高等數(shù)學(xué)中配項(xiàng)法的應(yīng)用研究

張潔萍

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

高等數(shù)學(xué)中配項(xiàng)法的應(yīng)用研究

張潔萍

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

采用列舉法探討了配項(xiàng)法在求函數(shù)極限、不定積分和函數(shù)展開成冪級數(shù)等方面的應(yīng)用，揭示了配項(xiàng)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用技巧，為配項(xiàng)法的應(yīng)用提供了一種新的思路.

配項(xiàng)法 函數(shù)極限 不定積分 冪級數(shù)

配項(xiàng)法，即代數(shù)式中原本沒有某項(xiàng)，但是為了在求解問題的過程中利用某公式、某定理、某結(jié)論，從而將代數(shù)式加上某項(xiàng)然后再減去某項(xiàng)，或者是乘以某項(xiàng)再除以某項(xiàng)，是解題中一種目的明確的變形技巧[1-2]，有些題利用配項(xiàng)法甚至可以簡化計(jì)算過程.高等數(shù)學(xué)中有很多問題從形式上看讓人無處下手，但是只要能巧妙地使用配項(xiàng)法，就會(huì)迎刃而解，能起到事半功倍的效果.接下來從以下三方面研究配項(xiàng)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

1 配項(xiàng)法在函數(shù)極限中的應(yīng)用

配項(xiàng)法在函數(shù)極限中的應(yīng)用并不陌生，比如用ε-δ語言定義證明，就需要通過適當(dāng)?shù)呐漤?xiàng)，設(shè)法在式子中保留｜x-x0｜，以利用｜x-x0｜<δ來得到｜f(x)-A｜<ε的結(jié)論.此外，配項(xiàng)法在函數(shù)極限的一些證明題和求解函數(shù)極限的問題中也有巧妙的應(yīng)用[3-4],下面舉例加以說明.

分析：本題前后兩式形式差異不大，經(jīng)過觀察分析，通過應(yīng)用配項(xiàng)法使兩式聯(lián)系起來，則很容易使本題得證.

證明先證充分性：

應(yīng)用配項(xiàng)法可得到如下等式：

所以

再證必要性：

應(yīng)用配項(xiàng)法可得到：

所以

分析：本題中的函數(shù)比較復(fù)雜，無法利用函數(shù)連續(xù)性以及極限的四則運(yùn)算法則等來求解，但是觀察到,這樣對乘除配項(xiàng)，使之向兩個(gè)重要極限的形式轉(zhuǎn)化，再進(jìn)一步求其極限.

2 配項(xiàng)法在求不定積分中的應(yīng)用

求不定積分的方法主要有換元法和分部積分法.在計(jì)算過程中，這些方法往往需要和配項(xiàng)法相結(jié)合，使所求不定積分化為基本積分公式型積分，從而使問題簡化[5].

分析：根據(jù)被積函數(shù)的形式，若要湊成ex的微分，則要對被積函數(shù)乘除配項(xiàng)，即被積函數(shù)乘以ex，再除以ex.

分析：本題是關(guān)于三角函數(shù)有理式的積分，可以利用代換使之轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分，雖然可進(jìn)一步求得其解，但是計(jì)算過程比較繁瑣，重新審視被積函數(shù)，如果將分子應(yīng)用配項(xiàng)法使之湊成分母和分母導(dǎo)數(shù)的線性組合，則可以很容易求得其解.

3 配項(xiàng)法在函數(shù)展開成冪級數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法有直接法和間接法，用直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)計(jì)算量很大，所以通常我們用間接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)，也就是根據(jù)已經(jīng)證實(shí)的函數(shù)展開式，獲得所求函數(shù)的展開式.這就需要對所給函數(shù)進(jìn)行配項(xiàng)，使之轉(zhuǎn)化成已經(jīng)證實(shí)的函數(shù)[6-7].

而

所以有

得到

分析：觀察本題中f(x)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們想到用乘除配項(xiàng)法來使f(x)轉(zhuǎn)化為有利于求解的結(jié)構(gòu)形式，即f(x)乘以(1-x2)再除以(1-x2)，進(jìn)而利用 1 1-x=來求解.

解：當(dāng)｜x｜≠1時(shí)，應(yīng)用配項(xiàng)法可得到

從而可得到

4 結(jié)語

本文列舉了配項(xiàng)法在求函數(shù)極限、不定積分和函數(shù)展開成冪級數(shù)中的應(yīng)用，其實(shí)配項(xiàng)法的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容中[8-10]，面對眾多原本復(fù)雜的問題，恰當(dāng)使用配項(xiàng)法，可以巧妙地將其解答，從這點(diǎn)看，熟練掌握配項(xiàng)法在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中顯得尤為重要.

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[10]劉華.關(guān)于變上限積分所確定的復(fù)合函數(shù)的若干性質(zhì)與應(yīng)用探討[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2010,26(1):81-84.

Abstract:This paper,studying application of matching item in limit of function,indefinite integral and positive series by using listing technique in this paper,presents the acrobatics about the application of matching item,and offers the new thinking in the application of matching item.

Key words:matching item;limit of function;indefinite integral;positive series

〔編輯 高?！?/p>

A Study on the Application of Matching Item in Higher Mathematics

ZHANG Jie-ping
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

O13

A

1674-0874(2010)05-0013-03

2010-06-06

張潔萍(1982-)，女，山西定襄人，碩士，助教，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).