關(guān)于 Hilbert符號的進一步討論

吳茂全, 裴曉雯, 魯亞男

(沈陽化工大學數(shù)理系,遼寧沈陽 110142)

關(guān)于 Hilbert符號的進一步討論

吳茂全, 裴曉雯, 魯亞男

(沈陽化工大學數(shù)理系,遼寧沈陽 110142)

Hilbert符號; 二次乘冪; 簇; 稠密

1 必要結(jié)論

有理數(shù)Q是域,可以做為子域插入Qp和R中,如果a,b∈Q＊(乘群),記(a,b)P(或(a, b)∞)表示Qp(或R)中的 Hilbert符號.定義V是由素數(shù)和∞構(gòu)成的集合.而習慣記Q∞=R,則Q對于所有v∈V在Qv中稠密.為了問題的研究,下面的定理和引理是必要的.由參考文獻 [1],以下結(jié)論成立.

定理 1(Hilbert定理):如果a,b∈Q＊,則(a,b)v=1幾乎處處成立,且

這里的“幾乎處處”是指除了有限個數(shù)外都成立.

引理 1(剩余定理):設(shè)a1,a2,…,an,m1,m2,…,mn是整數(shù),且ai,mi(i=1,2,…,n)是互素對,則存在一個整數(shù)a,使a≡ai(modmi)(i=1,2,…,n).

引理 3(狄利克雷定理):如果a,m是互素的整數(shù),且a,m≥1,則存在無窮多個素數(shù)p滿足p≡a(modm).

2 關(guān)于 Hilbert符號的有理數(shù)存在定理

有了上面的定理和引理做為基礎(chǔ),在參考文獻[2]給出的 Hilbert符號的計算公式基礎(chǔ)上,對Hilbert符號在Q＊的一個有限簇與數(shù)簇之間的關(guān)系進行研究和探討,總結(jié)出下面的關(guān)于 Hilbert符號的一個結(jié)論.

定理 2:設(shè)(ai)i∈I是Q＊的一個有限簇, (εi,v)i∈I,v∈V是等于 ±1的數(shù)簇,則對所有的i∈I,v∈V存在元x∈Q＊,使(ai,x)v=εi,v成立的充分必要條件是滿足下面 3個條件:

證明

必要性:由定理 1,條件 (1)、(2)成立.取xv=x,則條件 (3)成立.

充分性:設(shè)(εi,v)是等于 ±1的數(shù)簇且滿足條件(1)、(2)、(3).由(ai)i∈I的結(jié)構(gòu),在用某個整數(shù)的二次乘冪乘以ai后,可以假設(shè)所有ai都是整數(shù).設(shè)S是由∞、2以及ai的素因子所構(gòu)成的V的子集,T是滿足存在i∈I,使εi,v=-1的v∈V構(gòu)成,則T與S是有限集.下面分兩種情形證明:

因為S∩T=Φ,則整數(shù)a和m是互素的,由引理 3,存在一個素數(shù)p?S∪T,滿足p≡a(modm).下面將證明x=ap具有要證明的性質(zhì),即對所有i∈I,v∈V,(ai,x)v=εi,v.

如果v∈S,因為S∩T=Φ,所以εi,v=1.下面檢驗(ai,x)v=1成立.若v=∞,由x>0可知(ai,x)v=1顯然成立;如果v是一個素數(shù)l,有x≡a2(modm),因此,當l=2時,x≡a2(mod8),當l≠2時,x≡a2(modl);又因為x,a是l進單位,由參考文獻[1]的定理可知x是中的一個二次乘冪,所以(ai,x)v=1.

如果l?T∪{p},則x是l進單位,因此vl(x)=0,此時上述公式變成(ai,x)l=1;另一方面,因為l?T,所以 εi,l=1.如果l∈T,有vl(x)=1,由條件(3),存在xl∈對所有i∈I,滿足(ai,xl)l=εi,l;由于l∈T,所以εi,l中之一等于 -1,因此vl(xl)≡1(mod 2),則

(2)一般情形

[1]知,的二次乘冪構(gòu)成的一個開子群,再由上述引理 2(逼近定理),存在x′∈Q＊,使對所有v∈S都有x′/xv是中的一個二次乘冪.特別地,對所有v∈S,(ai,x′)v=(ai,xv)v=εi,v.如果令ηi,v=εi,v(ai,x′)v,則簇(ηi,v)適合條件(1)、(2)、(3),而且如果v∈S,則ηi,v=1.由情形(1)所得結(jié)論知存在y∈Q＊,使對所有i∈I和v∈V,有(ai,y)v=ηi,v,設(shè)x=yx′,顯然x就是所求.

綜合上述情況 (1)、(2),定理 2成立.

至此推得了對給定的 Hilbert符號(a,b),對于一個有限簇(ai)i∈I和元素等于 ±1的數(shù)簇(εi,v),i∈I,v∈V之間存在有理數(shù)x∈Q＊,使(ai,x)v=εi,v成立的充分必要條件.它可看作Hilbert符號的又一個性質(zhì),對 Hilbert符號的進一步研究有重要的參考價值.

參考文獻:

[1] Serre Jean-Pierre.A Course in A rithm etic[M].N ew York:Springer-Verlag N ew York Inc,1993:3-23.

[2] 吳茂全,裴曉雯.關(guān)于 Hilbert符號的討論[J].沈陽化工大學學報,2007,21(3):235-237.

On the FurtherDiscussion of Hilbert Symbol

WU M ao-quan, PEI Xiao-wen, LU Ya-nan

(Shenyang U niversity of Chem ical Technology,Shenyang110142,China)

H ilbert sym bol; square; fam ily; dense

O156.2

A

1004-4639(2010)04-0370-02

2009-12-31

吳茂全(1963-),男,遼寧沈陽人,副教授,碩士,主要從事代數(shù)學、高等數(shù)學、微積分學、工程數(shù)學的教學及科研工作.