機械波“半波損失”的諧波分析

徐詩池

(華東交通大學, 江西 南昌 330013)

機械波“半波損失”的諧波分析

徐詩池

(華東交通大學, 江西 南昌 330013)

利用機械波的波動方程, 分析了機械波在弦線的固定端或自由端發(fā)生反射時存在或不存在“半波損失”現(xiàn)象.

波動方程; 相位; 半波損失

引言

關于機械波在兩種媒質(zhì)分界處反射時引起的半波損失問題, 在所有大學物理教材[1～5]中都只是定性的極粗略的介紹了幾句, 并沒有從數(shù)學上進行證明和分析. 某些力學實驗演示中出現(xiàn)的機械波的半波損失現(xiàn)象也只是給初學者以感性認識, 知其然而不知其所以然. 本短文采用諧波分析方法, 利用機械波的波動方程進行數(shù)學證明并作定量分析.

1 分析方法

設平面簡諧波沿著弦線傳播而從固定端或自由端反射時, 沒有任何能量的吸收或發(fā)生機械波透入其它媒質(zhì), 那么, 機械波在此處是完全反射的, 反射波的振幅應該等于入射波的振幅. 在這種情況下, 邊界(弦線端點)處媒質(zhì)的質(zhì)點, 不但參與了入射波的振動, 同時也參與了反射波的振動. 其中為角頻率,為波長,是波在反射時可能發(fā)生的某一相位變化.

由于機械波的波動方程與坐標原點的選取無關, 為了簡便起見, 把坐標原點取在邊界上, 則邊界上質(zhì)點振動的合位移

現(xiàn)在由邊界上質(zhì)點振動的合位移進行分析.

(1) 當機械波反射發(fā)生在弦線固定端的分界處時, 因為該處質(zhì)點不能振動, 所以振幅等于零, 即

由此可知, 當機械波在弦線固定端反射時, 反射波在該處的位移要改變符號, 這說明反射波與入射波的相位在反射點正好相反, 也就表明在弦線固定端的分界處, 反射波的相位發(fā)生π的突變, 反射波的相位比入射波的相位落后π, 即存在半波損失.

(2) 當機械波反射發(fā)生在弦線自由端的分界處時, 由于自由端上的質(zhì)點在一邊沒有受到任何運動的阻力, 該處質(zhì)點較媒質(zhì)內(nèi)部的質(zhì)點振動時受到的阻力來說就應該減少一半, 因而其振幅加倍, 即

由此可見, 機械波在弦線自由端的分界處反射時, 反射波的位移在該處沒有改變符號, 這表明在弦線自由端的分界處, 反射波與入射波的相位相同, 即不存在半波損失.

2 結束語

上述利用機械波的波動方程對于機械波在弦線固定端或自由端發(fā)生反射時存在或不存在“半波損失”現(xiàn)象所作的證明過程很容易被讀者理解, 并且對于機械波傳至密度和彈性模量都不相同的兩種媒質(zhì)分界面時, 反射波與入射波在反射點處的相位差是π或零的現(xiàn)象也可作出解釋. 密度和波速(與媒質(zhì)的彈性模量的平方根成正比)的乘積較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì),較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì). 當機械波由較小的波疏媒質(zhì)傳播到較大的波密媒質(zhì)的分界面上反射時, 這就相當于機械波在弦線固定端反射,反射波的相位發(fā)生的改變, 即存在半波損失. 反之, 若機械波由較大的波密媒質(zhì)傳播到較小的波疏媒質(zhì)分界面上反射時, 這就相當于機械波在弦線自由端反射, 反射波的相位不變, 則無半波損失了.

[1] 張三慧. 大學物理學 力學 熱學[M]. 北京: 清華大學出版社, 2008: 230

[2] 吳百詩. 大學物理[M]. 下冊. 北京: 科學出版社, 2005: 163

[3] 徐 超, 劉修生. 大學物理[M]. 上冊. 北京: 科學出版社, 2006: 124

[4] 王紀龍, 周希堅, 都虎生. 大學物理[M]. 下冊. 北京: 科學出版社, 2002: 94

[5] 張丹海, 洪小達. 簡明大學物理[M]. 北京: 科學出版社, 2005: 303

Harmonic Wave Analysis of “half wave loss” of the Mechanic Wave

XU Shi-chi
(East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China )

Using the wave equation of the mechanic wave, this paper analyses the “half wave loss” phenomenon existing or non-existing when the reflection of mechanic wave at the fix end or free end of string happens.

wave equation; phase; half wave loss

O321

A

1672-5298(2010)03-0049-02

2010-05-18

徐詩池(1953- ), 男, 江西九江人, 華東交通大學基礎科學學院教授. 主要研究方向: 大學物理教學