2 0 1 0年數(shù)學(xué)高考立體幾何試題評(píng)析

●駱永明 (稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

立體幾何是高考必考內(nèi)容，試題一般以“兩小題一大題”的形式出現(xiàn)，分值在20分左右，考查難度一般為中等.簡(jiǎn)答題所處位置基本上在前3道，有承上啟下的作用.另外，筆者在認(rèn)真統(tǒng)計(jì)與分析近幾年的高考試題后發(fā)現(xiàn)，立體幾何問題的考查已經(jīng)突破了傳統(tǒng)的框架;在命題風(fēng)格上，正逐步由封閉性向靈活性、開放性轉(zhuǎn)變.因此，進(jìn)一步把握復(fù)習(xí)的重點(diǎn)、提高復(fù)習(xí)效率，從而快速地突破立體幾何的難點(diǎn)是高考復(fù)習(xí)過程中必須認(rèn)真考慮的問題.

1 《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試說明》對(duì)本專題的教學(xué)要求

1.1 考試內(nèi)容

三視圖;球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算;空間位置關(guān)系的判斷與證明;空間角、距離的求解.

1.2 考試要求

(1)能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖.能識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體;理解三視圖和直觀圖的聯(lián)系，并能進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

(2)會(huì)計(jì)算球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積(不要求記憶公式).

(3)以公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定;會(huì)用幾何法和向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的有關(guān)命題.

(4)理解異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念;會(huì)用幾何法和向量方法解決異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計(jì)算問題.

2 命題特點(diǎn)

從立體幾何所考查的知識(shí)點(diǎn)可以看出：與前幾年相比仍著眼在一個(gè)“穩(wěn)”字上，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

(1)題量、分值、難度基本上保持相對(duì)穩(wěn)定.

每份試題基本上以“兩小題一大題”或“一小題一大題”的形式出現(xiàn)，分值在20分左右.選擇題、填空題考查的知識(shí)點(diǎn)主要涉及到空間線面位置關(guān)系的判斷、空間角和距離的求解、體積與面積的計(jì)算、三視圖和幾何體的接切問題等.解答題的考查形式仍然注重在一個(gè)具體的立體幾何模型中考查線面位置關(guān)系.

(2)考查題型、內(nèi)容不避熱點(diǎn).

以空間幾何體為載體的線面關(guān)系的判斷、推理和論證，尤其是線線、線面、面面的平行和垂直的判斷、推理和論證;三視圖體積與面積的計(jì)算;空間角和距離的計(jì)算，幾何體之間的“接”與“切”等問題歷來是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是2010年高考命題的主流.

(3)考查立體幾何的基本數(shù)學(xué)思想.

立體幾何在考查學(xué)生的觀察能力、思維能力和空間想象能力方面具有獨(dú)特的作用，歷來是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合思想、割補(bǔ)思想等數(shù)學(xué)思想在2010年的高考立體幾何試題中體現(xiàn)得淋漓盡致.

(4)繼續(xù)正視文、理科學(xué)生的差異.

在對(duì)立體幾何這部分內(nèi)容的考查上，基本上采用“姊妹題”、“相同題不同考查順序”等來區(qū)別對(duì)待.在簡(jiǎn)答題上，文科突出考查直觀感知與簡(jiǎn)單推理論證;而理科對(duì)空間想象能力、邏輯推理能力的考查要求較高.同時(shí)，理科大題在設(shè)計(jì)中仍然堅(jiān)持“幾何法”與“向量法”兼顧，統(tǒng)籌安排、有機(jī)結(jié)合、相得益彰.

3 亮點(diǎn)掃描

3.1 “動(dòng)態(tài)折疊”，立體幾何?？汲Ｐ?/h3>

在近幾年的高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)一些有關(guān)立體幾何中的翻折、旋轉(zhuǎn)等“動(dòng)態(tài)折疊”問題.它們立意新穎、動(dòng)態(tài)變換、注重創(chuàng)新，加強(qiáng)了試題的開放性與探究性，同時(shí)也給學(xué)生解決問題提供了更廣闊的思維空間，能有效地檢測(cè)學(xué)生的直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、空間想象、推理論證、運(yùn)算求解與分析和解決問題等能力，具有很好的考查功能和導(dǎo)向作用.

例1 如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AE=EB=AF=2FD=4.沿直線3EF將AEF翻折成A'EF，使平面A'EF⊥平面BEF.

(1)求二面角A'-FD-C的余弦值;

(2)點(diǎn)M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn) A'重合，求線段 FM的長(zhǎng).

圖1

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)坐標(biāo)法：按如圖2所示建立坐標(biāo)系，面A'FD的一個(gè)法向量為n=(0，-2，)，面 BEF的一個(gè)法向量為 m=(0，0，1)，則

圖2

圖3

評(píng)注近3年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題都考查了“動(dòng)態(tài)折疊”問題，特別是2010年從學(xué)生極為常見的長(zhǎng)方形翻折著手，把2次翻折后改造成頗有難度的立體幾何問題，使考生似曾相識(shí)，又不乏新意.解決該題的關(guān)鍵是要求學(xué)生清楚折疊前后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化.

3.2 關(guān)注知識(shí)的交匯，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通

例2 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是 ( )

A.直線 B.橢圓

C.拋物線 D.雙曲線

(2010年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

解如圖4，構(gòu)造一個(gè)單位正方體，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得

可知軌跡為雙曲線.故選D.

評(píng)注以立體幾何為載體，重點(diǎn)考查如何用坐標(biāo)法或定義法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，目的是考查學(xué)生的空間想象能力及如何用坐標(biāo)法解決立體幾何中求軌跡的問題，體現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的思想方法.

同時(shí)2010年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題與幾何概型交匯，考查了直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系;還考查了空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.

圖4

圖5

3.3 強(qiáng)調(diào)知識(shí)的應(yīng)用，注重綜合能力的考查

數(shù)學(xué)源于生活又寓于生活，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的實(shí)踐運(yùn)用能力.以立體幾何為背景的實(shí)際應(yīng)用題逐漸被人們重視.2010年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題第21題以圓柱形的燈籠為背景設(shè)計(jì)了立體幾何問題，具有很大的現(xiàn)實(shí)意義，考查了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的方法、策略、能力，是現(xiàn)代教育對(duì)數(shù)學(xué)教育的迫切要求，充分體現(xiàn)了教育改革的不斷發(fā)展與高考改革的逐步深化.

例3 如圖5所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).

(1)當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值?并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米);

(2)在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時(shí)，求圖中2條直線A1B3與A3B5所在異面直線所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).

(2010年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)略.

(2)建立坐標(biāo)系易得

評(píng)注本題以圓柱形燈籠為載體，考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、異面直線所成角的概念與求法.該題引導(dǎo)學(xué)生深入社會(huì)實(shí)際，關(guān)注生活，在加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的同時(shí)，考查了空間想象能力.立體幾何板塊難度比2009年有所上升;考查了學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

4 復(fù)習(xí)建議

(1)立足一本兩綱，回歸課本，狠抓雙基.

教師需對(duì)《考試大綱》與《教學(xué)大綱》進(jìn)行深入研究，立足本專題的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的復(fù)習(xí).重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，落實(shí)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷以及相關(guān)概念、定理、性質(zhì);熟練掌握課本中概念、定理的種種用途;重視提高學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、畫圖和對(duì)圖形的理解能力.同時(shí)要讓學(xué)生回歸課本，重視課本的例題與習(xí)題，使數(shù)學(xué)教學(xué)回歸到本源上來.

(2)建議對(duì)新教材中新增內(nèi)容進(jìn)行關(guān)注.

新教材中的立體幾何與傳統(tǒng)的立體幾何相比，發(fā)生了一定的變化.其中在必修2中學(xué)習(xí)的立體幾何初步主要是依托三視圖來提升學(xué)生空間想象力的.同時(shí)，對(duì)于這些模型截去一個(gè)面所形成的多面體的三視圖也應(yīng)該引起關(guān)注.例如，2010年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第3題.對(duì)于一些不規(guī)則幾何體，若采用割補(bǔ)法，則往往能起到化繁為簡(jiǎn)、一目了然的作用.

(3)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，特別是化歸的思想.

(4)建議加強(qiáng)對(duì)向量公式的理解.

用傳統(tǒng)的方法解立體幾何題往往需要煩瑣的分析、復(fù)雜的計(jì)算.而用向量法解題思路清晰、過程簡(jiǎn)潔.對(duì)立體幾何的常見問題可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果.利用向量可以解決立體幾何中點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系問題，但在具體問題中有許多需要注意的問題.

例如，已知二面角 α-l-β，m，n 分別為面 α，β 的法向量，則二面角的平面角θ的大小與2個(gè)法向量所成的角相等或互補(bǔ)，即θ=＜m，n＞或θ=π-＜m，n＞.但如何判斷二面角的平面角和法向量所成的角的關(guān)系，通常有2種方法：①通過觀察二面角是銳角還是鈍角，再由法向量所成的角求之;②通過觀察法向量的方向，判斷法向量所成的角與二面角的平面角是相等還是互補(bǔ).

又如直線和平面所成的角用向量求解時(shí)，法向量和直線所成的角與直線和平面所成角的關(guān)系都是需要引起注意的問題，學(xué)生很容易犯錯(cuò)誤.