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    再析彎折離散傅里葉變換全通函數(shù)

    2010-09-25 05:55:14羅小東
    通信技術(shù) 2010年3期
    關(guān)鍵詞:全通均勻分布化簡(jiǎn)

    羅小東, 舒 勤

    0 引言

    文獻(xiàn)[1]詳盡分析了彎折離散傅里葉變換在彎折參數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)的全通系統(tǒng)函數(shù),論證了在實(shí)數(shù)情況下,無法實(shí)現(xiàn)采樣點(diǎn)隨彎折參數(shù)而改變。本文承接其后,運(yùn)用零極點(diǎn)分解法具體分析了彎折參數(shù)為復(fù)數(shù)情況下的全通函數(shù)。

    1 彎折離散傅里葉變換基本原理

    WDFT[2]實(shí)質(zhì)上是一類特殊的非均勻離散傅里葉變換NDFT(Nonuniform Discrete Fourier Transform),它是利用全通彎折函數(shù)AWF(Allpass Warping Function)將單位圓上均勻分布的采樣點(diǎn),變換成非均勻分布的采樣點(diǎn),通過選擇適當(dāng)階次的全通函數(shù)[3-4]AWF(Allpass Warping Function)及其彎折參數(shù)來達(dá)到所希望的非均勻采樣,從而使所選定的重要的頻率范圍內(nèi)精度提高,不重要的頻率范圍內(nèi)精度降低,達(dá)到不增加采樣數(shù)目N便可提高系統(tǒng)分析精度的目的。系統(tǒng)的理論框圖見圖1。

    設(shè)序列 []xn的長(zhǎng)度為N,其Z變換和DFT變換分別為:

    圖1 WDFT系統(tǒng)的理論框圖

    比較上面二式可得關(guān)系式:

    考慮M階AWF的形式:

    其中 A (z?)是關(guān)于 z?-1的M階多項(xiàng)式,A(z?-1)是關(guān)于z?的M階多項(xiàng)式。

    在z?平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣得到WDFT變換:

    Xω(z? )在z?平面單位圓上均勻采樣,由于通過全通濾波器所以在z平面單位圓上成為非均勻采樣[5]。

    從而全通映射函數(shù)為:

    當(dāng)2M=,兩極點(diǎn)12,ρρ互為共軛時(shí),此映射函數(shù)與文獻(xiàn)[3]中所提及的實(shí)數(shù)彎折參數(shù)映射函數(shù)是一致的。

    2 全通函數(shù)分析

    通過這種全通變換可以將頻率坐標(biāo)彎折,在?z平面單位圓上均勻分布的點(diǎn)被映射到 z平面單位圓上的非均勻分布點(diǎn)。記。則:

    兩邊同取對(duì)數(shù)有:

    從而:

    此式表明了頻率彎折前后的角頻率關(guān)系。取單極點(diǎn)和多極點(diǎn)分別仿真,結(jié)果如圖2、圖3所示(其中單極點(diǎn)為多極點(diǎn)分別為。后文仿真條件相同)。

    由仿真圖可以看出:在彎折參數(shù)幅角處,彎折曲線斜率較大,表明頻率變化較快。

    對(duì)式(10)進(jìn)一步分析有兩邊同微分化簡(jiǎn)既得:

    對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)處理有:因?yàn)閞i<1且 ri→1可記為ri=1-εi其中εi>0且εi→0,則:

    故(11)式可化簡(jiǎn)為:

    圖2 單極點(diǎn)頻率彎折關(guān)系圖

    圖3 多極點(diǎn)頻率彎折關(guān)系圖

    對(duì)上式單極點(diǎn)和多極點(diǎn)分別仿真有:

    對(duì)χ進(jìn)行數(shù)學(xué)分析有:

    ① 比較圖4、下頁(yè)圖5可得出:對(duì)于不同的極點(diǎn),其采樣間距相互間影響較小,可忽略不計(jì)。故在每個(gè)極點(diǎn)的幅角處,頻率彎折前后比值最大,表明二者采樣距離差距最大,頻率彎折最為明顯;

    ③ 有仿真圖6可得出:當(dāng)極點(diǎn)幅值相同時(shí),在每一個(gè)極點(diǎn)幅角處=χ的值基本相同。而在兩個(gè)周期內(nèi)(甚至更多周期),其他頻點(diǎn)處,=χ都沒有達(dá)到峰值。表明彎折點(diǎn)?只和各階極點(diǎn)幅角有關(guān),而與他們的組合疊加沒有關(guān)系。

    圖4 頻率彎折前后采樣距離比(單極點(diǎn)情況)

    圖5 頻率彎折前后采樣距離比(多極點(diǎn)情況)

    圖6 頻率彎折前后采樣距離比(多極點(diǎn)多周期情況)

    3 結(jié)語(yǔ)

    通過對(duì)WDFT全通函數(shù)零極點(diǎn)分析,發(fā)現(xiàn)對(duì)于WDFT全通函數(shù),在每一個(gè)極點(diǎn)幅角處,頻率彎折前后,采樣間距比值最大,表明頻率彎折最為明顯,可以實(shí)現(xiàn)通過調(diào)節(jié)彎折參數(shù)來改變彎折點(diǎn)的功能。對(duì)于高階系統(tǒng),每一階彎折參數(shù)均可實(shí)現(xiàn)對(duì)彎折點(diǎn)的調(diào)節(jié)。

    [1] 羅小東,舒勤,李廣悅.彎折離散傅里葉變換的全通系統(tǒng)函數(shù)分析[J].通信技術(shù),2009,42(07):290-292.

    [2] Cho N 1,Mitra S K. Warped Discrete Cosine Transform and Its Application in Image Compression[J]. IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol, 2000,10(08):1364-1373.

    [3] Markur A, Mitra S K. Warped Discrete Fourier Transform: Theory and Applications[J]. IEEE Trans.2001,48(09):1086-1093.

    [4] Franz S, Mitra S K, Schmidt J C. Warped Discrete Fourier Transform: A New Concept in Digital Signal Processing[C].USA:IEEE, 2002:1205-1208.

    [5] Venkataramanan,Prabhu K. Estimation of Frequency Offset Using Warped Discrete-Fourier Transform[J]. Signal Processing,2006(07):250-256.

    [6] 馬晴,舒勤.彎折離散傅里葉變換的研究和應(yīng)用[D]. 四川:四川大學(xué),2008.

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