改進變論域模糊控制及其在混沌系統(tǒng)中的應用

路永坤，夏超英

(1. 天津大學電氣與自動化工程學院，天津 300072；2. 天津科技大學自動化學院，天津 300222)

變論域自適應模糊控制器[1-4]根據跟蹤誤差的大小，來改變模糊論域的伸縮因子．在模糊規(guī)則形式不變的情況下，論域變小，相當于增加模糊規(guī)則．反之，相當于減少模糊規(guī)則．

文獻[4]中給出了一種基于觀測器的魯棒自適應變論域模糊控制．但其穩(wěn)定設計未考慮反饋增益向量對觀測器估計誤差的影響，所以穩(wěn)定設計需要進一步改進．

從模糊系統(tǒng)逼近誤差角度看，文獻[5]中模糊系統(tǒng)的前件(條件)部分的隸屬度函數(shù)固定，是其模糊逼近誤差產生的一個主要原因．但在文獻[1-4]中，僅是一種針對論域的比例改變．而模糊系統(tǒng)隸屬度函數(shù)的中心和寬度的相對關系，尤其是前件隸屬度函數(shù)，則具有非線性特點，對模糊逼近誤差的影響更大．為了進一步減小模糊逼近誤差，原模糊系統(tǒng)結構中的非線性因素也需要能被在線調整．

文獻[4]中不確定項包含模糊逼近誤差以及外部擾動．而魯棒控制項表達式中需要知道不確定項的界．若不確定項的界不易獲得，由此設計的魯棒控制項過小時，起不到應有的補償效果；而魯棒控制項過大的，又容易引起輸入控制信號抖振[6]．為了減小魯棒控制項的設計難度，在變論域模糊控制器中，需要設計一種可以在線動態(tài)減小最小模糊逼近誤差的算法．

在文獻[7]中利用級數(shù)展開式，得到了關于模糊基函數(shù)的寬度和中心的線性展開式，并由此推出模糊系統(tǒng)隸屬度函數(shù)的寬度和中心都可在線調整的自適應律．但這種級數(shù)展開式仍含有非線性部分，其中的非線性因素仍然是模糊系統(tǒng)逼近誤差的主要來源．雖然文獻[7]中亦探討了模糊系統(tǒng)動態(tài)結構的問題，但其中動態(tài)增加的新模糊規(guī)則中隸屬度函數(shù)寬度以及輸出權重缺乏設計依據．這種設計難免因為新加入的規(guī)則，使得系統(tǒng)穩(wěn)定性變差．

在文獻[8]中，提出一種自組織結構算法．但其中有關減規(guī)則和替換規(guī)則的方法，基于“當前”的控制情況，對整個模糊系統(tǒng)結構缺乏考慮，也需要進一步改進．

基于上述問題，筆者提出一種在線自組織結構算法，并運用到改進的基于觀測器的魯棒自適應變論域模糊控制器中．

1 改進變論域模糊控制算法

1.1 改進穩(wěn)定設計

考慮單輸入單輸出的非線性系統(tǒng)

令觀測誤差向量e～ = e ? e? ．

若 f (X)和 g (X)可知，則系統(tǒng)最優(yōu)控制律為

若 f (X)和 g (X)未知，分別用其估計值 f?(X?)和g?(X? )代替，則系統(tǒng)最優(yōu)控制律為

式中：uD為魯棒控制項；uS(X ? ) 為監(jiān)督控制項；uC( X ? /β)為變論域模糊控制項；β為變論域模糊控制器伸縮因子．

由式(1)～式(5)可得

式中 Δ g ( X,X? ) = g? ( X ? ) ? g(X)．

若觀測器亦選如下形式

則可得改進觀測誤差方程為

式中，觀測增益向量 kT=[kn kn ?1 … k 2 k1]．

若通過選擇向量k和 kc，使系數(shù)陣 ( A ? k CT?B)的特征多項式嚴格 Hurwitz穩(wěn)定，則存在對稱矩陣P，使得

式中Q為任意的正定矩陣．

有關李亞普諾夫函數(shù)的選取，以及監(jiān)督控制律uS( X? ) 、變論域模糊控制律 uC(X ? /β)、伸縮因子α和β的自適應律與文獻[4]中結論相同．

魯棒控制項 uD表達式的推導過程與文獻[4]中相同，結論形式也類似．但由于觀測誤差方程表達式的變化，不確定項θ表達式需要修正．新的魯棒控制項uD的表達式為

式中：sgn(x) 為符號函數(shù)；β*和α*分別為β和α的最優(yōu)參數(shù)．

由于僅輸出y和參考信號向量yr已知，觀測誤差向量e～是不可獲得的.但如果調整控制器參數(shù)，使得滿足如下假設，則式(8)和式(10)可實現(xiàn)．

假設：伸縮因子β 經過足夠小的變化調整，就能逼近到β*．通過魯棒補償控制律 uD補償后，不確定項θ對穩(wěn)定設計的影響足夠小.

式(9)中觀測誤差方程的系數(shù)陣為 ( A ?kCTB kcT).而文獻[4]中的觀測誤差方程的系數(shù)陣為 ( A?kCT)．并且，要求選取反饋增益向量k，使得 ( A?kCT)的特征多項式嚴格 Hurwitz穩(wěn)定．則存在對稱矩陣 P0，使得

式中0Q為任意的正定矩陣．

改進后的式(9)，說明不僅要考慮選擇觀測增益向量k，反饋增益向量 kc也和觀測誤差向量收斂的速度大小有直接關系．一般在左半s平面上，觀測器(A?kCT)的Hurwitz穩(wěn)定的根位置，要遠離控制器(A?B)的Hurwitz穩(wěn)定的根位置[9]．對于式(8)中觀測誤差方程的特征系數(shù)矩陣而言，當選擇觀測增益向量k的增益越高，則反饋增益向量 kc對觀測誤差向量收斂的速度的影響就越?。咴鲆嬗^測增益向量k使得閉環(huán)極點右移，穩(wěn)定性變差，對閉環(huán)系統(tǒng)控制是不利的．所以，在變論域模糊控制穩(wěn)定設計中，根據改進后的式(9)，綜合考慮選擇觀測增益向量k與反饋增益向量ck更合理些．

1.2 自組織結構算法

文獻[8]和文獻[10]中，分別針對模糊系統(tǒng)和神經網絡系統(tǒng)，給出了相應的自組織結構算法．而文獻[8]和[10]中基于“當前”的控制情況，對整個模糊系統(tǒng)結構缺乏考慮．結合變論域模糊控制器特點，這里給出新的自組織結構算法的實現(xiàn)步驟．

對于一個模糊系統(tǒng)，設 Xi=[? Ei, Ei](i = 1 ,2,… ,n)是輸入變量 xi(i = 1 ,2,… ,n )的論域，Y = [? U ,U]是輸出變量y的論域． Ai= { Aij}(1≤j≤m)是論域 Xi上的一個模糊劃分．B = { Bj}(1≤j≤m)是Y的模糊劃分，yj是 Bj的峰點．從模糊規(guī)則結構上看，Ai和B分別是前件和后件的模糊劃分．

（1）||e?||反映當前模糊控制器是否適當.定義W(t)和 G(t)，分別為上下界時變函數(shù).e0＞ 0 為設計參數(shù).當||e?||∈[G(t),W(t) + e0]時，當前模糊系統(tǒng)的結構是適當?shù)?當||e? ||∈ [W (t) + e0,+ ∞]時，需增加模糊系統(tǒng)的規(guī)則；當||e?||∈[0,G(t ))時,則需減少模糊系統(tǒng)的規(guī)則.

通常取

式中λ為正定常衰減率．根據要求的精度來設定0e．

(2)定義jz是前件隸屬度函數(shù)中心．當同時滿足以下2個條件時，需要增規(guī)則

式中：μ為正的閾值；z+是離當前模糊系統(tǒng)輸入()xt最近的隸屬度函數(shù)中心，即

新加的模糊子集初值設定為：取當前輸入 ()xt作為新模糊前件隸屬度函數(shù)的中心，當前模糊系統(tǒng)的輸出作為新模糊后件的jy．

(3)減規(guī)則判斷條件為

式中1T為設計參數(shù)，1T0＞.

式中：jr為模糊基函數(shù)；0Δ＞為匹配度設計參數(shù).

文獻[8]中，僅要求式(15)符合||e?||＜G(t)．若整個控制系統(tǒng)的跟蹤誤差處于振蕩發(fā)散時，僅根據某時刻||e?||＜G(t),就判斷系統(tǒng)已經穩(wěn)定在一定跟蹤精度范圍，顯然是不正確的.

(4)規(guī)則替換

文獻[8]中提出，當?shù)竭_規(guī)則數(shù)量上限時，與當前模糊輸入距離最遠的模糊子集被替換掉．

從整個控制過程來看，文獻[8]的替換操作中認為，距離當前最遠的模糊子集的信息對當前控制影響最?。墨I[8]的替換操作，不能保證被替換模糊子集的信息對整個控制過程影響最?。绻严噜從：蛹拈g距以相鄰模糊子集的峰點間距為定義，則從整個論域上看，峰點間距越密，該劃分信息的冗余就越大[11-12]．所以，文獻[8]中的規(guī)則替換，不僅要考慮距離當前模糊輸入的遠近，還應該考慮模糊子集合包含冗余信息的多少．進而改進為被替換模糊子集滿足，距離當前輸入超過一定距離 λ1，并且被替換模糊子集相鄰間距小于λ2．在所有滿足替換條件的模糊子集中，距離當前輸入最遠的模糊子集將被替換掉．其中的減規(guī)則參數(shù) T1，以及替換規(guī)則參數(shù)λ1和λ2，可通過具體系統(tǒng)仿真效果反復調試確定．值得注意的是，增規(guī)則中的μ和替換規(guī)則中 λ2是不同的．增規(guī)則中，雖然閾值μ保證相鄰模糊子集的間距必須超過一定限度，即考慮當前所增加模糊子集的冗余信息要?。@里的λ2保證在滿足與當前模糊輸入一定距離的基礎上，要選擇冗余信息比較大的做為被替換模糊子集．

新替換模糊子集初值設定如下：取當前輸入 ()xt作為新模糊前件隸屬度函數(shù)的中心，當前模糊系統(tǒng)的輸出作為新模糊后件的jy．

通過自組織結構算法，保證變論域模糊控制器的模糊結構具有“合適規(guī)?！保M而動態(tài)減小式(10)中不確定項中的模糊逼近誤差．從而，魯棒控制項的幅值選取不必很大．甚至當模糊逼近誤差很小時，可以不設計魯棒控制項Du．

1.3 帶自組織結構算法變論域模糊控制器穩(wěn)定性

文獻[8]證明了所提出的自組織結構算法并不影響其控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性．這里亦可規(guī)定，在t時刻自組織結構算法起作用．由第 1.2節(jié)可知，自組織結構算法保證了控制輸入的連續(xù)性，即 u(t?) = u (t+)．進而由式(1)可得 X ( t?) = X ( t+)．所以有e～ ( t?) = e～ ( t+)．而自適應律[4]1018為

式 中 ： β～ = β*? β ,α～ = α*? α ，可 得 β (t?) = β (t+)和α(t?) = α (t+)．

最后，由李亞普諾夫函數(shù)[4]1018

可得 V (t?) = V (t+)．因此，變論域模糊控制器由李亞普諾夫方法所保證的穩(wěn)定性，并不受所加入的自組織結構算法影響．

2 Chua′s混沌系統(tǒng)的仿真

Chua′s混沌電路動態(tài)方程經過線性變換后的狀態(tài)方程和輸出方程為

控制的目的是使得狀態(tài)變量x1，跟蹤給定的參考信號 yr(t) = 9 sint．設定約束[4]1021為

式中：f0和 g0分別是函數(shù)f和g的上界函數(shù)和下界函數(shù)；gL是函數(shù)g的下界函數(shù)．

為了驗證改進變論域控制器的有效性，先用文獻[4]中控制 器 ，實現(xiàn)有 關 控制目標 ．uC(X ? /β)和g?(X ? /α)分別逼近u*和g(X)，其中α和β為用自適應律調節(jié)的伸縮因子．然后，在原來的控制器基礎上，加入有關改進算法．

取觀測器增益向量 kT=[52373]．取反饋增益向量為=[123]．自適應律調節(jié)的自適應系數(shù)γ= 0 .0009．由式(10)，魯棒控制項設計為

式(11)中的

取誤差e和誤差變化率e˙的模糊論域分別為E和EC.由式(2),e和 e˙亦可記為1e和2e.若定義,分別是模糊論域E和EC上的模糊劃分, B = { Bj}(1≤j≤m)是Y的模糊劃分．A1j與 A2j分別稱為 A1與 A2的模糊子集．E和EC上的隸屬度函數(shù),分別如圖1(a)和圖2(a)所示.

模糊規(guī)則可以選取為：若E是 A1j，并且EC是A2j，則Y是 Bj( j = 1,2,… ,m ).

圖1 e的隸屬函數(shù)Fig.1 Membership function of e

圖2 e˙的隸屬函數(shù)Fig.2 Membership function of e˙

改進控制器在式(9)中的

若記μe和μe˙分別為自組織結構算法對模糊論域E和EC進行增規(guī)則操作時的閾值μ，并記λ1e為改進后自組織結構算法對模糊論域E進行替換規(guī)則操作時的依據λ1，同理，λ2e、λ1e˙和λ2e˙有類似定義．自組織結構算法部分參數(shù)為λ=20,G ( 0)=0.1,W ( 0) = 0 .5,e0= 0 .1,μe=0.062,μe˙=0.4,Δ=0.25,T1=0.02s,λ1e=1.7,λ2e=0.3,λ1e˙=6,λ2e˙=0.5.

在改進后控制器作用下，經過30 s調節(jié)后，E和EC上的隸屬度函數(shù)分別如圖1(b)和圖2(b)所示．這時隸屬度函數(shù)為

圖3 e的響應Fig.3 Response of e

圖 4 e˙的響應Fig.4 Response of e˙

圖 3和圖 4分別給出了e和e˙的動態(tài)響應曲線．由圖3和圖4可以看出，改進后的控制器對跟蹤誤差的響應有明顯改善．

3 結 語

針對一類變論域模糊控制器中未考慮反饋增益向量對觀測器估計誤差影響的問題，給出修正的穩(wěn)定設計．針對一類在線自組織結構算法中，基于“當前”的控制情況，而對整個模糊系統(tǒng)結構缺乏考慮的問題，給出一種新的自組織結構算法．為了減小不確定項的界函數(shù)對魯棒控制項設計的影響以及提高原變論域模糊控制器的適應性，將新的在線自組織結構算法運用到改進變論域自適應模糊控制中．尤其注意的是，這種自組織結構算法并不影響由李亞普諾夫方法所保證的變論域模糊控制器的穩(wěn)定性．所提出的有關改進，對系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂、閉環(huán)穩(wěn)定性和模糊系統(tǒng)逼近都有貢獻．仿真研究表明所提出的改進是有效的．

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