波浪在緩變海底上傳播的一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型

彭延建，劉應(yīng)中，時(shí)鐘

（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 港口與海岸工程系，上海 200030）

波浪在緩變海底上傳播的一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型

彭延建，劉應(yīng)中，時(shí)鐘

（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 港口與海岸工程系，上海 200030）

基于Liu和Shi（2008）的波浪勢(shì)函數(shù)零階、一階近似解，采用四階龍格-庫(kù)塔法，對(duì)緩變海底上一維波浪傳播理論模型進(jìn)行了數(shù)值求解，并對(duì)波浪在定常坡度的斜坡地形、雙曲正切地形為例的傳播、變形進(jìn)行了研究。為了更逼真地描述流體質(zhì)點(diǎn)的波動(dòng)特性，將在Euler坐標(biāo)系下得到的解轉(zhuǎn)換至Lagrange坐標(biāo)下的解，并繪制Lagrange坐標(biāo)下坡度為0.2的海灘上的一個(gè)波周期內(nèi)臨近破碎前的波形的詳細(xì)變化過程。此外，計(jì)算得到了變水深區(qū)域波浪速度勢(shì)以及自由面的分布，并與Athanassoulis and Belibassakis[34]的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，表明本文模型比保留了六個(gè)瞬息項(xiàng)的后者更有效。

波浪傳播；緩變海底；波形；攝動(dòng)

波浪在向近岸傳播的過程中，因?yàn)槭艿胶０兜匦蔚纫蛩氐挠绊?，?huì)發(fā)生淺化、折射與繞射；波況也隨之變化，如：波長(zhǎng)變短、波高先減小后增大、波速變慢、波向也會(huì)趨于與岸線垂直。波浪在緩變海底上傳播的研究，對(duì)物理海洋學(xué)、海岸動(dòng)力學(xué)等有科學(xué)意義，同時(shí)，對(duì)港口航道海岸工程亦有實(shí)踐意義。

對(duì)波浪折射、繞射的研究最初來(lái)源于光學(xué)的啟發(fā)，Penny和Price[1]指出光學(xué)中經(jīng)典的Sommerfeld[2]解也是波浪繞射問題的解。利用反射原理，Lewy[3]得到了波浪在變水深傳播的控制方程和解析解，但是其結(jié)果在近岸處發(fā)生奇異，波幅無(wú)限大，與實(shí)際物理現(xiàn)象不符?；诠鈱W(xué)中的折射理論，Arthur[4]以及Munk和Arthur[5]根據(jù)Fermat原理(Fermat principle)，推導(dǎo)出特征線方程和其常微分方程形式，后來(lái)射線理論成為求解波浪折射的主要方法。自20世紀(jì)1950年代起，波浪的傳播進(jìn)一步引起科學(xué)家和工程師的關(guān)注，得到了一些理論解析解。當(dāng)然，有關(guān)波浪折射與繞射的數(shù)值方法也得到發(fā)展[6-12]。以下簡(jiǎn)要地對(duì)理論解析解的研究做一綜述。

在線性化自由邊界條件下，Eckart[13]提出描述波浪從深水向淺水傳播的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于斜坡地形特例，解出了級(jí)數(shù)形式的解析解。同樣在線性化自由邊界條件下，Peters[14]和Roseau[15]推導(dǎo)得到積分形式的解析解。對(duì)于波浪垂直入射坡度為 的緩坡的問題，Biesel[16]將波浪的勢(shì)函數(shù)以坡度為參數(shù)攝動(dòng)展開，提出一個(gè)一階的勢(shì)函數(shù)的解析解，和波幅變化的表達(dá)式。利用波浪射線理論和波能守恒理論，Battjes[17]推導(dǎo)出波浪在緩坡上傳播的勢(shì)函數(shù)的解析表達(dá)式。對(duì)于等深線平直的情形，Mei和LeMehaute[18]利用WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin approximation)法漸進(jìn)展開，得到波浪勢(shì)函數(shù)的一階解和二階解。對(duì)于不同的波幅水深比，Mei等[19]給出一組擬線性雙曲型方程，描述波浪的繞射。利用攝動(dòng)法，以波陡為攝動(dòng)參數(shù)，Chu和Mei[20]推導(dǎo)得到波浪速度勢(shì)函數(shù)的解析解，此解析解含有坡度的一階參數(shù) ，能夠反映床底坡度對(duì)波動(dòng)解的影響。Liu和Dingemans[21]針對(duì)斜坡底床上的前進(jìn)波列，利用多重尺度法，將水平面上的坐標(biāo)分為快變變量和慢變變量，推導(dǎo)出包含弱非線性及底床坡度效應(yīng)的Ο(ε2)階波動(dòng)勢(shì)函數(shù)的解，此解可以認(rèn)為是對(duì)Chu和Mei[20]的修正。Massel[22]以Galerkin的特征函數(shù)法推導(dǎo)出一個(gè)緩坡方程，其中保留了地形變化的高階量，因此，對(duì)于床底之微小變形造成的反射有良好反應(yīng)?；诰€性自由表面邊界條件，為了反映床底坡度效應(yīng)，Chen等[23]將波動(dòng)場(chǎng)以床底坡度

攝動(dòng)展開，求得包含底床斜坡效應(yīng)的前進(jìn)波勢(shì)函數(shù)的解析解。Chen等[24]通過攝動(dòng)展開求得非線性參數(shù)到3階、坡度到1階的勢(shì)函數(shù)解析解，并轉(zhuǎn)換至Lagrange坐標(biāo)系下。Hsu等[25]將Chen等[23]提出的包含底床斜坡效應(yīng)的前進(jìn)波勢(shì)能函數(shù)的解析解，加以處理后，代入沿水深積分的方程，得到一種新型的補(bǔ)充緩坡方程(complementary mild-slope equation)。

鑒于Biesel[16]沒有給出具體的推導(dǎo)過程，文圣常、余宙文[26]重新推導(dǎo)，給出了一個(gè)級(jí)數(shù)形式的波幅解?；谏渚€理論，李德筠、沈國(guó)光[27]提出了一種解決射線相交的簡(jiǎn)便方法。運(yùn)用水波Hamilton變分原理，黃虎[28]得到一個(gè)近岸不平海底的緩坡方程，其中考慮了水深一般變化的二階效應(yīng)。對(duì)波浪折射繞射問題的研究，大陸學(xué)者多集中于對(duì)緩坡方程和Boussinesq方程的理論改進(jìn)和數(shù)值方法研究[29-32]，對(duì)用理論解析解決波浪折射繞射問題研究可能還是相對(duì)較少。

盡管國(guó)內(nèi)、國(guó)外對(duì)波浪傳播進(jìn)行了大量的研究，但由于波浪傳播本身物理過程的復(fù)雜性，一些基本過程仍需研究和探討?；诰€性波浪理論，利用攝動(dòng)理論中的多重尺度法，以坡度 為小參數(shù)，Liu和Shi[33]推導(dǎo)出波幅方程，以及一階勢(shì)函數(shù)的解析解，但未對(duì)模型實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證。

本文的目的：(1)將Liu和Shi[33]中的理論模型加以實(shí)現(xiàn)；(2)采用此模型描述流體質(zhì)點(diǎn)的波動(dòng)特性，即Lagrange坐標(biāo)下的一個(gè)波周期內(nèi)臨近破碎前的波形的變化過程；(3)通過與文獻(xiàn)Athanassoulis和Belibassakis[34]的結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證本模型的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型

本文的數(shù)學(xué)模型理論部分也可參見Liu和Shi[33]，為了使此中文文稿具完整性，故將Liu和Shi[33]中理論模型在此做簡(jiǎn)要地介紹。以笛卡爾坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)，水平 軸位于靜水面，與岸線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，指向外海，z軸垂直向上，如圖1所示。

圖1 波浪在不平坦底床傳播示意圖及笛卡爾坐標(biāo)系Fig. 1 Sketch of wave propagation over an uneven bottom and the Cartesian coordinate system

數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)基于經(jīng)典的線性波理論和攝動(dòng)理論中的多重尺度法。假設(shè)外海入射波為單色波，無(wú)窮遠(yuǎn)處水深不變，比如z=?h0，h0是常數(shù)。其速度勢(shì)函數(shù)如下：

波浪的相對(duì)頻率 與波數(shù)k0滿足色散關(guān)系式：

假設(shè)底床為緩變海底，|?h|/kh 為一小量 ，即在一個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)，h的變化很小。

1.1 零階近似解

零階解的推導(dǎo)與在常水深條件下的解具有相同的形式，但同樣適用于水深緩變的情況，它的解為：

對(duì)應(yīng)的波面函數(shù)為：

零階解是滿足底部邊界條件的。根據(jù)自由表面邊界條件，得到色散關(guān)系式：

在無(wú)窮遠(yuǎn)處，

可求得每個(gè)水深點(diǎn)的k1和k2。

1.2 一價(jià)近似解

在式(3)中，對(duì)x求偏導(dǎo)：

一階近似解的方程和條件變?yōu)椋?/p>

以上推導(dǎo)中的參數(shù)A、B、C、C0、C1和C2均為關(guān)于水平尺度(x, y)的函數(shù)。假設(shè)一階解的形式為：

將式(11)代入式(10a)，比較等式兩邊的系數(shù)，得到：

容易驗(yàn)證這個(gè)解是滿足底部邊界條件的。結(jié)合色散關(guān)系式，將式(11)代入式(10b),自由表面邊界條件為：

波幅函數(shù)確定后，勢(shì)函數(shù)的解析解也就隨之確定：

波浪場(chǎng)的流速具有以下形式：

自由面的表達(dá)式為：

如果y方向上地形沒有變化，來(lái)波正向入射，波幅的變化是一維的，式(12)變?yōu)椋?/p>

積分后得到：

其中，a0為初始波幅，也即x～→∞時(shí)入射波的波幅。

2 計(jì)算方法

對(duì)于h=x的特殊算例，在物理尺度下實(shí)際是坡度為 的斜坡，波幅的變化已經(jīng)給出顯式解。如果坡度不是常數(shù)的緩坡，波幅方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程，整理后得：

可采用四階龍格-庫(kù)塔 (Runge-Kutta)方法計(jì)算。波幅求出后，勢(shì)函數(shù)、波形等物理量，在1.2節(jié)的推導(dǎo)中，已有顯式的解析解，代入波幅即得到速度勢(shì)和波形。

根據(jù)Mason[35]的試驗(yàn)證實(shí)，由Lagrange坐標(biāo)系表示的波形能夠更好地保持波動(dòng)的真實(shí)性。為了采用本模型盡可能更好地保持波形的真實(shí)性，將以上方程求得的波形解轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)agrange坐標(biāo)系下的解。下面將本文的解轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)agrange坐標(biāo)系的解。根據(jù)u, w的表達(dá)式，求得起始位置在(x, y)處的流體質(zhì)點(diǎn)水平方向和垂直方向位移(X, Z)分別為：

Lagrange坐標(biāo)系的波形函數(shù)如下所示：

3 結(jié)果與討論

對(duì)于坡度為常數(shù)的情形，采用本文方法所得的波幅，即式(16)，與Biesel[16]的結(jié)果在形式上是相同的，所以本文模型包含了Biesel[16]的解。圖2為L(zhǎng)agrange坐標(biāo)系下波浪入射到斜坡時(shí)，一個(gè)波周期內(nèi)波形連續(xù)變化的過程。起始的時(shí)間為t=0，連續(xù)兩個(gè)相位之間的時(shí)間差為T/8。由圖2中可以看出，波浪傳播到海岸時(shí)，波浪尾部逐漸拉長(zhǎng)，有變平滑的趨勢(shì)，而波浪前緣變得越來(lái)越陡，在6T/8時(shí)刻左右，波浪臨近破碎，波峰變得很尖，這與真實(shí)的波浪是吻合的。值得一提的是，圖2中，7T/8時(shí)刻及T時(shí)刻近岸處波浪實(shí)際已破碎，破碎帶內(nèi)本模型已不再適用。

為了更清晰地觀察波峰臨近破碎的情況，在模擬過程中，Δt取為T/48，模擬得出連續(xù)6個(gè)連續(xù)時(shí)刻的波形，從中能夠清楚地觀察到波峰變陡并逐漸向內(nèi)卷曲的過程(圖3)。

值得一提的是，以波陡和底床坡度為小參數(shù)，Chen等[24]推導(dǎo)得到一個(gè)應(yīng)用于傾斜海底的考慮非線性效應(yīng)的勢(shì)函數(shù)的解析解，坡度展開到二階，并同樣轉(zhuǎn)化至Lagrange坐標(biāo)系。按照Chen等[24]的結(jié)論，在入射波陡為0.05、坡度為0.2的條件下，破碎形態(tài)應(yīng)為卷波型(Plunging breaker)。本模型所得到的圖3結(jié)果與Chen等[24]結(jié)論是吻合的。

此外，本文還研究相同波浪條件下不同坡度情況的正向傳播，以進(jìn)一步說(shuō)明理論模型的適用性。限于篇幅，圖從略，結(jié)果簡(jiǎn)述如下：本文選取0.01、0.02、0.05和0.10四個(gè)坡度進(jìn)行比較，外海波浪正向入射，深海波陡k0a0=0.05、波周期T=1 s。從四種不同坡度下波形的變化圖可以看出，它們與Biesel[16]的結(jié)果非常接近。相比零階解，一階解的波幅和相位均有所變化。波浪在坡度較緩(0.01, 0.02)的底床上波高先增大，波長(zhǎng)變短，并且破碎早于較陡的底床。在坡度為0.05和0.10的情形中，波浪在非常靠近岸邊的地方才開始出現(xiàn)變形效應(yīng)，波高增大，波長(zhǎng)變短。分析其原因，可能由于在坡度較大的情況下，從外海入射邊界算起，在很長(zhǎng)的一段距離內(nèi)kh＞ ，水深為深水條件，波長(zhǎng)等于

2/2 gT；而我們假設(shè)波浪傳播過程中周期是不變的，因而，波長(zhǎng)也不變。其中的原理可以理解為：底床坡度大，水深較深，所以，海底底床對(duì)波浪的影響小。

需說(shuō)明的是，如圖2所示，雖然本文模型可以較好地描述波浪卷破前的形態(tài)，但是，模型是否可以得到波浪“坍破”和“涌破”前形態(tài)仍須進(jìn)一步的研究。

圖2 波浪在坡度為0.2的海灘上傳播中一個(gè)波周期內(nèi)波形連續(xù)變化和破碎前的過程，時(shí)間間隔為T/8Fig. 2 Time series of modeled wave profiles prior to breaking on a beach over one wave period T at a slope 0.2 and the time interval of T/8

為了進(jìn)一步了解本模型的適用性，現(xiàn)在將模型用于斜坡斜率非恒定的地形?，F(xiàn)將本文模型也應(yīng)用于Massel[22]的雙曲正切函數(shù)地形，該地形的水深函數(shù)的形式為：

其中h1=6m，h3=2m，緩坡海底的長(zhǎng)度b=20m。波浪正向入射，波高1.0m，周期T=3.14s。

圖3 模擬得到的海灘上 t=6T/8時(shí)刻附近波浪臨近破碎時(shí)波形連續(xù)變化的詳細(xì)圖，坡度為0.2，時(shí)間間隔為T/48Fig. 3 Details of modeled successive wave profiles prior to breaking around t=6T/8 on a beach at a slope of 0.2 and the time interval of T/48.

為了驗(yàn)證求解波幅方程式(14)的數(shù)值方法的合理性，首先，將本文模型算得的波形與Dean和Dalrymple[36]中基于波能守恒原則的淺化公式(4.117)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(圖4)，本文模擬得到的波形，與淺化公式結(jié)果是非常吻合的。

其次，本文模擬得到了在變水深區(qū)域波浪場(chǎng)勢(shì)函數(shù)的解，如圖5 (I)所示。Athanassoulis和Belibassakis[34]中速度勢(shì)的表達(dá)式為：

而在本文速度勢(shì)的表達(dá)式中虛數(shù)單位i在分母上，注意圖5(I)中的實(shí)部其實(shí)是式(13)的虛部。Athanassoulis和Belibassakis[34]的結(jié)果如圖5 (II)中所示。圖5表明：

(i) 本文速度勢(shì)分布結(jié)果與Athanassoulis和Belibassakis[34]的結(jié)果是很相似的，而且一階解比零階解更為接近ER的結(jié)果，尤其是速度勢(shì)的虛部。

(ii) 雖然在精確度上尚不如ER模型，但是Athanassoulis和Belibassakis[34]保留了衰減項(xiàng)(Evanescent mode)，或稱作非傳播項(xiàng)(Non-propagating mode)，這些局部項(xiàng)包含了波浪的繞射和反射作用。

圖4 0到20m斷面內(nèi)t=0.6s時(shí)刻本文模型計(jì)算得到的波形(實(shí)線)與Dean 和Dalrymple[36]基于波能守恒原則的淺化公式(4.117)的結(jié)果(空心圓)的對(duì)比，對(duì)應(yīng)的地形見圖5Fig. 4 Comparison of wave profiles at t=0.6s for a cross-section between 0 and 20m calculated by the present model (solid lines) and Dean and Dalrymple[36]shoaling equation (4.117) based on the conservation of wave energy (open circles). The corresponding bathymetry is shown in Fig. 5

(iii) 圖5 (II)所示ER模型的結(jié)果保留了7項(xiàng)局部項(xiàng)，而本文模型只對(duì)速度勢(shì)攝動(dòng)展開到1階，并且不考慮繞射和反射，能達(dá)到圖5的相似程度，說(shuō)明本文模型是較為有效的。

圖5 變水深區(qū)域波浪勢(shì)函數(shù)的等勢(shì)線以及自由面高度的對(duì)比，虛線代表零階解，實(shí)線代表一階解。注：(I) 本模型的結(jié)果: (A)為勢(shì)函數(shù)的實(shí)部；(B)為勢(shì)函數(shù)的虛部。(II) Athanassoulis and Belibassakis[34]的結(jié)果: (a)為勢(shì)函數(shù)的實(shí)部；(b)為勢(shì)函數(shù)的虛部。Fig. 5 Comparisons of equipotential lines of the wave potential function and free-surface elevation over variable bathymetry regions as obtained by the zero-order solution (dashed line) and 1st-order solution (solid line), respectively. Note that (I) the present model: (A) Real parts of the wave potential; and (B)Imaginary parts of the wave potential. (II) Athanassoulis and Belibassakis[34]: (a) Real parts of the wave potential; and (b) Imaginary parts of the wave potential.

4 結(jié)論與展望

本文初步研究結(jié)果可概括為以下幾點(diǎn)：

(i) 對(duì)于坡度為常數(shù)的斜坡特例，本文模型求解出顯式的波幅函數(shù)。將本文Euler坐標(biāo)系下推導(dǎo)得到的波形解轉(zhuǎn)換至Lagrange坐標(biāo)系后，結(jié)果顯示本文得到的一階解能夠呈現(xiàn)波動(dòng)的特性。

(ii) 本文用于求解波幅方程的數(shù)值方法能夠得到較為精確的結(jié)果，所求得的一階解相比零階解更精確，表明本文模型同樣適用于坡度斜率有變化的情形。

(iii) 本文模型的不足之處是波動(dòng)場(chǎng)勢(shì)函數(shù)的等勢(shì)線與海底底床不是處處垂直，如果在攝動(dòng)展開過程中保留更高階項(xiàng)，上述不足或?qū)⒌玫礁纳啤?/p>

綜上所述，本文模型可以認(rèn)為是Biesel[16]解的擴(kuò)展。不但收斂于Biesel[16]的解，而且本文模型可以適用于坡度變化的地形，并且具有較為滿意的精度。本文得到的解析解及數(shù)值解最好能夠與實(shí)測(cè)資料進(jìn)行比對(duì)分析，這也是本項(xiàng)研究工作下一步應(yīng)該努力的方向。顯然，本文的研究結(jié)果僅限于一維波浪傳播問題，今后，擬將本文模型應(yīng)用到平面二維波浪傳播問題，屆時(shí)，可以嘗試著采用經(jīng)典的試驗(yàn)實(shí)測(cè)資料，對(duì)本模型進(jìn)行對(duì)比分析。本文中所求解的問題都是簡(jiǎn)化了的一維情形，即等深線是平行于海岸線的直線，水深只在波浪傳播方向上變化，波浪正向入射且傳播方向保持不變。針對(duì)于二維情形，水深在 和y方向上均有變化，波浪會(huì)發(fā)生折射與繞射，求解波幅方程的數(shù)值方法相比一維情形將復(fù)雜一些。更高階解的推導(dǎo)，以及二維問題波幅方程的數(shù)值求解和驗(yàn)證，有待進(jìn)一步的研究。

致謝：感謝史鋒巖從美國(guó)University of Delaware寄來(lái)文獻(xiàn)[16]。臺(tái)灣中山大學(xué)海洋環(huán)境及工程系陳陽(yáng)益教授就坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題給予了作者極大的幫助。

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A simple mathematical model of wave propagation over a gently sloping sea bottom

PENG Yan-jian, LIU Ying-zhong, SHI Zhong
(School of Naval Architecture, Ocean and Civil Engineering, The Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200030, China)

Based on the zero-order and first-order approximate solutions of the wave potential function in Liu and Shi[33], using the fourth-order Runge-Kutta method, the numerical solution has been made for the theoretical model of one-dimensional wave propagation over a gently sloping sea bottom in this paper. This paper also elucidates how waves propagate and deform over sloping bottom with a constant slope and hyperbolic tangent-shaped topography. To clearly depict the undulating motions of water particles, calculated solutions of the present model are transformed from the Euler coordinate system into the Lagrange coordinate system. Details of successive wave profiles prior to breaking on a beach at a slope of 0.2 over one wave period are plotted in the Lagrange coordinate system. Furthermore, the wave potential and free-surface elevation over the variable bathymetry regions are calculated by the present model and then compared with Athanassoulis and Belibassakis’[34]results. The present results are more efficient than the latter obtained by retaining six evanescent modes.

wave propagation; sloping sea bottom; wave profiles; perturbation

TV139.2

A

1001-6932(2010)03-0302-08

2010-01-20；

2010-04-16

國(guó)家自然科學(xué)基金 (水利科學(xué)50679040)、上海交通大學(xué)特聘教授基金(DP2009012)

彭延建 (1983－)，男，碩士研究生，研究波浪數(shù)值模擬。電子郵箱：pengyanjian@gmail.com

時(shí)鐘 (1965－)，男，教授。電子郵箱： zshi@sjtu.edu.cn