時(shí)滯脈沖微分方程解的全局吸引性

陳攀峰

（宿州學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，安徽宿州234000）

時(shí)滯脈沖微分方程解的全局吸引性

陳攀峰

（宿州學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，安徽宿州234000）

本文研究一類一般情況時(shí)滯脈沖微分方程解的全局吸引性，并得出該方程全局吸引性的結(jié)論。

微分方程；時(shí)滯；脈沖；全局吸引性

文[1-5]研究了脈沖時(shí)滯微分方程解的全局吸引性，本文利用類似的方法研究更具一般形式的脈沖時(shí)滯微分方程解的全局吸引性

其中a（t）∈C（[0，+∞），[0，+∞）），τ＞0，bk＞-1，k=1，2，3…，0＜t1＜t2＜…＜tk＜…，且=∞.f（t，u）關(guān)于u滿足lipschitz條件，當(dāng)t≠tk時(shí)關(guān)于t連續(xù)，當(dāng)u=0時(shí)，f（t，0）=0；當(dāng)u≠0時(shí)，uf（t，u）＞0.假設(shè)函數(shù)f（t，φ）滿足如下條件

其中p（t）∈C（[0，+∞），[0，+∞）），Mt（φ）

定義：若存在x（t）（t∈[-τ，+∞）滿足方程（1），且當(dāng)t≥-τ時(shí)，x（t）左連續(xù)，當(dāng)t≥0時(shí)，滿足方程（1）.則稱x（t）為方程（1）的解。

引理1[1]：假設(shè)條件（2）成立，且有

則方程（1）的每一最終正解和最終負(fù)解都趨于零。

證明與文獻(xiàn)[1]中的方法相似。

引理2[1]：假設(shè)（2）成立，且有則方程（1）的每個(gè)振動(dòng)解都趨于零。

證明利用文[1]中類似的方法，方程（1）的任一振動(dòng)解設(shè)為x（t），先證x（t）有界。由（6），對(duì)?a∈（1，），存在T1＞0，當(dāng)t≥T1，t≠tk時(shí)，

由（5），?ε＞0，?整數(shù)N，當(dāng)n＞N，對(duì)于?m＞0，使同時(shí)使得（1＋ε）＜1.取T＝max{ T1，tN}，T0＝min{ t:x（t）＝0，t≥T}.

用反證法，假設(shè)x（t）無界，那么存在c＞T0，對(duì)?t≤c時(shí)，.不妨設(shè)x（c+）＞0.如果x（c）是x（t）的左極大值，由（1）、（2）

又x（c）＞0，x′（c）＞0，所以由（1），存在ξ∈[c-τ，c]，使得x（ξ）=0.且當(dāng)t∈[ξ，c]時(shí)，x（t）≥0；當(dāng)t∈[ξ，c]，tτ≤ξ，對(duì)上述不等式從t-τ到ξ積分，得

對(duì)上式從ξ到c積分，結(jié)合（7）得

對(duì)（9）、（10）分別從ξ到η、η到c積分，得

由上面兩式消去x（η），得

化簡得（11）。如果x（c）不是x（t）的左極大值，設(shè)T0＜tl＜tl+1＜…＜tl+k＜c.此時(shí)如果x（tk+l）＜x（c），那么x（t）在x（tk+l，c）內(nèi)存在最大值并記為，用上述的方法

如果x（tk+l）不是x（t）的左極大值，則有且x（t）在x（tk+l-1，tk+l）內(nèi)有最大值，記為用上述方法可得（16），

所以

也得（16）。由遞推法，最后，如果x（tl）不是左極大值，那么x（t）在（T0，tl）內(nèi)有最大值設(shè)為，易證（16）。

所以

即得（16）。

此外如果x（c+）＝x（c），則由（12）式推得（1+ε）≥1，（16）式推得，均與假設(shè)矛盾。

若x（c+）≠x（c），則存在tk，使，即x（c）＝x（tk），x（c+）=（1+bk）x（tk）=（1+bk）x（c）≤（1+ε）x（c），

所以x（t）有界。

從而得

取點(diǎn)列{cn}，滿足T′＜c1＜c2＜…，且x（cn）＝0.當(dāng)t∈[c2i-1，c2i]時(shí)，x（t）≥0，當(dāng)t∈[c2i，c2i＋1]時(shí)，x（t）≤0.

于是推出

不妨設(shè)c2i-1＜t1＜tl+1＜…tk+l，若x（tk+l）不是左極大值，此時(shí)，若在（tk+l－1，tk+l）內(nèi)有最大值，用上述方法，對(duì)（17）式進(jìn)行處理得

所以（20）成立。利用上述方法遞推，最后若x（tl）為x（t）的左極大值，推得

若x（ts）不是x（t）的左極大值，則x（t）在（cwi-1，ts）內(nèi)最大值為，用上面證x（t）有界方法對(duì)（16）式處理得（20），從而

得（20）式。用相似方法討論xi，可得

k→∞

定理1假設(shè)（2）成立，且有

則方程（1）的每個(gè)振動(dòng)解都趨于零。

由引理1，引理2直接得出.

定理2假設(shè)（2）成立，且有

則方程（2）的每個(gè)振動(dòng)解都趨于零。

取ε＞0，使a（1+ε）2＜1，又由（26），?整數(shù)N，當(dāng)n＞N，?m＞0，使，取T=max{ T1，tN}，記T0=min{ t≥T，x（t）=0}，反設(shè)x（t）無界，則存在c＞T0，使t≤T0時(shí)，，不妨設(shè)x（c+）＞0，用引理2中同樣的方法得

若x（c）為x（t）的左極大值，則x（c）＞0，x′（c）≥0，從而存在ξ∈（c-τ，c），使x（ξ）=0，對(duì)（9）從ξ到c積分得，若x（c）不是x（t）的左極大值，若x（tk+l）不是x（t）的左極大值，不妨設(shè)

用引理（2）的方法可得x（c）≤a（1+ε）x（c+）.另一方面用引理（2）中方法可得，x（c）≤a（1+ε）2x（c+），若x（c）=x（c+），綜上有a（1+ε）≥1或a（1+ε）2≥1，均矛盾，故x（t）有界。

這樣令lim supx（t）=v，lim infx（t）=u，-∞＜u≤0≤v＜+∞，同樣可得（14），（16），所以有

令i→∞，ε→0，得v≤-au，u≤-av，于是v≤-a2u.若v≠0，則a2≥1，矛盾，故v＝0，從而u＝0，所以

下面定理也可以得出一樣的結(jié)論：定理3假設(shè)（2）成立，且有

則方程（1）的每個(gè)非振動(dòng)解都趨于零。

定理4假設(shè)（2）成立，且有

則方程（1）的每個(gè)非振動(dòng)解都趨于零。

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Abstract:In this article,we discuss the global attractivity of differential equations with impulses and delays,and some results are derived.

Key words:differential equations；delay；impulse；global attractivity

責(zé)任編輯：宏彬

THE GLOBAL ATTRACTIVITY OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH IMPULSES AND DELAYS

CHEN Pan-feng
（Department of computer SuzhouCollege,SuzhouAnhui234000）

O175

A

1672－2868（2010）03－0016－07

2010－02-25

安徽省教育廳項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：KJ2009B279Z），宿州學(xué)院2008年校級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：szxyjy200802）。

陳攀峰（1977-），女，安徽宿州人。碩士，講師，研究方向：泛函分析。