基于最大熵原理的圖書館流通借閱統(tǒng)計(jì)分析

尹曉旭 王 彥

（北京航空航天大學(xué)圖書館，北京 100191）

圖書館藏書流通是圖書館工作的重要組成部分，館藏圖書的流通統(tǒng)計(jì)一直是圖書館統(tǒng)計(jì)工作的主要對象。目前已有的館藏圖書流通統(tǒng)計(jì)研究提出了多種分析方法[1-3]，主要采用的方法是：獲取樣本、對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、假設(shè)分布型式、估計(jì)假設(shè)分布參數(shù)、檢驗(yàn)假設(shè)分布。王健、蔡智澄等學(xué)者[1，2]，就圖書館流通讀者統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)引入概率統(tǒng)計(jì)方法，闡述了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)分析方法和步驟，以上方法都是基于最小方差的統(tǒng)計(jì)分析方法。

筆者以本館2009年上半年航空航天類圖書借閱量為樣本，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，引入熵的概念，采用基于最大熵原理的方法分析流通借閱數(shù)據(jù)，以期探索出一種圖書館流通統(tǒng)計(jì)的新方法。

1 熵的概念及計(jì)算方法

傳統(tǒng)的隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)大多針對高斯正態(tài)分布，僅考慮其期望和方差。然而，非高斯分布廣泛存在，期望和方差已不能完全反映其特性。作為信息論、通信理論和熱力學(xué)理論的一個(gè)基本概念，熵是一種描述隨機(jī)變量的隨機(jī)性或者不確定性的度量。

香農(nóng)（Shannon CE）認(rèn)為，信息是人們對事物了解的不確定性的消除或減少。1948年，他把玻爾茲曼熵的概念引入到信息論中，把不確定的程度稱為信息熵。信息熵是描述事物無序性的參數(shù)，熵越大則無序性越強(qiáng)。

Jaynes證明，對隨機(jī)事件的所有相容的預(yù)測（相容預(yù)測是指符合已知的某些參數(shù)與隨機(jī)事件相關(guān)條件的某種對隨機(jī)事件分布的預(yù)測）中，熵最大的預(yù)測出現(xiàn)的概率占絕對優(yōu)勢。

Tribus證明，正態(tài)分布、伽瑪分布、指數(shù)分布等都是最大熵原理的特殊情況。最大熵統(tǒng)計(jì)建模是以最大熵理論為基礎(chǔ)的一種選擇模型的方法，即從符合條件的分布中選擇熵最大的分布作為最優(yōu)的分布。

樣本容量為觀測的總天數(shù)n，對n個(gè)樣本進(jìn)行分組，組數(shù)為k。樣本值落入第i個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)稱為頻數(shù)。由頻數(shù)與概率的關(guān)系可知，樣本值落入第i個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)近似等于隨機(jī)變量X落入第i個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。

隨機(jī)事件的信息熵[4]：設(shè)隨機(jī)變量 ζ，它有 A1，A2，……，An共n種可能的結(jié)局，每個(gè)結(jié)局出現(xiàn)的概率分為p1，p2，……，pn，則其不確定程度，即信息熵為：

一個(gè)系統(tǒng)的熵就是它的無組織程度的度量，熵越大，事件越不確定，熵等于0，事件是確定的?；陟氐亩x，可以直觀地說明最大熵分布原理。最小偏見的概率分布是這樣一種分布，使其熵在根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)信息的一些約束條件下達(dá)到最大值。由概率分布密度函數(shù)的規(guī)范性公理，以及n階原點(diǎn)矩的定義，可得如下優(yōu)化算法：

其中，（fx）為分布密度函數(shù)，R為積分限，μn為n階原點(diǎn)矩。最大熵概率分布函數(shù)為原點(diǎn)矩為這實(shí)際上是一個(gè)非線性優(yōu)化問題。

利用最優(yōu)化定理，拉格郎日乘子參數(shù) λ（nn=0，1，…，N）滿足如下關(guān)系式：

由樣本值求解原點(diǎn)矩μn，求解λn（n=1，…，N）的聯(lián)立方程組。則所研究的問題可轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化算法[5]：

算法實(shí)現(xiàn)流程：

①根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算各階原點(diǎn)矩

②選擇積分限為：R

③建立優(yōu)化模型式

④調(diào)用優(yōu)化算法子程序

⑤判斷，若滿足優(yōu)化條件轉(zhuǎn)⑦；否則轉(zhuǎn)⑥

⑥用另一初始點(diǎn)重新計(jì)算，轉(zhuǎn)④

⑦輸出參數(shù)λn（n=0，1，…，N）

2 借閱量統(tǒng)計(jì)分析方法

北京航空航天大學(xué)是一所具有航空航天特色和工程技術(shù)優(yōu)勢的多學(xué)科、開放式、研究性大學(xué)，圖書館在藏書建設(shè)上注重航空航天特色，匯集了大量關(guān)于航空航天事業(yè)發(fā)展、航空航天工程技術(shù)等方面的圖書資料。航空航天類圖書的利用率和流通情況可以反映出北航主要讀者群對圖書館的實(shí)際利用情況。因此，該類圖書的借閱量具有一定的代表性。筆者以2009年2月14日至2009年7月16日時(shí)間區(qū)間內(nèi)航空航天類圖書每天的借閱量為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

在此區(qū)間，除公共節(jié)假日以及其他情況的閉館外，借還臺總共開放134天。每天的借出量最大值為163本，最小值為15本。選擇采樣區(qū)間（8，170）作為樣本的取值區(qū)間，將其等分為18個(gè)小區(qū)間，求出頻數(shù)，列出頻數(shù)分布表1。

表1 流通借閱頻次分布表

由優(yōu)化算法可給出隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：

對于所求得的隨機(jī)變量分布函數(shù)，可以由期望的借閱量x求出其發(fā)生的頻率f（x）。

根據(jù)表1數(shù)據(jù)畫出頻率的柱狀圖（見圖1），橫坐標(biāo)表示借閱數(shù)據(jù)分組排序，縱坐標(biāo)是借閱頻數(shù)，圖中曲線是最大熵?cái)M合分布曲線。

由圖1可見，除第3組數(shù)據(jù)外，該分布較好地?cái)M合了樣本值。這說明流通服務(wù)的人員和設(shè)備配置比較科學(xué)合理地滿足了師生的需求。至于第3組存在較大擬合誤差的原因，經(jīng)過調(diào)查得知，處于該組借閱數(shù)據(jù)的日期，多是節(jié)假日前后，讀者借閱行為與平日有較大不同。

由此可見，最大熵方法可以為圖書館合理配置人員與設(shè)備、提高圖書館流通的管理水平提供科學(xué)依據(jù)，從而為廣大師生提供更優(yōu)質(zhì)的服務(wù)。

圖1 流通借閱的最大熵統(tǒng)計(jì)模型

3 結(jié)論

利用最大熵優(yōu)化所得的概率分布函數(shù)能夠表達(dá)不同統(tǒng)計(jì)分布形式的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性，具有廣泛的適應(yīng)性[6]。在圖書館流通統(tǒng)計(jì)中與已有的方法相比，具有適用范圍廣、算法簡便的特點(diǎn)，可為流通統(tǒng)計(jì)提供一種有效的方法。同時(shí)，這種方法可以推廣應(yīng)用到圖書館的其他統(tǒng)計(jì)工作中。計(jì)算中也發(fā)現(xiàn)，使用最大熵方法時(shí)也需注意以下問題：樣本量選取不宜太小，太小將不能完全反映樣本各階矩的特性；積分限選取比較重要；初始值選擇不合適將影響算法的收斂性和收斂速度。此外，如何考慮一些不確定因素、邊界條件不穩(wěn)定等情況對借閱量統(tǒng)計(jì)分析的影響，也是需要研究的課題。

[1] 王?。咝D書館流通系統(tǒng)讀者分布分析及假設(shè)檢驗(yàn)[J]．情報(bào)探索，2008（12）：100-102.

[2] 蔡智澄，張根彬．圖書館流通系統(tǒng)讀者分布密度及回歸分析．情報(bào)業(yè)務(wù)研究，2004（3）：114-115.

[3] 武晉媛．以流通統(tǒng)計(jì)分析驗(yàn)證館藏結(jié)構(gòu)的合理性[J]．晉圖學(xué)刊，2009（3）：57-59.

[4] 吳乃龍，袁素云.最大熵方法.長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1991.

[5] 俞禮軍，嚴(yán)海，嚴(yán)寶杰．最大熵原理在交通流統(tǒng)計(jì)分布模型中的應(yīng)用[J]．交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2001（3）：91-94.

[6] 高翔，鄭建祥．基于最大熵概念的復(fù)雜隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)模型[J]．農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2008（2）：43-46.尹曉旭 女，1961年生。館員，主要研究方向：圖書館學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)。