剪切中心的彎曲轉(zhuǎn)角;總位移 v s(x),w s(x)包括彎曲位移與剪切變形;z s和 y s是剪切中心的坐標(biāo);w(y,z)是基于形心的圣維南扭轉(zhuǎn)函數(shù);w s(y,z)為基于剪切中心的圣維南扭轉(zhuǎn)函數(shù),其可退化為橫截面的扇性坐標(biāo),它滿足關(guān)系式k s=k-z s y+y s z.

通過建立結(jié)構(gòu)的動(dòng)能、勢能和外力功的能量方程,根據(jù)哈密爾頓原理(Hamilton)對(duì)能量方程進(jìn)行變分,整理得微分方程為如下形式

上述方程為 Timoshenko閉口薄壁桿件的動(dòng)力方程,其中式 (2)是獨(dú)立的,式(3),(4)和(5)組成了Timoshenko薄壁梁雙向彎曲扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力方程.Isk為橫截面的主扇性慣性矩;J p為截面的方向慣性矩;I k為截面自由扭轉(zhuǎn)慣性矩.Ay和 Az分別為 y方向和 z方向的等效剪切面積,當(dāng) Ay→∞,Az→∞ 時(shí),便退化成為 Bernoulli-Euler薄壁梁的彎扭耦合動(dòng)力方程;當(dāng) y s→0,z s→0時(shí),便退化成為截面對(duì)稱的結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程,如下所示.

假設(shè)結(jié)構(gòu)是線彈性的,在沒有外力影響的情況下,節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的位移 v s,轉(zhuǎn)角h,彎矩 M,剪力 Q,扭轉(zhuǎn)角θ,翹曲函數(shù) f,雙力矩 B,扭矩 L是連續(xù)的.自由邊界時(shí),M=Q=L=B=0;固定邊界時(shí),vs=h=θ=f=0;簡支邊界時(shí) ,h′=v s= θ=B=0.

結(jié)構(gòu)位移、轉(zhuǎn)角和扭轉(zhuǎn)角等各個(gè)參數(shù)初始時(shí)刻均為零.

質(zhì)量為 m的質(zhì)量塊以 y方向速度 v撞擊梁,將梁分為 n個(gè)單元,假設(shè)撞擊位置為第 i個(gè)節(jié)點(diǎn)位置,撞擊時(shí)物體和節(jié)點(diǎn)的接觸用柔度系數(shù)為 f柔的彈簧模擬,其接觸平衡條件為(u(t)為撞擊物的位移;s為撞擊點(diǎn)距形心距離)

2 微分方程的求解

本文針對(duì)截面為對(duì)稱形式的結(jié)構(gòu)動(dòng)力微分方程進(jìn)行求解,只考慮撞擊方向的橫向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng),對(duì)式 (7)和 (9)進(jìn)行 Laplace積分變換,可得如下形式

由此

式中:n1,n2為式 (10a)的特征方程的根;n3,n4為式 (10b)的特征方程的根;c1～ c8為待定系數(shù).

建立結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,代入相應(yīng)的邊界條件、連續(xù)條件和碰撞接觸平衡條件后,得到各個(gè)參數(shù)在頻域內(nèi)的解,最后通過 Laplace逆變換的方法,得到各個(gè)參數(shù)在時(shí)域內(nèi)的解.

3 算例分析

質(zhì)量為 M的物體以速度 v橫向撞擊懸臂閉口薄壁梁,用柔度為 f的彈簧模擬物體和梁的接觸變形,如圖1和圖2所示.梁的密度為 7.8×10-6kg/mm3,彈性模量為 210 GPa,梁長 2 000 mm,梁的截面形式如圖2所示.撞擊物的質(zhì)量為 100 kg,撞擊速度為 3 m/s,柔度系數(shù)為 0.2 m/MN.截面以剪切中心為零點(diǎn),碰撞點(diǎn)距剪切中心的橫向距離即偏心距為 75 mm,o為截面剪切中心.

圖1 撞擊示意圖Fig.1 Mechanical model of impact

圖2 結(jié)構(gòu)橫截面圖(mm)Fig.2 Diagram of cross section

圖3 沖擊力示意圖Fig.3 Diagram of impact force

經(jīng)計(jì)算得到?jīng)_擊力(圖3)、撞擊點(diǎn)處剪切中心的 y方向位移 v s(圖4)和扭轉(zhuǎn)角的最大動(dòng)力響應(yīng) (圖5).圖3顯示 Timoshenko閉口薄壁桿件受的沖擊力與 Bernoulli-Euler閉口薄壁桿件受的沖擊力相差 2.70%,說明考慮剪切變形對(duì)結(jié)構(gòu)所受沖擊力的影響不大.圖4,圖 5為 Timoshenko閉口薄壁桿件與Bernoulli-Euler閉口薄壁桿件的沖擊點(diǎn)處的位移和扭轉(zhuǎn)角的動(dòng)力響應(yīng)最大時(shí)刻的示意圖.從圖4可以看出,考慮剪切變形后的梁中點(diǎn)處的最大位移為 -6.983 1 mm,Bernoulli-Euler梁的位移值為 -5.867 2 mm,兩者相差15.98%,這說明考慮剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)較大.而圖5顯示,考慮剪切變形之后,梁沖擊點(diǎn)處的扭轉(zhuǎn)角的最大動(dòng)力響應(yīng)值相差為 0.24%,說明剪切變形對(duì)扭轉(zhuǎn)角的影響比較小.

圖4 撞擊點(diǎn)處 v s的動(dòng)力響應(yīng)Fig.4 Dynamic response of v s displacement at theimpact site

圖5 撞擊點(diǎn)處扭轉(zhuǎn)角的動(dòng)力響應(yīng)Fig.5 Dynamic responseof torsion angleθ at theimpacesite

4 結(jié) 論

1)基于 Timoshenko薄壁梁理論,運(yùn)用能量原理建立了薄壁結(jié)構(gòu)受碰撞的彎扭耦合動(dòng)力方程,該公式經(jīng)退化后可得到 Bernoulli-Euler梁動(dòng)力方程,說明本文方法具有普遍性;

2)在結(jié)構(gòu)受碰撞的過程中考慮剪切變形對(duì)沖擊力和扭轉(zhuǎn)角的影響較小,但對(duì)橫向位移的影響比較顯著,所以在計(jì)算位移時(shí)要考慮剪切變形,但在計(jì)算沖擊力和扭轉(zhuǎn)時(shí)可以忽略剪切變形的影響.

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