讓課本習(xí)題成為數(shù)學(xué)探究的鮮活資源

●鈕兆嶺 (淮陰師院附屬中學(xué) 江蘇淮安 223001)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》明確指出：“數(shù)學(xué)探究是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，滲透在每一個(gè)模塊或?qū)ｎ}中”.又指出“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”是新課程的基本理念之一，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和訓(xùn)練.高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.因此，探究式教學(xué)應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要方式之一，應(yīng)該成為培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)的主渠道、主陣地.課本習(xí)題是幾經(jīng)編者篩選命制而成的，具有一定的代表性、典型性、探究性，是組織探究活動(dòng)的有效載體，是培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)的再生資源，值得教師重視.筆者選擇了蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-1中的一道習(xí)題，組織學(xué)生進(jìn)行了一次有意義的探究活動(dòng).通過這次探究筆者感受到：用好課本習(xí)題對提高教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力具有非常重要的意義.為行文方便，將原題附錄以下：

例1 過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，且2個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 y1，y2，求證：y1y2=-p2.

從題目涉及的內(nèi)容看，有直線方程、拋物線方程、方程組的解法，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，具有一定的綜合性，進(jìn)行探究有助于溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu);從動(dòng)、靜的角度看，拋物線是相對靜止的，直線AB是運(yùn)動(dòng)的，進(jìn)行探究有助于學(xué)生動(dòng)中窺靜，靜中窺動(dòng);從原題給出的結(jié)論看：y1，y2是可變的，y1y2是不變的，進(jìn)行探究有利于培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)去思考問題;從原題的解決途徑看，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與深刻性.

1 合作探究，尋覓多種解法

出示題目，讓學(xué)生思考、討論，教師巡視點(diǎn)撥，適時(shí)介入.當(dāng)大部分學(xué)生基本完成本題解答時(shí)，教師請學(xué)生陳述解題思路.

由韋達(dá)定理得

圖1

T1：S2的補(bǔ)充指出了部分學(xué)生解決這類問題的思維缺陷，今后用到含有斜率k的直線方程時(shí)應(yīng)考慮斜率k不存在的情況.S1，你是怎么想到這一方法的?

S1：這是一道有關(guān)直線與拋物線位置關(guān)系問題，求證的結(jié)論是2個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為常數(shù)，這使我聯(lián)想到一元二次方程中的韋達(dá)定理.

T：S1根據(jù)直線與拋物線相交及題中結(jié)論呈現(xiàn)的形式聯(lián)想到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是尋覓問題解決切入點(diǎn)的好辦法.此題還有別的解法嗎?

又因?yàn)閥1≠y2，所以必有 y1y2=-p2.當(dāng) AB⊥x軸時(shí)，方法如S2所述.

綜合上述2種情況可知結(jié)論成立.

T：你是怎么想到這一方法的?

S：直線AB過焦點(diǎn) F實(shí)際上隱含著點(diǎn) A，F(xiàn)，B共線，利用斜率相等可構(gòu)造方程.為了減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，利用點(diǎn)A，B在拋物線上，將2個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)用含有y1，y2的式子表示，可簡化解題過程.

T：S3的思路有創(chuàng)意，對解題活動(dòng)的開展很有啟發(fā)，利用已知條件減少未知量的個(gè)數(shù)，挖掘題目中隱含的條件構(gòu)造方程.這體現(xiàn)了用方程思想解決問題的意識(shí)，拓寬了解題途徑.

S4：還可以用幾何知識(shí)解決.如圖2，過點(diǎn)A，B分別作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1.因?yàn)锳B過點(diǎn)F，由拋物線定義得|AA1|=|AF|，所以∠1=∠2.又 AA1∥FK，得∠1=∠3，從而∠2=∠3.同理可得∠4=∠5，因此∠A1FB1=90°.又由KF⊥A1B1，可得

T：你是怎么想到這一方法的?

S2：通過畫圖可以發(fā)現(xiàn)

圖2

從而聯(lián)想到這種證法.

T：通過畫圖，直觀地發(fā)現(xiàn)要證的結(jié)論，這是幾何直觀給我們帶來的福音，它使我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的本質(zhì).S4的想法體現(xiàn)了數(shù)形轉(zhuǎn)換的思想，值得倡導(dǎo).還有別的解法嗎?

由韋達(dá)定理得

T：此解法太妙了!S5避開了選擇斜率k為參數(shù)時(shí)對AB⊥x軸的討論，這啟發(fā)我們在選擇方法時(shí)，要盡可能地避開討論，減少失誤.

教學(xué)感悟?qū)W生的思維是活躍的，在課堂教學(xué)中如何讓學(xué)生打開思維的閘門，這就要求教師在課前對習(xí)題研究和在課堂上積極引導(dǎo).優(yōu)秀教師的功夫在課外，效率在課內(nèi).學(xué)生的成就感在于對問題的不斷解決，學(xué)生的快樂源泉在于不斷找到新方法.學(xué)生在愉悅的心境中思維效率最高，更容易催生學(xué)習(xí)的智慧.

2 選準(zhǔn)入口，探求新型結(jié)論

通過一道課本習(xí)題，獲得4種解法(S1，S2的解法合一)，令人歡欣鼓舞.若就此收場，則實(shí)在有余味未盡之感.從原題的結(jié)論看，2個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值，使人聯(lián)想：2個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積是否為定值?|AF|和|BF|之間又會(huì)有怎樣的關(guān)系?還會(huì)有其他什么結(jié)論?這些問題同樣值得思考.

T：從原題結(jié)論呈現(xiàn)的形式看，你能猜想出原題還可能會(huì)有什么結(jié)論?

S6：若原題中2個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則通過類比，可能有x1x2為定值.

T：你能猜出定值嗎?

將其代入y2=2px得

由韋達(dá)定理得

S8：當(dāng)AB不垂直于 x軸時(shí)，由點(diǎn) A，B，F(xiàn)共線可得

T：S6的解法具有通性，S7，S8的解法具有一定技巧，需要解題者有較強(qiáng)的洞察力.原題中|AF|，|BF|這2條線段值得關(guān)注，你能探索出這2條線段之間可能有什么關(guān)系嗎?

S10：這個(gè)直角梯形的兩底之和等于AB的長.

T：除此以外，還會(huì)想到什么樣的結(jié)論?

S10：以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

T：你是怎樣想到的?

S10：在初中曾證過類似的幾何題.

T：好!你的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是拋物線過焦點(diǎn)的弦的又一條重要性質(zhì)，請你說說證法.S10：如圖3，取AB的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線l的垂線交l于點(diǎn) M1，則

圖3

因此以AB為直徑的圓與拋物線y=2px(p＞0)的準(zhǔn)線相切(教室里發(fā)出一片贊嘆聲).

教學(xué)感悟?qū)W生蘊(yùn)藏著一種巨大的智慧潛能.只要教師對問題的思考達(dá)到一定的深度，讓自己置身于學(xué)生之中，成為學(xué)生的合作者、“隱”導(dǎo)者、鼓勵(lì)者，學(xué)生就能從特殊到一般、從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)，把新的認(rèn)識(shí)上升到理性的、共性的高度，形成一般性結(jié)論.

3 變式探究，拓寬思維空間

一道以過拋物線焦點(diǎn)的弦為背景的習(xí)題可探究出多種解法和結(jié)論，如果把過焦點(diǎn)的弦變?yōu)檫^x軸上定點(diǎn)的弦，那么又會(huì)有什么結(jié)論?拋物線上的兩點(diǎn)滿足什么條件就能使這2個(gè)點(diǎn)連線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)?這些問題同樣值得探究.

變式1 如果將原題條件中的“焦點(diǎn)”改為“定點(diǎn) C(c，0)(c＞0)”，其余不變，那么 y1y2的值還是定值嗎?為什么?

有了對原題的探究基礎(chǔ)，學(xué)生對這個(gè)問題的求解已不陌生，很快有學(xué)生陳述了自己的解法.

根據(jù)韋達(dá)定理，得直時(shí)，由點(diǎn) A，B，C 共線得

整理得

因?yàn)?y1≠y2，所以 y1y2=-2pc.

當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，方法同S11.

T：這2位同學(xué)的解法體現(xiàn)了一定的學(xué)習(xí)水平和研究水平，尤其是注意到了AB與x軸的關(guān)系，采用有效的方式來應(yīng)對不同的情況，思路開闊、思維縝密.

變式2 如圖4，設(shè) A，B為拋物線y2=2px(p＞0)上2個(gè)點(diǎn)，C為拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn) A，O，C 共線，且 BC∥x軸.證明：直線AB恒過定點(diǎn).

T：要證明直線AB恒過定點(diǎn)，我們能否猜出這一定點(diǎn).

圖4

T：你是怎么發(fā)現(xiàn)的?

S13：通過特例計(jì)算得到AB過拋物線的焦點(diǎn).

T：很好!滿足條件的直線AB恒過定點(diǎn)是一個(gè)具有一般性的結(jié)論，它必然包括特殊情況，S13用辨證的思想分析找到了目標(biāo).怎么證明，請把思路說一說.

因此點(diǎn)A，O，C共線，且AC與x軸不垂直，于是則點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，于是直線AB過定點(diǎn)F.

S14：設(shè)拋物線 y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為 F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O(即證明點(diǎn) A，O，C 共線).

S15：設(shè)拋物線 y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為 F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，延長AO到點(diǎn)C，交拋物線準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，證明：BC∥x軸.

T：S14，S15所編擬的2道題目與變式1是什么關(guān)系?結(jié)論成立嗎?

S14：這2道題是變式2的逆命題，其證明的思路應(yīng)該與變式2相仿.

T：應(yīng)該相仿，看來你還不能肯定，可以試一試.

S16：我已證出S14的結(jié)論，證明方法與變式2確實(shí)相仿.

T：好，同學(xué)們的思維非常靈活，由一道題又變出了2道新題，這既訓(xùn)練了思維的靈活性，又使我們把握了這類問題的本質(zhì).同時(shí)，還告訴大家一個(gè)驚人的消息，S14所編擬的這道題就是2001年全國數(shù)學(xué)高考試卷中的解析幾何題(同學(xué)們驚訝不已!頓時(shí)教室里響起了熱烈的掌聲).

教學(xué)感悟解題教學(xué)不能忙于“趕路”，弄透一題，勝于教完十題.只有走進(jìn)題目的“心靈深處”，才能欣賞數(shù)學(xué)的“多彩世界”.

4 橫向聯(lián)系，提升綜合能力

在不同的知識(shí)背景下，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決問題是對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的檢驗(yàn).因此，培養(yǎng)學(xué)生探索、提取、應(yīng)用知識(shí)的能力，方能為問題的探究提供有力的智力保障.

如果把變式2以向量的形式呈現(xiàn)，那么可衍生出如下題目：

(1)當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)B的軌跡n;

T：看到這道題目后，首先想到了什么?

T：你能說說求點(diǎn)B軌跡方程的思路嗎?

由式(1)，式(2)消去t得

所以點(diǎn)B的軌跡為以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線.

T：這是一道求動(dòng)點(diǎn)軌跡的題目，而條件是通過向量形式表現(xiàn)出來的.如何實(shí)現(xiàn)向量條件的轉(zhuǎn)化，是解決這道題目的關(guān)鍵.S16較好地把握了這一關(guān)鍵，值得大家學(xué)習(xí).

教學(xué)感悟 將原題的條件換一種方式呈現(xiàn)，尤如讓學(xué)生“在不同地方見到同一個(gè)人”，有利于知識(shí)的溝通，強(qiáng)化知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.

5 精選習(xí)題，有效開發(fā)資源

課本是教學(xué)之本、教學(xué)之源，同樣課本也應(yīng)成為課堂教學(xué)的探究之本、探究之源.課本上有許多適于探究的鮮活材料，作為教師必須以睿智的目光發(fā)現(xiàn)適于探究的素材，并進(jìn)行有效開發(fā).

5.1 選題要具有典型性

課本上的很多習(xí)題都具有一定的代表性，它的價(jià)值在于基礎(chǔ)性和可探究性.只有選取這樣的習(xí)題，才能構(gòu)建基礎(chǔ)性訓(xùn)練和探究性訓(xùn)練的思維體系，才能使探究活動(dòng)有一個(gè)基本保障.離開了這個(gè)保障，探究活動(dòng)就不能有效地開展下去;離開了這個(gè)保障，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性就不能有效調(diào)動(dòng).因此，精心選題是保證全員參與的前提，也是保證整體教學(xué)效益的前提.

5.2 問題的設(shè)計(jì)要有層次性

5.3 探究過程要注重學(xué)法指導(dǎo)