關(guān)于單形的一類不等式的推廣

錢(qián) 娣, 楊世國(guó)

(1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥230039;2.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽合肥230061)

關(guān)于單形的一類不等式的推廣

錢(qián) 娣1, 楊世國(guó)2

(1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥230039;2.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽合肥230061)

本文應(yīng)用解析的方法得到關(guān)于單形的一類不等式的推廣,并給出應(yīng)用。

歐氏空間;單形;Euler不等式;體積

1 主要結(jié)果及其應(yīng)用

En是 n維歐氏空間,Ωn是 En中的 n維單形。O、R分別表示單形Ωn的外心、外接球半徑,I、r分別表示Ωn的內(nèi)心、內(nèi)切球半徑,G為Ωn的重心,Ai(i=1,2,…,n+1)是Ωn的頂點(diǎn),D是 En中任意一點(diǎn),Ri=|DAi|(i=1,2,…,n+1)。P是Ωn內(nèi)部任意一點(diǎn),ri表示 P點(diǎn)到Ωn的第r個(gè)側(cè)面fi的距離。單形Ωn不過(guò)同一頂點(diǎn)的兩個(gè)棱稱為一對(duì)對(duì)棱,它的各對(duì)對(duì)棱所成角的算術(shù)平均值記為θ。

1979年,Klamkin在文獻(xiàn)[1]中得到如下的重要不等式:

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)成立。不等式(1.1)為三角形中的 Euler不等式在 En中的推廣,稱為 En中的Euler不等式。

En中的 Euler不等式已引起廣泛的興趣。文獻(xiàn)[2]中得到Euler不等式的一個(gè)加強(qiáng):

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

文獻(xiàn)[3]中得到 Euler不等式的另一種加強(qiáng)推廣:當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

本文得到較(1.2)、(1.3)另外一種形式的加強(qiáng)推廣。

定理1.1 設(shè)歐氏空間 En中的n維單形Ωn的諸棱長(zhǎng)為ai(i=1,2,…,),A=max(ai),a= min(ai),記則有

當(dāng)Ωn為正則單形且 P為其內(nèi)心,D為其外心時(shí)(1.4),(1.5)式中等號(hào)成立。

推論1.1 對(duì)n維單形Ωn,有

當(dāng)Ωn皆為正則單形且 P為其內(nèi)心,D為其外心時(shí)等號(hào)成立。

在推論1.1中,若點(diǎn)D、P分別是單形Ωn中的外心O和內(nèi)心 I,則有 Ri=R,ri=r(i=1,2,…, n)。因此(1.6),(1.7)也是 Euler公式的兩種推廣形式。

推論1.2 對(duì)n維單形Ωn,有

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

定理1.2 對(duì)n維單形Ωn,有

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)(1.10),(1.11)式中等號(hào)成立。

2 引理與定理的證明

為了證明上面兩個(gè)定理,我們需要下面幾個(gè)引理。

引理2.1[3]設(shè) aij(1≤i

引理2.2[2]對(duì)n維單形Ωn,有

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

引理2.3[4]設(shè)m個(gè)正數(shù)xi(i=1,2,…,m)的算術(shù)平均與幾何平均值分別為Am(xi)與Gm(xi),X =max(xi),x=min(xi),則有

當(dāng)且僅當(dāng) x1=x2=…=xn時(shí)等號(hào)成立。

引理2.4[4]設(shè) n維單形Ωn的棱長(zhǎng)和體積V之間有不等式

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)Ωn的重心和外接球球心重合時(shí)成立。

引理2.5 對(duì)n維單形Ωn,有

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

證明:應(yīng)用不等式[5]:

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

由(2.6)式及(2.4)式得:

即

由引理3與上式得:

由此式便得不等式(2.5)成立,易知當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

引理2.6[6]設(shè) P是Ωn內(nèi)部任意一點(diǎn),ri表示點(diǎn) P到Ωn的第i個(gè)側(cè)面 fi的距離,V表示Ωn的體積,則有

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

引理2.7[5]對(duì)n維單形Ωn,有

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí)等號(hào)成立。

引理2.8[7]對(duì)n維單形Ωn,有

當(dāng)Ωn為正則單形時(shí),式(2.9)(2.10)式中等號(hào)成立。

定理1.1的證明:由不等式(2.1)和算術(shù)-幾何不等式,得:

(2.11)式結(jié)合不等式(2.2),得:

(2.11)式結(jié)合不等式(2.5),得:

由(2.12)式及(2.7)式便得(1.4)。

由(2.13)式及(2.7)式便得(1.5)。

定理1.2的證明:在[8]中得到不等式:

將(2.9)式結(jié)合(2.14)式得:

(2.15)式結(jié)合不等式(2.9)得(1.10)。

(2.15)式結(jié)合不等式(2.10)得(1.11)。

[1] Klamkin.M.S.The circumradius-inradius inequality for a simplex,Math Magazine 52(1979),20-22.

[2] 冷崗松.Euler不等式得一個(gè)加強(qiáng)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 1995,25(2):94-96.

[3] YANG Shi-guo.An Inequality for a Simplex and its Applications[J].Geometriae Dedicata,55(1995),195-198.

[4] 楊世國(guó).關(guān)于Veljan-Korchmaros不等式得改進(jìn)及應(yīng)用[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2003,19(4):334-338.

[5] 蘇化明.關(guān)于切點(diǎn)單形的兩個(gè)不等式[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論, 1990,10(2):243-247.

[6] Gerber,L..The orthocentric simplex as an extreme simplex, Pacific.J.Math,56(1975),97-111.

[7] 楊世國(guó).涉及兩個(gè)n維單形的不等式[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2006,33(3):247-249.

[8] Wang Geng,Yang Shi-guo.Two Inequalities Concerning the Circumradius and Inradius of a Simplex in n-Dimensional Space [J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000,36(6):18-21.

Generalization of A Class of Inequalities for Simplexes

QIAN Di1, YAN G Shi-Guo2

(1.School of Mathematics Sciences,A nhui University,Hef ei230039,China; 2.Department of Mathematics,Hef ei N ormal University,Hef ei230061,China)

This paper discusses the improvement and application of the inequality for n-dimensional simplex in Euclidean space Enby using analytic method.

Euclidean space;simplex;Euler inequality;volume

O184

A

1674-2273(2010)06-0001-03

2010-03-10

安徽省高校省級(jí)重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2009A45)

錢(qián) 娣(1984-),女,安徽桐城人,安徽大學(xué)碩士生;楊世國(guó)(1952-),男,安徽明光人,教授,研究方向?yàn)橥箮缀闻c距離幾何。