一致凸 Banach空間中非擴(kuò)張非自身映射的弱收斂定理

凌蕾花

(鎮(zhèn)江市高等?？茖W(xué)校人事處,江蘇鎮(zhèn)江 212003)

一致凸 Banach空間中非擴(kuò)張非自身映射的弱收斂定理

凌蕾花

(鎮(zhèn)江市高等?？茖W(xué)校人事處,江蘇鎮(zhèn)江 212003)

在具有 Opial條件或 Frechet可微的一致凸 Banach空間中,對非擴(kuò)張非自身映射引入一類新的帶誤差的Ishikawa型迭代序列,并研究其逼近公共不動點(diǎn)問題。

非擴(kuò)張非自身映射;公共不動點(diǎn);一致凸 Banach空間;Opial條件;Frechet可微

0 引 言

Safeer Hussain Khan和 Hafiz Fukhar-ud-din[1]在一致凸 Banach空間中研究了兩個非擴(kuò)張自身映射下帶誤差的一類迭代序列的收斂性。Naseer Shahzad[2]在實(shí)一致凸Banach空間中研究了非擴(kuò)張非自身映射的逼近不動點(diǎn)問題。本文將在一致凸Banach空間中對非擴(kuò)張非自身映射引入一類新的帶誤差的迭代序列并研究其逼近公共不動點(diǎn)問題,主要結(jié)果如下:

定理 1設(shè) E是實(shí)一致凸 Banach空間,K是 E的非空有界閉凸子集,P:E→K是保核收縮,T1,T2,T3:K→E是非擴(kuò)張非自身映射,且 F(T1)∩F(T2)∩F(T3)≠?,這里 F(T)表示 T的不動點(diǎn)集。定義 K中迭代序列 {xn}為

若 E滿足下列條件之一:1)E具有 Opial條件;2)E具有 Frechet可微,則迭代序列 (1)弱收斂到 T1,T2,T3的某公共不動點(diǎn)。

1 引 理

引理 1對任何 f∈F(T1)∩F(T2)∩F(T3),極限存在。

證明因?yàn)?K有界,故存在 M ＞0,M′＞0,M″＞0,使得‖xn-un‖≤M,‖xn-vn‖≤M′,‖xn-wn‖≤M″,?n∈N,從而對任何 f∈F(T1)∩F(T2)∩F(T3),

類似于引理 1的證明,我們可證

引理 2

令Wnx=P(anT1P(a′nT2P(a″nT3x+b″nx+c″nwn)+b′nx+c′nvn)+bnx+cnun),則

定義 Un,m=Wn+m-1Wn+m-2…Wn,則 Un,mx=xn+m。且對任意的 x,y∈K,有

引理 3設(shè)

由歸納法可得

引理 4設(shè) 0＜λ＜1,f,g∈F(T1)∩F(T2)∩F(T3),則‖存在。

證明由定理 1[3]得

兩邊先對 m取上極限,得

引理 5若f,g是{xn}的弱極限點(diǎn),且,對任意的ε＞0,?N0∈N,當(dāng) n＞N0時,有 ‖λxn+(1-λ)f-g‖≤h(λ)+ε,則

又 f為{xn}的弱極限點(diǎn),則 ? ni,ni＞N0時,使得

證明記ε)‖f-g‖,‖f-g‖≤h(λ)+ε。又因?yàn)棣牛?是任意的,則 ‖f-g‖≤h(λ)。

3 定理 1的證明

證明我們僅需說明ωω{xn}為單點(diǎn)集。設(shè) f,g都為{xn}的弱極限點(diǎn),下證 f=g。

首先由引理 1,引理 2和半閉原理[4-5]知,f,g∈F(T1)∩F(T2)∩F(T3)。

1)若E是具Opial條件的一致凸 Banach空間,若 f≠g,則存在{ni},{nj},使得,由引理 1及 Opial條件可得類似可得矛盾,從而 f=g。故{xn}弱收斂到 T1,T2,T3的公共不動點(diǎn)。

2)若 E是具 Frechet可微范數(shù)的一致凸 Banach空間,則‖f-g‖=〈xn-f,J(f-g)〉關(guān)于 n≥1一致成立。由引理 4與引理 5知,從而對任意的ε＞0,存在N′0,當(dāng)n＞N′0時,有〈xn-f,J(f-g)〉＞-ε,又g∈ωω{xn},?n′i＞N′0,使得,則〈xn′i-f,J(f-g)〉＞ -ε,兩邊對 i取極限,有〈g-f,J(f-g)〉≥ -ε,即 ‖f-g‖2≤ε,由ε的任意性可知 f=g。

注:1)當(dāng)cn=c′n=c″n=0,T1=T2=T3=T時,定理就是文獻(xiàn)[2]中的定理3.5。2)當(dāng)a″n=b″n=c″n=0,T1,T2為 K→K的非擴(kuò)張映射時,定理 1就是文獻(xiàn)[1]中的定理 1。

定理 1將文獻(xiàn)[1]中的相應(yīng)結(jié)果推廣到非自身映射三重迭代情形,將文獻(xiàn)[2]中的相應(yīng)結(jié)果推廣到帶誤差的三重迭代情形,同時減弱了文獻(xiàn)[1,2,4,6,7,8]中的緊性或全連續(xù)條件。

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〔責(zé)任編輯:盧 蕊〕

Abstract:This paper introduces a new Ishikawa iteration processwith errors for non-expansive and non-self mappings in a uniformly convexBanach space,which satisfiesOpial's condition or has a Frechet differentiable nor m and makes research on how to approach the common fixed point.

Key words:non-expansive and non-selfmappings;common fixed point;uniformly convex Banach space;Opial's condition;Frechet differentiable nor m

Weak convergence theorem for non-expansive and non-self mapp ings in un iform ly convex Banach spaces

L INGLei-hua
(PersonnelDepartment,Zhenjiang College,Zhenjiang 212003,China)

O177.91

A

1008-8148(2010)04-0033-04

2010-07-02

凌蕾花 (1979—),女,江蘇鎮(zhèn)江人,講師,碩士,主要從事泛函分析研究。