基于第二代小波的增強(qiáng)邊緣的圖像去噪

林祥云，馬俊，趙慧娟

基于第二代小波的增強(qiáng)邊緣的圖像去噪

林祥云，馬俊*，趙慧娟

（武漢科技學(xué)院 理學(xué)院，湖北 武漢 430073）

傳統(tǒng)的一些去噪技術(shù)往往是以犧牲圖像的邊緣和細(xì)節(jié)為代價的。為了去掉圖像的噪聲,同時又能夠很好地保留圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)，在介紹第二代小波變換的原理的基礎(chǔ)上，提出使用邊緣檢測的方法檢測出圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)，將它和該圖像進(jìn)行融合，用第二代小波對含噪圖像進(jìn)行分解, 對圖像高頻進(jìn)行自適應(yīng)去噪。由于圖像在去噪前融合了邊緣信息,因此邊緣和細(xì)節(jié)部分得到了增強(qiáng)。仿真結(jié)果表明：該去噪方法優(yōu)于傳統(tǒng)小波閾值去噪方法。

第二代小波變換；邊緣增強(qiáng)；圖像去噪

1 引言

隨著小波理論的日益完善，它以自身良好的時頻特性在圖像降噪領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，但在實(shí)際應(yīng)用過程中，傳統(tǒng)小波變換存在計(jì)算量大、存儲空間消耗大以及浮點(diǎn)計(jì)算的缺點(diǎn)[1]。為此，1994年Sweldens提出了一種不依賴于傅立葉變換的新的小波構(gòu)造方法——提升方法，基于提升方法的小波變換稱為第二代小波變換（Second Generation Wavelet）[2,3]。提升方法可以不依賴傅立葉變換而直接在空域完成計(jì)算、原位計(jì)算(不需要額外存儲空間) 、易實(shí)現(xiàn)整數(shù)到整數(shù)的變換以及計(jì)算量更小的特點(diǎn)[4]，成為小波研究與應(yīng)用領(lǐng)域的新熱點(diǎn)。

傳統(tǒng)的小波去噪方法雖然將去噪的技術(shù)引入到頻域，并且在去噪的過程中一定程度上保留了大的高頻系數(shù)，但是那些偏小的邊緣和紋理的小波系數(shù)還是被縮減甚至去掉了，因此無法很好地保持邊緣和細(xì)節(jié)。

本文利用第二代小波變換特性，尋求一種既能夠去掉圖像的噪聲，同時又能夠保留圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)的方法。為了達(dá)到這個目的，考慮到在去噪之前首先用邊緣檢測的方法檢測出含噪圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)，將它和含噪圖像以一定的比例進(jìn)行融合，再用第二代小波變換對融合后的圖像進(jìn)行分解, 對圖像高頻進(jìn)行自適應(yīng)去噪處理，最后將閾值化后的小波系數(shù)重構(gòu)，得到去噪后的圖像。

2 第二代小波變換原理

提升方法給出了雙正交小波簡單而有效的構(gòu)造方法，使用了基本的多項(xiàng)式插補(bǔ)來獲取信號的高頻分量，之后通過構(gòu)建尺度函數(shù)來獲取信號的低頻分量。提升方法的基本思想是,將現(xiàn)有的小波濾波器分解成基本的構(gòu)造模塊,分步驟完成小波變換。1998年, Daubechies 和Sweldens 證明了任何離散小波都可以用提升方案[5]來實(shí)現(xiàn)，提升方法把小波變換過程分為以下3 個階段[6,7]。

①分裂。將輸入信號sj, 分裂成為兩個互不相交的子集sj?1和dj?1，常用的算法是將輸入信號按奇偶分成兩個子集，

②預(yù)測。針對數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，可用sj?1的預(yù)測值 p( sj?1)去預(yù)測奇數(shù)序列dj?1，即將濾波器p對偶信號作用以后作為奇信號的預(yù)測值，奇信號的的實(shí)際值與預(yù)測值相減得到殘差信號。若用子集dj?1與預(yù)測值 p( sj?1)的差值去代替dj?1，則此差值反映了兩者的逼近程度。如果預(yù)測是合理的，則差值數(shù)據(jù)集所包含的信息比原始子集dj?1包含的信息要少得多。預(yù)測過程的表達(dá)式:

③更新。由于分解成子集，原來集合的一些特征丟失，通過更新使子集的數(shù)據(jù)和原來集合的數(shù)據(jù)保持相同的特征。也就是通過算子U 產(chǎn)生一個更好的子數(shù)據(jù)集sj?1，使之保持原數(shù)據(jù)集sj,的一些特性。sj?1的表達(dá)式:

小波提升是一個完全可逆的過程，重構(gòu)數(shù)據(jù)時的提升公式與分解公式相同，改變計(jì)算次序和符號就可以了。

其中Merge是合并的意思，是將分裂后的子集sj?1和 dj?1重構(gòu)成初始信號sj。

3 基于第二代小波的圖像去噪

3.1 去噪模型建立

假設(shè)T( i, j)為含噪的圖像，可以表示成一個M× N的矩陣：

式中F( i, j)原圖像，e( i, j)為平穩(wěn)的零均值白噪聲。

3.2 增強(qiáng)邊緣信息

去噪和邊緣細(xì)節(jié)的保留是圖像去噪存在的兩個問題。去噪的目的是消除噪聲尤其是那些存在于高頻的噪聲，但是圖像的細(xì)節(jié)也處于信號的高頻部分。傳統(tǒng)的去噪技術(shù)如wiener 濾波等時域?yàn)V波的去噪都是以犧牲圖像的邊緣和細(xì)節(jié)為代價的[8]，為了在去噪的同時較好的保留圖像邊緣信息,本文在去噪前對圖像做了邊緣增強(qiáng)工作。

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映圖像灰度變化的顯著程度，一階導(dǎo)數(shù)的局部極大值和二階導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)都是圖像灰度變化極大地方。因此可將這些導(dǎo)數(shù)值作為相應(yīng)點(diǎn)的邊界強(qiáng)度，通過設(shè)置門限的方法，提取邊緣。

Soberts算子是一種利用局部差分算子尋找邊緣的算子，它對灰度漸變和噪聲較多的圖像處理較好[13]。

利用soberts邊緣檢測算子，檢測出含噪圖像的邊緣G( i, j)，并對G( i, j)和含噪圖像T( i, j)作小波變換，得到它們的小波變換系數(shù) Wg( i, j)和 Wt( i, j)，然后將 Wg( i, j)和 Wt( i, j)進(jìn)行融合，為了避免邊緣的過分增強(qiáng)，加入調(diào)整系數(shù)k，

其中N(i,j)為融合后的小波系數(shù)，由N( i, j)重構(gòu)得到增強(qiáng)邊緣的含噪圖像N*(i, j)，利用第二代小波變換對進(jìn)行閾值去噪。

3.3 圖像去噪

利用第二代小波對二維圖像進(jìn)行n層的分解，最終將有(3n+1)個不同頻帶，其中包含3n個高頻帶和一個低頻。含噪圖像經(jīng)小波多尺度分解后，噪聲能量主要分布在各階高頻子帶中，且在低階小波系數(shù)中，噪聲能量占有較高的比重，并隨著小波變換級數(shù)的增長而減小，所以在各階高頻子帶中選用適當(dāng)?shù)拈撝祦頌V除噪聲[9]。

由于傳統(tǒng)的軟閾值去噪使用的是單一閾值對小波系數(shù)進(jìn)行處理，因此各個不同尺度的小波系數(shù)使用的是同樣的閾值，但是單一的閾值函數(shù)不能在每級尺度上將信號與噪聲做很好的分離。所以，為了達(dá)到更好的去噪效果，針對不同的高頻的小波系數(shù)本文用ddencmp函數(shù)計(jì)算相應(yīng)的默認(rèn)閾值[1], 用閾值化后的小波系數(shù)重構(gòu)，得到去噪后的圖像。

4 試驗(yàn)及仿真結(jié)果分析

對Matlab7.5系統(tǒng)中的woman和cameraman圖像加入均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為18的高斯白噪聲，選用sym4小波基函數(shù)，根據(jù)提升方法得到二代小波（提升sym4小波），用本文提出的方法和傳統(tǒng)小波閾值去噪方法進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)。且采用峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE）對去噪結(jié)果進(jìn)行對比和分析[14-16]。

式中，M和N分別為對應(yīng)圖像的行數(shù)和列數(shù)； F( i, j)和Y( i, j)分別為原圖像和去噪像。實(shí)驗(yàn)步驟如下：

①采用soberts算子，調(diào)用MATLAB系統(tǒng)中的edge()函數(shù)提取邊緣G( i, j)，如圖1所示。

②選擇sym4小波，由提升方法得到二代小波，對二維含噪圖像T(i,j)和它的邊緣G( i, j)進(jìn)行小波分解，得到小波系 Wt( i, j) 和 Wg( i, j)。

③將小波系數(shù) Wg( i, j) 和 Wt( i, j)，按（7）式融合。然后重構(gòu)得到邊緣增強(qiáng)的含噪圖像 N *(i, j)。

④對增強(qiáng)邊緣的含噪圖像 N *(i, j)進(jìn)行2層小波分解，得到第一層和第二層的水平高頻系數(shù)、垂直高頻系數(shù)和對角高頻系數(shù)，然后用ddencmp函數(shù)計(jì)算各個高頻的默認(rèn)閾值，并對各個高頻閾值化處理。

⑤利用處理后的小波系數(shù)，進(jìn)行反變換得到去噪后的圖像，并對去噪結(jié)果進(jìn)行數(shù)值評價。

從圖2 來看, 本文提出的去噪方法使去噪后的圖像紋理更清晰，圖像主觀效果更好。

采用本文方法去噪和傳統(tǒng)小波閾值去噪所得的均方誤差和峰值信噪比如表1所示，從表1中可以看出采用本文方法進(jìn)行圖像消噪所得的圖像的均方差更小，峰值信噪比更大,也說明去噪效果更好。

圖1 圖像邊緣

5 結(jié)束語

為了更好的保護(hù)圖像的邊緣和紋理，本文結(jié)合第二代小波變換的優(yōu)越性在去噪前首先作了邊緣增強(qiáng)工作。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法不僅降低了均方誤差，提高了圖像的PSNR的性能，對圖像噪聲進(jìn)行了較好的抑制，而且更好的保持了圖像的邊緣和紋理特性。

[1] 張德豐. MATLAB小波分析[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版,2009：206-209.

[2] Wim Sweldens. The lifting scheme: a construction of second generation wavelets[J].SIAMJ MathAnal, 1997, 29(2): 511-546.

[3] Donoho D L. De-noising by soft-thresholding[J]. IEEE Transactions on Information Theory,1995 ,41(3): 613-627.

[4] Donoho D L, Johnstone I M. Ideal spatial adaptation viawavelet shrinkage[J]. Biomerika, 1994,81(4): 425-455.

[5] Daubexhies I, Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps[J]. JFourierAna l, 1994, 4(3): 245-267.

[6] Sweldens W. The lifting scheme: A construction of second generation wavelets[J].SIAM Journal on Mathematical Anal ysis ,1997,29(2):511-546.

[7] 葛哲學(xué),沙威.小波分析理論與MATLAB R2007實(shí)現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007：375-380.

[8] 胡昌華,張軍波,夏軍,等.基于 MATLAB 的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)——小波分析[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,1999：226-230.

[9] 李杏梅，陳亮，嚴(yán)國萍.基于自適應(yīng)軟閾值和邊緣增強(qiáng)的圖像去噪[J].電子測量技術(shù)，2008，31(7): 4-6.

[10] Donoho D L. De-noisingby soft-thresholding[J].IEEE Trans on Inform Theory, 1995,41(3): 613-627.

[11] CHANG S G, YU B , Vetterli M. Adaptive wavelet thre sholding for image denoising and compression [J]. IEEE Transactions on Image Processing,2000,9 (9): 1532-1546.

[12] 王愛玲，葉明生，鄧秋香. MATLAB R2007圖像處理技術(shù)與應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008：116-169

[13] 董楠,蔣本和,徐福澤.基于第二代小波變換的圖像除噪[J].煙臺大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)與工程版, 2007，20(1): 4.

[14] 劉菁.小波分析在織物起毛起球客觀評級中的應(yīng)用[J].武漢科技學(xué)院, 2009, 22(4):7-10.

[15] Donoho D L，Johnstone I M. Wavelet shrinkage asympot[J].Pia journal of royal sattistical soeieyt，1995.57(2):301-369.

[16] 楊占英. 關(guān)于Meyer型小波的一個注記[J].武漢科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, 22(4): 32-34.

Image Denoising Using Enhanced Edge Information Method Based on Second Generation Wavelet

LIN Xiang-Yun, MA Jun, ZHAO Hui-Juan
(College of Science, Wuhan University of Science and Engineering , Wuhan 430073, China)

The traditional denosing methods are often applied at the cost of sacrificing the edge and texture detail of the images. In order to denose and retain the edge and textile detail of the image, this paper proposes a method of enhanced edge information based on the principle of second generation wavelet. First, use the edge detection method to detect the edge and texture detail of the image. Second, fuse the image and its edge and texture detail in order to enhance the parts of edge and texture detail. And then, decompose the fused image by second generation wavelet. Last, make the adaptive threshold denoising for the high frequency of the fused image. The simulation shows that the edge and texture detail of fused image has been enhanced. Comparing to the traditional wavelet threshold denosing method, the method proposed in this paper is much better in improving the visual effects and signal-to-noise.

second generation wavelet transform; edge enhancement; image denoising

TP391

A

1009－5160(2010)01－0028－04

*通訊作者：馬?。?963-），男，教授，研究方向：小波分析的理論及應(yīng)用.基金項(xiàng)目：武漢科技學(xué)院院基金（20073201）.