關(guān)于一個(gè)不定方程的正整數(shù)解

賈曉明，朱 熙，?，摤?/p>

(1．西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安 710127；2．武警工程學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安 710086；3．西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710129)

關(guān)于一個(gè)不定方程的正整數(shù)解

賈曉明1，朱 熙2，?，摤?

(1．西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安 710127；2．武警工程學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西西安 710086；3．西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710129)

設(shè)p是奇素?cái)?shù)，證明了：當(dāng)p=108s2+1，其中s是奇數(shù)，則方程x3+1=py2無(wú)正整數(shù)解(x, y)．

三次不定方程；正整數(shù)解；遞歸數(shù)列

設(shè)N+是全體正整數(shù)的集合，p是無(wú)平方因子的正整數(shù)，方程x3+1=py2,x, y∈N+是一類基本而重要的三次不定方程．1942年，Ljunggren[1]就討論了方程x3±1=Dy2，x, y∈N+的求解問(wèn)題，因此方程x3±1=Dy2也稱為L(zhǎng)junggren方程．1981年，柯召與孫琦[2-3]證明了：當(dāng)p＞2且p不能被6k+1之形素?cái)?shù)整除時(shí)，方程x3+1=py2無(wú)解．因此，當(dāng)p含有6k+1之形素因子的情形是目前所研究的主要方向，這是一個(gè)相當(dāng)困難的問(wèn)題，至今只得到一些較為零散的結(jié)果，例如，1991年，王鎮(zhèn)江和佟瑞洲[4]證明了x3+1=13y2無(wú)解(x, y)(x, y∈N+)．本文則證明了以下的一般性結(jié)果：

定理1 設(shè)p是奇素?cái)?shù)，如果p=108s2+1，其中s是奇數(shù)，則方程

無(wú)解(x, y)(x, y∈N+)．

引理1[5]若(a, b)=1，ab=ck，則a=uk，b=vk，其中c=uv，(u, v)=1．

證明：見(jiàn)文獻(xiàn)[5]．

定理1的證明：設(shè)(x, y)(x, y∈N+)是方程（1）的解．

1）x+1≡0(mod3)時(shí)，由于x2?x+1=(x+1)(x ?2)+3，可知(x+1,x2?x +1)=1，則根據(jù)引理1有以下兩種情形成立：

以下分別討論這兩種情形所給出（1）的正整數(shù)解．

情形I：由第二式x2?x+1=v2可知(2v+2x?1)(2v?2x +1)=3，但由于x≥1，因此有(2v+2x?1)＞(2v?2x +1)，所以只能有以下兩種分解：

解得x=1，但這顯然不適合第一式x+1=pu2，于是該情形無(wú)（1）的解．

情形II：由第二式x2?x+1=pv2可知v必定是奇數(shù)，所以v21(mod4)，而p=108s2+1（s是奇數(shù)），可知p1(mod4)，所以pv21(mod4)，x2?x+1pv21(mod4)，x( x?1)0(mod4)，可知x1(mod4)或x0(mod4)．

于是可知上述兩種情形在題設(shè)條件下均無(wú)解．

2）當(dāng)x+1≡0(mod3)時(shí)，則根據(jù)引理1有以下兩種情形成立：

I：x+1=3pu2，x2?x+1=3v2，y=3uv，(u, v)=1,u, v∈N+；

II：x+1=3u2，x2?x+1=3pv2，y=3uv，(u, v)=1,u, v∈N+．

由s=2pu2?1，可知s為奇數(shù)，由（2）以及s=0,s=1，故必須n0(mod2)，即

其中u=ab，(a, b)=1．

（7）式的第二式s2m=2b2給出rmsm=b2，由于(r2m,s2m)=1，所以由引理1有rm=c2，sm=d2，b=cd，(c, d)=1，于是有c4?3(d2)2=1．

根據(jù)文獻(xiàn)[6]方程X4?DY2=1的已得結(jié)果，必有d=0，從而b=0，s2m=0，m=0，但這顯然不適合（7）式的第一式r2m?1=2pa2，故（7）式無(wú)解．

由文獻(xiàn)[7]中的定理19知，必須有s2m?1=±1，即m=0或1，但m=1不適合（8）式的第二式s2m=2pb2；而m=0時(shí)b=0，從而u=0，這時(shí)(x, y)=(?1,0)，但與x, y∈N+矛盾，于是可知也無(wú)解．

情形II：將第一式x+1=3u2帶入第二式x2?x+1=3pv2有：

由此可知(X, Y)=(2v,2u2?1)是方程

的一組解．

因?yàn)閜=108s2+1，所以方程（10）的最小解為(X0, Y0)=(1,6s)，于是根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果從（9）式可得：

其中t是正奇數(shù)．

從（11）可得2u2?1≡0(mod6s)，進(jìn)一步有：

綜合上述各種情況，可知方程（1）在題設(shè)條件下無(wú)解．

證畢．

[1] Ljunggren W.berunbestimmte Geichungen [J]. Skr Norske Vid Akad Oslo I, 1942, 9: 1-55.

[2] 柯召, 孫琦. 關(guān)于丟番圖方程 x3±1=Dy2[J]. 中國(guó)科學(xué), 1981, 24(12): 1453-1457.

[3] 柯召, 孫琦. 關(guān)于丟番圖方程 x3±1=3Dy2[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1981, 18(2): 1-5.

[4] 王鎮(zhèn)江, 佟瑞洲. 關(guān)于丟番圖方程 x3+1=13y2,xy≠0 [J]. 黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1991, 8(4): 48-50.

[5] 潘承洞, 潘承彪. 初等數(shù)論[M]. 2版. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2003: 48-50.

[6] 柯召, 孫琦. 談?wù)劜欢ǚ匠蘙M]. 上海: 上海教育出版社, 1980: 28-35.

[7] 曹珍富. 丟番圖方程引論[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 1989: 209-213, 271.

[8] Walker, D T. On the Diophantine equation mx2?ny2=1 [J]. Amer Math Monthly, 1967, 74: 504-513.

Positive Integer Solution of a Diophantine Equation

JIA Xiaoming1, ZHU Xi2, NIU Yingying3
(1. Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, China 710127; 2. Department of Basic Courses, Engineering College of Armed Police Force, Xi’an, China 710086; 3. College of Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an, China 710129)

Let p be an odd prime, elementary method was used to prove that if p=108s2+1, where s is an odd number, then equation x3+1=py2has no positive integer solution (x, y).

Cubic Diophantine Equation; Positive Integer Solution; Recurrent Sequence

O156

A

1674-3563(2010)02-0016-04

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.02.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2009-10-04

賈曉明(1981- )，男，山西平遙人，碩士研究生，研究方向：數(shù)論