一階線性微分方程解的漸進(jìn)性證明

袁春華

（濟(jì)南大學(xué)理學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022）

一階線性微分方程解的漸進(jìn)性證明

袁春華

（濟(jì)南大學(xué)理學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022）

本文給出了一階線性微分方程解的漸近性證明常用的結(jié)論并對結(jié)論進(jìn)行了證明，通過舉例說明了應(yīng)用這些結(jié)論證明一階線性微分方程解的漸進(jìn)性非常簡便。

一階線性微分方程；初值問題；連續(xù)

1.基本知識

2.基本結(jié)論

對于滿足一定條件的一階線性微分方程，可以利用一階線性微分方程解表達(dá)式（1），對一階線性微分方程解的漸進(jìn)性進(jìn)行證明，證明時，常用到如下的相關(guān)結(jié)論．

則對上述任給ε>0，取T=max{T0，T1}，當(dāng)x>T時，由式（2）、（3）可知：

證明：令F（x）=f（x）-b，則F（x）在［0，+∞）上連續(xù)，且有由結(jié)論1可知：=0.

從而

3.結(jié)論應(yīng)用

證明：不妨設(shè)y=y（x）是方程任一解且滿足 y=（0）=y0，初值問題滿足解的存在唯一性條件，由（1）式可知，該初值問題的解為：

則

例2：設(shè)f（x）在［0，+∞）上連續(xù)可微，

4.小結(jié)

對上述例題，也可以直接用函數(shù)極限定義直接證明，但非常麻煩；利用上述結(jié)論證明有關(guān)一階線性微分方程解的漸進(jìn)性非常方便簡捷。

［1］東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］王克，潘家齊.常微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］莊萬.常微分方程習(xí)題解［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2008.

［4］王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2004.

book=59,ebook=1

O175

A

1008—3340（2010）04—0059—02

2010－08－28

袁春華（1967-），男，講師，碩士，研究方向：交通規(guī)劃、智能優(yōu)化算法。