數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的路徑研究
——以北師大版一年級(jí)下冊(cè)“百數(shù)表”活動(dòng)設(shè)計(jì)為例

●李雪梅，吳美樞，劉宏

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022版）明確指出，“學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生在完成課程階段性學(xué)習(xí)后的學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)，反映核心素養(yǎng)要求”，同時(shí)指出，“數(shù)學(xué)課程要從以下三個(gè)方面注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。數(shù)學(xué)的眼光就是要引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地看，能進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)的思維就是要引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地想，能進(jìn)行數(shù)學(xué)推理；數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是要引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地說(shuō)，能進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

一、建構(gòu)百數(shù)表，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化知識(shí)

對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生而言，1～100的數(shù)相對(duì)較多，學(xué)生不易直接觀察出其中蘊(yùn)含的規(guī)律，他們的數(shù)感和發(fā)現(xiàn)、總結(jié)能力相對(duì)薄弱。據(jù)此，我們需要引導(dǎo)學(xué)生井然有序地構(gòu)建百數(shù)表，不斷豐富深化對(duì)100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)。

（一）引導(dǎo)學(xué)生回頭看，產(chǎn)生整理百數(shù)的動(dòng)機(jī)

師：我們學(xué)習(xí)了1～100這么多的數(shù)，如果要把這100個(gè)數(shù)放在一起整理，你想怎么放呢？

生1:把這100個(gè)數(shù)挨著放。

師：挨著放是怎樣放？

生2：100就是10個(gè)十，我們可以分成十排，每排放10個(gè)數(shù)字。

師：對(duì)呀，可以把這100個(gè)數(shù)分分類，有序地放，就像我們之前做加法表（圖1）、減法表（圖2）一樣，通過(guò)一表就能讀懂100個(gè)數(shù)，那多好啊！

圖1

圖2

（二）啟發(fā)學(xué)生觀察，初步建構(gòu)百數(shù)表

師：你們能把這100個(gè)數(shù)有序地放進(jìn)這個(gè)正方形格子里嗎？

學(xué)生借助教材32頁(yè)填寫(xiě)表格（圖3），并相互說(shuō)一說(shuō)為什么要這樣填。（填表的理由就是接下來(lái)要分析和分享的百數(shù)表中的一些規(guī)律）

圖3

本環(huán)節(jié)通過(guò)遷移以前學(xué)習(xí)加法表、減法表的整理知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生由整理100個(gè)數(shù)想到10個(gè)10表格的認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和結(jié)構(gòu)化意識(shí)。學(xué)生能夠把個(gè)別的、零散的知識(shí)構(gòu)建成一個(gè)整體，并以結(jié)構(gòu)化的形式展現(xiàn)，這不僅是技能的提升，更是素養(yǎng)的發(fā)展。之前在認(rèn)識(shí)100以內(nèi)數(shù)的過(guò)程中，數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系表現(xiàn)得比較隱蔽，像是一條暗線，而今通過(guò)整理在百數(shù)表，讓暗線呼之欲出，為第二環(huán)節(jié)多維度發(fā)現(xiàn)百數(shù)表中的規(guī)律埋下伏筆。

二、解構(gòu)百數(shù)表，培養(yǎng)學(xué)生多角度觀察的推理意識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022版）著重強(qiáng)調(diào)了核心素養(yǎng)中的推理意識(shí)，明確推理意識(shí)是指“對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感知”。教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的交流與表達(dá)能力，這是推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

（一）整體感知，多角度尋找規(guī)律

師:回憶我們研究加減法表的方法，同學(xué)們可以怎么去觀察這張百數(shù)表呢？

生:可以橫著、豎著、斜著去觀察。

數(shù)感不僅體現(xiàn)為對(duì)一個(gè)數(shù)的感悟，還體現(xiàn)為對(duì)多個(gè)數(shù)之間聯(lián)系或者規(guī)律的一種敏感度，也就是會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)。

（二）數(shù)形結(jié)合，探究規(guī)律

師:選擇你喜歡的一個(gè)角度，仔細(xì)觀察：有什么規(guī)律？再想一想，為什么會(huì)有這樣的規(guī)律？

通過(guò)學(xué)生的匯報(bào)整理，主要有以下三種觀察結(jié)果：

1.橫著看：每行（認(rèn)識(shí)行）有10個(gè)數(shù)，有10行。從左往右看，相鄰兩數(shù)之間依次多一；再?gòu)挠彝罂?，依次?。

2.豎著看：每列（認(rèn)識(shí)列）有10個(gè)數(shù)，有10列。從上往下看，一列中相鄰兩個(gè)數(shù)下面一個(gè)數(shù)比上面數(shù)大10；再?gòu)南峦峡?，依次?0。

3.斜著看：從左上角往右下角斜著看，相鄰兩個(gè)數(shù)相差11；從右上角往左下角斜著看，相鄰兩個(gè)數(shù)之間相差9。

（三）滲透坐標(biāo)，分析規(guī)律

師：剛才我們通過(guò)橫著、豎著、斜著這些不同的角度觀察，找到了百數(shù)表的一些規(guī)律。再來(lái)仔細(xì)觀察百數(shù)表的數(shù)和他們的位置，你又有什么新發(fā)現(xiàn)？

1.豎著看：列數(shù)與個(gè)位上的數(shù)是一樣的。

師:真有一雙會(huì)觀察的亮眼睛，第一列的數(shù)個(gè)位上都是1。那請(qǐng)你們思考一下，10在第幾列呢？20呢？39呢？

2.橫著看：個(gè)位對(duì)應(yīng)每一列，哪行有沒(méi)有這樣的特點(diǎn)呢？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：十位上的數(shù)比行數(shù)少1。11十位上是1在第二行。進(jìn)而思考：為什么會(huì)有這樣的規(guī)律？

生：因?yàn)榈谝恍惺且晃粩?shù)沒(méi)有十位，所以十位上的數(shù)會(huì)比行數(shù)少一?？墒亲詈笠涣械臄?shù)字十位和行是對(duì)應(yīng)著的，因?yàn)闈M十進(jìn)一了。

（四）推理找數(shù)，運(yùn)用規(guī)律

創(chuàng)設(shè)情境把百數(shù)表里的一些數(shù)隱藏起來(lái)，任意說(shuō)一個(gè)數(shù)請(qǐng)學(xué)生在百數(shù)表中找到它，并說(shuō)說(shuō)是怎樣找到的，說(shuō)理的過(guò)程就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題的過(guò)程。

1.在百數(shù)表中你知道54在哪個(gè)位置嗎？你是怎樣找到的？

2.找到了54，你能推理出哪些與54有關(guān)的數(shù)，是怎樣推理的？

（五）分類找數(shù)，再造規(guī)律

師：現(xiàn)在攝影師讓它們變了下隊(duì)形（圖4），請(qǐng)觀察它們是怎樣分類的。

1.按單、雙數(shù)分類。

2.把百數(shù)表分成一位數(shù)、兩位數(shù)和三位數(shù)，再根據(jù)它們的位置推理出最小和最大的一位數(shù)、最小和最大的兩位數(shù)以及最小的三位數(shù)。

不同的角度看到的是不一樣的規(guī)律，也能感受多角度觀察的魅力?；跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我們可以橫、豎、斜著去觀察，即是一個(gè)對(duì)百數(shù)表解構(gòu)的過(guò)程。尤其是觀察時(shí)學(xué)生能從個(gè)位以及十位上分析數(shù)的變化，并能經(jīng)過(guò)教師引導(dǎo)根據(jù)個(gè)位、十位的變化推理出數(shù)的規(guī)律。在觀察得出百數(shù)表橫、豎、斜的規(guī)律后，引出“橫行豎列”的說(shuō)法，并引導(dǎo)孩子們探索行數(shù)、列數(shù)與數(shù)位上數(shù)的關(guān)系。學(xué)生將百數(shù)表解構(gòu)，多角度去觀察整合并結(jié)構(gòu)化百以內(nèi)的數(shù)，即能從部分規(guī)律推導(dǎo)到整體規(guī)律，充分培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)。

三、重構(gòu)百數(shù)表，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022版）指出，創(chuàng)新意識(shí)主要是指“主動(dòng)嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題……”數(shù)學(xué)課堂是思維流動(dòng)的課堂,創(chuàng)新的思維流動(dòng)是課堂教學(xué)成功的關(guān)鍵。教師要營(yíng)造思維場(chǎng)，通過(guò)思維場(chǎng)去啟發(fā)、撞擊、催生學(xué)生高階思維的發(fā)展。

經(jīng)過(guò)建構(gòu)與解構(gòu)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)百數(shù)表的認(rèn)識(shí)愈加清晰，百數(shù)表的模型已深刻建立。這時(shí)我們就可以適當(dāng)打破模型，或者說(shuō)跳出模型，對(duì)百數(shù)表進(jìn)行重新建構(gòu)，讓學(xué)生看到簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的百數(shù)表經(jīng)過(guò)創(chuàng)新后的更多可能，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)思維的奧妙。

質(zhì)疑：百數(shù)表還可能長(zhǎng)成別的樣子嗎？

1.嘗試：把1～100放進(jìn)下面的方格里，還可以怎么放？請(qǐng)你先想一想這樣放有什么規(guī)律，再創(chuàng)造屬于自己的“百數(shù)表”。

2.分享：說(shuō)說(shuō)你創(chuàng)造了什么樣的百數(shù)表，你是怎樣想到要這樣做百數(shù)表的？

以下是我們教學(xué)中一個(gè)班級(jí)學(xué)生創(chuàng)造的百數(shù)表以及創(chuàng)造人數(shù)的比例（圖4－圖7）和主要想法。

圖4 （占比約48%）

圖5 （占比約26%）

圖6 （占比約14%）

圖7 (占比約8%)

學(xué)生想法：我想到了加法倒過(guò)來(lái)就是減法，所以就想到把百數(shù)表也給倒過(guò)來(lái)。在觀察規(guī)律的時(shí)候可以橫著、豎著、斜著觀察，于是我想到了可以橫著倒過(guò)來(lái)，也可以豎著倒過(guò)來(lái)，還可以橫著豎著都倒過(guò)來(lái)。

還有的學(xué)生說(shuō)：百數(shù)表是橫著寫(xiě)的，所以我想到百數(shù)表可以豎著寫(xiě)。

學(xué)生想法：我想到1～100的數(shù)字里面有單數(shù)有雙數(shù)，所以我就想把百數(shù)表按單數(shù)和雙數(shù)放，先放單數(shù)，再放雙數(shù)，可以橫著放也可以豎著放。

學(xué)生想法：我覺(jué)得百數(shù)表里的數(shù)有些離得太遠(yuǎn)了，于是我就想到了把百數(shù)表里的數(shù)接著寫(xiě)下去。我們數(shù)數(shù)的時(shí)候會(huì)順著數(shù)也會(huì)倒著數(shù)，于是我想到了把這些數(shù)倒著寫(xiě)下來(lái)。

學(xué)生想法：我是這樣想的，把大的數(shù)字放在里面，把小的數(shù)字放到外面。就像一個(gè)卷，越卷越大。我想到這個(gè)百數(shù)表是正方形的，于是我想到了創(chuàng)造一個(gè)圓形的百數(shù)表。

（有4%的學(xué)生，有的寫(xiě)錯(cuò)了，有的暫時(shí)說(shuō)不清楚有什么規(guī)律）

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“若無(wú)某種大膽放肆的猜想，一般是不可能有知識(shí)進(jìn)展的?！庇捎趯W(xué)生在重構(gòu)百數(shù)表時(shí)通過(guò)獨(dú)立探究思考，在頭腦中、在筆尖上真正地經(jīng)歷了創(chuàng)造，從而在這小小的100個(gè)格子里打破了原有模型限制，發(fā)散出了無(wú)限的創(chuàng)造力。

通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)有的孩子在創(chuàng)造自己的百數(shù)表時(shí)并不順利。但是，重構(gòu)的過(guò)程中孩子們能夠跳出原有模型，用求異思維，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，歷經(jīng)推理、創(chuàng)新的過(guò)程，在一定規(guī)則的基礎(chǔ)上建構(gòu)自己的百數(shù)表，這樣真實(shí)開(kāi)放的學(xué)習(xí)過(guò)程才能滋養(yǎng)孩子們創(chuàng)新思維的生長(zhǎng)。

3.評(píng)價(jià)：對(duì)比你創(chuàng)造的百數(shù)表，選一個(gè)同學(xué)創(chuàng)造的百數(shù)表說(shuō)一說(shuō)你們有什么相同和不同的地方。

4.變式:分享變形的數(shù)軸百數(shù)表（圖8），進(jìn)一步打破方形百數(shù)表的思維定式。

圖8

師：瞧，還可以把這些數(shù)排成一行！

（1）你現(xiàn)在還能找出54在哪里嗎？

（2）大于60的數(shù)應(yīng)該站哪邊呢？小于60的數(shù)呢？

（3）101應(yīng)該在哪呢？110呢？200呢？你還可以在數(shù)線圖上找到哪些數(shù)呢？

杭州師范大學(xué)張華教授曾說(shuō)，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷真實(shí)的探究、創(chuàng)造、協(xié)作與問(wèn)題解決，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，將知識(shí)創(chuàng)造過(guò)程變成教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生人人成為創(chuàng)客。如何讓學(xué)生在解構(gòu)常規(guī)百數(shù)表后不受這個(gè)思維定式的影響，想到百數(shù)表的更多可能？此環(huán)節(jié)為學(xué)生提供了自主創(chuàng)造“百數(shù)表”的場(chǎng)域，讓孩子創(chuàng)新的思維多飛一會(huì)兒，創(chuàng)造出屬于自己的百數(shù)表，進(jìn)一步感受創(chuàng)新的挑戰(zhàn)和樂(lè)趣，真正體味到數(shù)學(xué)的奧妙和魅力。同時(shí)以變形的“數(shù)線百數(shù)表”為媒介,指引學(xué)生把整十?dāng)?shù)和直線上的點(diǎn)構(gòu)建一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，有助于學(xué)生直觀體會(huì)數(shù)的順序;在數(shù)線上找出54，這一過(guò)程對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)十分重要，數(shù)感較差的學(xué)生可以借助數(shù)線推理培養(yǎng)數(shù)感；以小于60和大于60的數(shù)分別站在哪邊為思考展開(kāi)討論，則進(jìn)一步加深了孩子們對(duì)數(shù)的大小關(guān)系和位置關(guān)系的感受；讓學(xué)生尋找101（110,200等數(shù)）分別應(yīng)該在哪里，更是引導(dǎo)學(xué)生由看得到的數(shù)線推理出暫時(shí)看不見(jiàn)的無(wú)限數(shù)，不僅體會(huì)到“數(shù)的相對(duì)大小與數(shù)的位置之間的關(guān)系”，還感受到“數(shù)的無(wú)限性”。這樣的課堂既有知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，更有知識(shí)的“延伸點(diǎn)”，有助于學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感和推理意識(shí)。