六階微分系統(tǒng)帶權第二特征值的上界

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學 基礎部，江蘇 蘇州 215104)

六階微分系統(tǒng)帶權第二特征值的上界

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學 基礎部，江蘇 蘇州 215104)

考慮六階微分系統(tǒng)帶權第二特征值的上界估計。利用試驗函數，Rayleigh定理，分部積分和Schwartz不等式等估計方法與技巧，獲得了用第一特征值來估計第二特征值的上界的不等式，其估計系數與區(qū)間的度量無關。其結果在物理學和力學中有著廣泛的應用，在常微分方程的研究中起著重要的作用。

六階微分系統(tǒng);特征值;特征向量;上界

1 主要結果

設(a，b)?R是一個有界區(qū)間，考慮如下微分系統(tǒng)的特征值估計問題。其中sji(x)(i，j=1，2)，設任意ξ=(ξ1ξ2)T，滿足

其中μ1，μ2，v1，v2為正實數。

把問題(1)寫成矩陣形式，設

將問題(1)化為如下等價的矩陣形式：

單個六階微分方程問題(1)的特征值估計已獲得一些結果［1-2］。在本文中，考慮六階微分系統(tǒng)并且左端的導數比右端的導數階數恰好高4階的問題，這個問題將文獻［1］和［2］推廣到方程組的情形。運用文獻［3］中的方法，并且對其方法加以改進，對于問題(1)獲得了用第一特征值來估計第二特征值的上界的不等式，其估計系數與區(qū)間的度量無關。其結果在物理學和力學中有著廣泛的應用，在常微分方程的研究中起著重要的作用［4］。

定理 設λ1，λ2是問題(1)的兩個第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，則有

2 定理的證明

設λ1是問題(4)的第一特征值，相應于λ1的特征向量函數為u1，簡記u=u1，且滿足

利用分部積分和(6)，得

利用分部積分和(7)，有

利用(2)和(8)，得

利用(3)和(7)，有

設

利用分部積分，直接計算得

利用(12)知，φ與u廣義正交，且滿足

利用Rayleigh定理，成立著

計算得

利用分部積分和φ(x)=(x-t)u，有

即

結合式(14)和(15)，得

設

利用(16)，有

利用(13)和(17)，成立

引理1 設u是問題(4)所對應第一特征值λ1的特征向量函數，則

證 利用分部積分，Schwartz不等式，(9)和(10)，得

引理2 設u是問題(4)所對應第一特征值λ1的特征向量函數，則，

證 對于(a)，利用(2)和引理1，得

對于(b)，利用(2)、(9)、(10)和Schwartz不等式，有

引理3 設λ1是問題(4)的第一特征值，則

證 利用分部積分、S(x)的對稱性和φ(x)=(x-t)u，得

類似地，可以得到

利用(19)、(20)和(21)，有

利用(22)和引理2，得

引理4 對于φ與λ1，有下列不等式成立

證 利用分部積分和φ(x)=(x-t)y，得

利用(24)，有

利用(10)和(25)，得

利用(26)、(3)、引理1和Schwartz不等式，得

整理上式，可得引理4。

定理的證明：利用引理3，引理4和(19)，得到

即得到定理的(5)。

［1］ 趙曉蘇，錢椿林.六階常微分方程廣義第二特征值的上界估計［J］.長春大學學報，2009(6)：52-54.

［2］ 韓秋敏，錢椿林.六階某類微分方程第二特征值的上界［J］.蘇州大學學報，1999(3)：26-30.

［3］ G.N.Hile，R.Z.Yen.Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator［J］.Pacific J.Math，1984(1)：115-133.

［4］ M.H.Protter.Can one hear the shape of a drum［J］.SIAM Rev，1987(1)：185-197.

責任編輯：鐘 聲

The upper bound estimation of second eigenvalue for six-order differential system with weight

ZHAO Xiao-su，QIAN Chun-lin
(Fundamental Department，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper considers the upper bound estimation of second eigenvalue for six-order differential system with weight.The inequality of upper bound estimation with second eigenvalue is estimated from the first eigenvalue by using test function method，Rayleigh theorem，partial integration and Schwartz inequality.The estimation coefficients do not depend on the measure of the domain.This kind of problem plays an important role in the theory of differential equations and the application in mechanics and physics.

six-order differential system;eigenvalue;eigenvector;upper bound

O175.1

A

1009-3907(2010)08-0010-04

2010-04-16

蘇州市職業(yè)大學基金資助項目(SZD07W61)

趙曉蘇(1962-)，女，江蘇蘇州人，講師，主要從事算子特征值估計方面研究。

錢椿林(1943-)，男，江蘇蘇州人，教授，主要從事算子特征值估計方面研究。