一個代數(shù)與幾何證明實例

張立溥 徐光輝

（浙江林學院理學院，浙江臨安 311300）

高等代數(shù)和解析幾何作為信息與計算科學專業(yè)的兩門主要的基礎課，其重要性是毋庸置疑的。在國內的重點大學以及一些具有悠久數(shù)學傳統(tǒng)的高校中，信息與計算科學專業(yè)基本上都是按照以前的計算數(shù)學模式來進行教學，這兩門課程都是沿襲著傳統(tǒng)的設置，按照兩門課程來進行教學。

隨著高等教育的發(fā)展，針對一些普通院校，尤其是數(shù)學專業(yè)設立不久的院校來說，信息與計算科學專業(yè)都是在逐步的完善和發(fā)展，針對這兩門基礎課都相繼開始了針對性的改革。部分重點院校已經在自身原有的基礎上進行了創(chuàng)新和改革，比如華東師范大學，成都電子科技大學等都已經把這兩門課程進行了整合。但是針對林業(yè)院校的專業(yè)設置，以及招生的學生特點，全部照搬重點大學的課程改革是不符合真實情況的，因此如何在浙江林學院的信息與計算科學專業(yè)中對這兩門課程進行整合時需要進一步研究的。

1 一個規(guī)劃模型

考慮如下模型的最優(yōu)解：

其中 A 是m×n 矩陣，秩為 m，C，x 屬于Rn，b 屬于Rm

上述問題稱為線性規(guī)劃問題，求解這類問題我們可以用著名的障礙函數(shù)法。首先我們構造一個對數(shù)障礙函數(shù)，原模型轉化為：

在求解之前，我們先引出一個引理：

引理1 ［2 ］（Kuhn－Tucher 條件，簡稱 KKT條件）

對于模型

若f，gi，hj均可微且▽gi（x*），i ∈｛i｜gi（x*）＝0｝，▽hj（x*），j ＝1 ，2 ，…l 線性無關，則x*為模型最優(yōu)解的必要條件為：存在相應的λ*和μ*使

下面我們來推導優(yōu)化模型（2）的KKT條件，即最優(yōu)解x*所滿足的條件。由優(yōu)化模型（2），f（x）的梯度為 ▽f（x）＝C－μx－1，其 Hessian 矩陣為 Hess（x）＝μx－2，很明顯，Hessian 矩陣對于任何x∈Rn都是正定的，因此f（x）在Rn上是嚴格凸函數(shù)。

2 代數(shù)與幾何證明

為方便推導，我們先引出幾個代數(shù)定理：

引理2［4］f：D→R 為一個可微函數(shù)，D?Rn是開集，C 為D 的一個開凸子集，f 在C 上為凸函數(shù)，L 為包含C 的子空間，則x*∈C 為極小值點當且僅當▽f（x*）⊥L.

下面我們綜合應用基本的解析幾何知識和高等代數(shù)知識來求解優(yōu)化模型（1）。

引理3［3］線性空間

定理1 對于優(yōu)化模型（2），在最優(yōu)點處滿足，c－μx－1⊥LN（A），這里 N（A）為矩陣 A 的核空間。

證明：由優(yōu)化模型（2）和引理1 ，引理2 得

▽f（x）⊥ ｛x｜Ax ＝b｝

∵｛x｜Ax ＝b｝平行N（A）＝ ｛x｜Ax ＝0｝

∴▽f（x）⊥N（A）

即c －μx－1⊥ N（A）

證畢

定理2：矩陣A的行所組成的空間與A 的核空間是正交的。

證明A的行所組成的空間可以表示為：

ATy，y ∈Rm，m 為A 的行數(shù)

∵（ATy）Tx ＝y(tǒng)TAx，Ax ＝0

∴ATy ⊥N（A）證畢

由定理1 、2 可得?y′，有C－μx－1＝ATy′，令s ＝μx－1即xs ＝μe，整理得到：以上條件便是模型（1）的KKT 條件。該條件指出，對應每一個 μ，都可得到一組 x（μ），y（μ），s（μ），當μ→0時，x（μ）→x*，y（μ）→y*，s（μ）→s*。

因此可以得到最優(yōu)解x*處的K－K－T條件：

3 結 語

上述K－T－T條件的推導過程用到了高等代數(shù)的矩陣、線性空間的基本知識。由上述推導過程可以看出，我們綜合應用高等代數(shù)、解析幾何的相關知識去求解一個優(yōu)化模型，可以相對簡單的得到K－K－T條件，從本質上看，高等代數(shù)的線性空間其實是解析幾何空間的推廣，從一維推廣到多維，甚至是無限維，但是其本質沒有發(fā)生根本改變。解析幾何是以高等代數(shù)為主要工具的幾何學，解析幾何又反過來為高等代數(shù)提供了幾何背景，促進高等代數(shù)的發(fā)展。因此，將兩者融合起來教學具有重要意義。

1 北京大學幾何與代數(shù)小組編.高等代數(shù)［M］（第二版）.高等教育出版社，1991.

2 丘維聲.高等代數(shù)（上、下）［M］.高等教育出版社，1996.

3 呂林根 許子道.解析幾何［M］.高等教育出版社，2001 年（第3 版）.

4 施光燕 錢偉懿 龐麗萍.最優(yōu)化方法［M］.高等教育出版社，2007 年

5 C Roos ，T Terlaky，JP Vial ，Theory and Algorithms for Linear Optimization：An interior point approach，1997 ，Wiley