分布式偏好及其在選擇中的作用

王志遠(yuǎn)

（南京大學(xué) 現(xiàn)代邏輯與邏輯應(yīng)用研究所，江蘇 南京 210093）

分布式偏好及其在選擇中的作用

王志遠(yuǎn)

（南京大學(xué) 現(xiàn)代邏輯與邏輯應(yīng)用研究所，江蘇 南京 210093）

在經(jīng)典選擇理論中無(wú)論是接受偏好關(guān)系的傳遞性，還是準(zhǔn)傳遞性，都會(huì)導(dǎo)致偏好關(guān)系的循環(huán)，致使連最基本的選擇都無(wú)法做出，或出現(xiàn)選擇理論與選擇實(shí)踐相反矛盾的情景。分布式偏好是基于傳統(tǒng)偏好關(guān)系傳遞性基礎(chǔ)上提出的一種偏好關(guān)系，給出了分布式偏好的定義、相關(guān)定理以及選擇條件，對(duì)于經(jīng)典理論中因偏好關(guān)系傳遞性問(wèn)題引起選擇困難的解決提供了一種新思路，解釋了個(gè)人在選擇中出現(xiàn)偏好反轉(zhuǎn)現(xiàn)象依舊能夠做出選擇的問(wèn)題。

社會(huì)選擇；行動(dòng)主體；認(rèn)知世界；偏好；模糊偏好；分布式偏好

一、引言

選擇依賴于偏好可以說(shuō)選擇的本質(zhì)就是偏好。偏好被廣泛地認(rèn)為是一種排序，它是建立在行動(dòng)主體所選規(guī)則以及相關(guān)背景（包括行動(dòng)主體的認(rèn)知狀態(tài)、情感、傾向、意愿等）的基礎(chǔ)上的，分為清晰的與模糊的。無(wú)論偏好模糊與否，可以根據(jù)截集定理使之清晰化，因此在選擇過(guò)程中，選擇活動(dòng)本身是清晰的。

由于帶有不可比較性關(guān)系的偏好結(jié)構(gòu)在經(jīng)典偏好模型中很少發(fā)揮作用[1]，通常用兩個(gè)二元關(guān)系來(lái)表示方案集X上行動(dòng)主體的偏好：嚴(yán)格偏好關(guān)系P、無(wú)差異關(guān)系I。這被稱為完全性公理?；赬上的偏好結(jié)構(gòu)為R=＆lt；P，I＆gt；，有xRy=xPy∨ xIy，xPy=xRy∧yRx，xIy=xRiy∧yRx，R滿足傳遞性和完全性，在社會(huì)選擇中還要求R是非循環(huán)的。

Luce給出的反例表明[2]，I不具有傳遞性，從而進(jìn)一步導(dǎo)致R不具有傳遞性。設(shè)有限方案集X={x1，x2，…，xn}，xi為咖啡中加入i粒糖的狀態(tài)，則有，x1Ix2，x2Ix3，…，xn-1Ixn，進(jìn)一步有x1Ixn，由于I滿足對(duì)稱性，則xnIx1。由x1Ixn、xnIx1分別可以得出x1Rxn、xnRx1。而Luce等的研究表明x1Pxn[2]，即由某人偏好無(wú)糖咖啡可知，相對(duì)于咖啡中加入n粒糖（例如100萬(wàn)粒糖），他會(huì)更加毫不猶豫地偏愛(ài)咖啡中加入1粒糖。由x1Pxn可知，x1Rxn和xnRx1成立。這樣有x1Rxn∧xnRx1，R不滿足完全性。

雖然I會(huì)導(dǎo)致P的出現(xiàn)以及R完全性的缺失，迫使一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家弱化原有條件，有理由相信行動(dòng)主體弱偏好可能不是傳遞的，而是準(zhǔn)傳遞的[3]。但是，實(shí)驗(yàn)社會(huì)選擇表明，即使是行動(dòng)主體的偏好關(guān)系都P，即放松要求條件，將傳遞性條件變?yōu)闇?zhǔn)傳遞性（Quasi-Transitivity），也會(huì)導(dǎo)致意料不到的非理性結(jié)果。在群選擇中，由于準(zhǔn)傳遞性偏好關(guān)系的循環(huán)性，個(gè)體的理性會(huì)導(dǎo)致集體的非理性。[4]雖然提供了在傳遞性循環(huán)情況下做出選擇的一種能行方法，但這一方法潛在地存在產(chǎn)生新型獨(dú)裁的可能性，在選擇中也會(huì)導(dǎo)致非理性的產(chǎn)生。

反例的出現(xiàn)說(shuō)明了I和P超出了傳統(tǒng)社會(huì)選擇理論的理性范圍，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家探討了選擇中的傳遞性問(wèn)題，研究表明，傳遞性假定并非總是合理的[5]，偏好可以是傳遞的，也可以不是傳遞的，在選擇中，應(yīng)該允許非傳遞性偏好關(guān)系的存在，甚至是有限的偏好循環(huán)[6]，以及在社會(huì)選擇中可以不考慮偏好關(guān)系的傳遞性問(wèn)題。

正因?yàn)槠藐P(guān)系傳遞性的破缺，需要重新考察偏好關(guān)系的傳遞性問(wèn)題，以確保理性因素在選擇過(guò)程中起主要作用，探究行動(dòng)主體決策背后的理性原則。在提出并刻畫(huà)分布式偏好之后，我們基于分布式偏好在選擇中的規(guī)則、條件，最后探討分布式偏好在選擇中的優(yōu)缺點(diǎn)。

二、分布式偏好的提出及刻畫(huà)

社會(huì)選擇可被表達(dá)為群成員偏好到單一群偏好的歸約，這樣，社會(huì)選擇可看做是個(gè)體選擇活動(dòng)的一種延伸。群選擇也是如此，個(gè)體選擇可以看做是只有一個(gè)成員的群選擇。

公共知識(shí)理論[7]認(rèn)為，如果P為群中某些成員的公共知識(shí)，P→Q是群中另外一些成員的公共知識(shí)，則根據(jù)演繹規(guī)則，Q是群成員的分布式知識(shí)（Distributed Knowledge）或分布式公共知識(shí)（Distributed Common Knowledge）。這一思想與社會(huì)選擇理論中偏好關(guān)系的傳遞性在某種程度上是一致的，面臨選擇時(shí)，如果群在群體成員偏好的基礎(chǔ)上對(duì)方案集{x，y，z}的群偏好為xRy、yRz，則如果不考慮群成員對(duì){x，z}偏好產(chǎn)生的群偏好，那么，依據(jù)R的傳遞性，群體對(duì)方案x、y的偏好應(yīng)是xRz。群偏好xRy和yRz只是依據(jù)某種規(guī)則，集結(jié)群成員偏好的結(jié)果，并非在所有的群成員那里都有xRy和yRz。當(dāng)群成員只有一個(gè)時(shí)，這時(shí)選擇成為個(gè)體選擇或單主體選擇，對(duì)于方案集{x，y，z}，如果行動(dòng)主體i有xRiy和yRiz，則根據(jù)R的傳遞性，行動(dòng)主體應(yīng)該有yRiz。

無(wú)論xRz和xRiz，都是由偏好關(guān)系的傳遞性得出的，與直接考察x與z間的關(guān)系無(wú)涉。由于傳統(tǒng)選擇理論要求方案間的偏好關(guān)系必需滿足傳遞性，則無(wú)論群成員有多少個(gè)，理論上或?qū)嵺`中都會(huì)產(chǎn)生偏好關(guān)系的循環(huán)，傳遞性不會(huì)被滿足。

根據(jù)公共知識(shí)理論與經(jīng)典社會(huì)選擇理論的一致性，我們提出分布式偏好（Distributed Preference），設(shè)X={x1，x2，x3，…，xi，…，xn，}為備選方案集，G={1，2，3，…，n}為一群體，R為G的偏好關(guān)系（相應(yīng)地P、I為G的嚴(yán)格偏好關(guān)系、無(wú)差異性關(guān)系），C{X}={xi}，i N為G的選擇函數(shù)；Ri為G成員i的偏好關(guān)系（相應(yīng)地Pi、Ii為G成員i的嚴(yán)格偏好關(guān)系、無(wú)差異性關(guān)系），Ci{X}= {xi}，i N為G成員i的選擇函數(shù)，則有：

定義2.1分布式偏好RD：x1，x2，x3∈X，若x1Rx2且x2Rx3，則x1RDx3；

定義2.2分布式偏好PD：x1，x2，x3∈X，若x1Px2且x2Px3，則；

定義2.3分布式偏好ID：x1，x2，x3∈X，若x1Ix2且x2Ix3，則x1IDx3；

定義2.4分布式偏好RiD：x1，x2，x3∈X，若x1Rix2且x2Rix3，則x1RiDx3；

定義2.5分布式偏好PiD：x1，x2，x3∈X，若x1Pix2且x2Pix3，則x1PiDx3；

其中定義1.、定義2.、定義3.是G的分布式偏好關(guān)系定義，定義4.、定義5.、定義6.是行動(dòng)主體i的分布式偏好關(guān)系定義。對(duì)G而言，如果G既存在偏好關(guān)系xRy，也存在偏好關(guān)系yRz，則xRDz為G的分布式偏好；對(duì)一行動(dòng)主體i，如果xRiy且 yRiz，則為i的分布式偏好。xIiDy=。RD和均滿足完全性和傳統(tǒng)意義上的傳遞性，即下列各式顯然成立：

公理2.1 xRDy∨yRDx；

其中公理2.1、2.1分別為G和行動(dòng)主體i的完全性公理。

分布式偏好關(guān)系是相對(duì)于經(jīng)典選擇理論偏好關(guān)系傳遞性（及其計(jì)算）的一種偏好關(guān)系，它的產(chǎn)生是建立在備選方案集X中方案至少存在3個(gè)的基礎(chǔ)上。如果備選方案集中方案數(shù)目少于3個(gè)，則由于備選方案集中方案間關(guān)系不滿足傳遞性的一般條件，方案間關(guān)系是經(jīng)典選擇理論意義上的偏好關(guān)系，分布式偏好不可能產(chǎn)生。

設(shè)N（X）為備選方案集X中方案數(shù)目，若用RD來(lái)分別表示PD和ID，用來(lái)分別表示和，則RD、產(chǎn)生的必要條件是當(dāng)且僅當(dāng)分別滿足：

條件2.1如果RD，則N（X）≥3；

條件2.2如果RiD，則N（X）≥3。

三、基于分布式偏好的選擇

根據(jù)分布式偏好關(guān)系產(chǎn)生的條件、分布式偏好的定義以及傳遞性的特性，下列各式顯然成立：

當(dāng)經(jīng)典偏好關(guān)系與分布式偏好關(guān)系同時(shí)存在時(shí)，可以依據(jù)上述各式進(jìn)行推導(dǎo)，來(lái)確定方案間的偏好關(guān)系。

我們稱基本的偏好關(guān)系為表示性偏好（Expressed Preference），即對(duì)于備選方案集{x，y}，如果選擇群體（或行動(dòng)主體i）形成偏好關(guān)系xRy（或xRiy），則xRy（或xRiy）為表示性偏好。表示性偏好就是傳統(tǒng)意義上或經(jīng)典選擇理論中二元對(duì)比（Parwise Comparison）形成的偏好關(guān)系，其形成的前提條件是備選方案集中方案數(shù)目為2。在選擇中，如果備選方案集中方案數(shù)目大于2，那么由于經(jīng)典傳遞性提供了一種便利條件，基于方案所形成的偏好關(guān)系，有些是表示性偏好，有些在實(shí)質(zhì)上是我們所定義的分布式偏好。

Luce給出的例子說(shuō)明[2]，對(duì)于喜歡無(wú)糖咖啡的人而言，x1Ixn是分布式偏好，而不是表示性偏好，表示性偏好與分布偏好出現(xiàn)了不一致。在這類(lèi)情景下，選擇群體或行動(dòng)主體的最終選擇顯示，表示性偏好在選擇中起關(guān)鍵作用，傳統(tǒng)意義上的傳遞性失去了決定性作用。

在許多情況下，表示性偏好與分布式偏好會(huì)出現(xiàn)一致的情況，即：

相應(yīng)地，可以給出表示性偏好與分布偏好反一致的定義：

則R與RD是準(zhǔn)一致的；

表示性偏好與分布偏好之間關(guān)系的最后一種情況是，有x1Rx2∧x2Rx3∧…xn-1Rxn，對(duì)于{x1，xn}X，沒(méi)有形成群偏好，且基于{x1，xn}群中成員存在不同的偏好關(guān)系，我們稱之為不可斷定性關(guān)系（混雜性關(guān)系）。由于偏好完全性公理，這一情形獨(dú)特地存在于群成員數(shù)目大于等于2的群選擇之中，定義如下：

相對(duì)于表示性偏好與分布偏好之間關(guān)系的反一致性，存在一種只在群選擇中出現(xiàn)的弱反一致性，定義如下：

當(dāng)表示性偏好與分布式偏好一致時(shí)，選擇的做出與經(jīng)典選擇理論相同的；當(dāng)表示性偏好與分布式偏好具有準(zhǔn)一致性時(shí)，雖然做出選擇時(shí)存在冒險(xiǎn)的可能性，但分布式偏好是建立在傳遞性基礎(chǔ)上的，我們認(rèn)為這種情況與一致性情況是相同的；而表示性偏好與分布偏好不一致時(shí)，選擇做出的準(zhǔn)則是表示性偏好，即根據(jù)表示性偏好來(lái)確定方案間的偏好關(guān)系。與經(jīng)典選擇理論相同，這里也假定選擇中群體成員或行動(dòng)主體是理性的，并且是誠(chéng)實(shí)的。

基于分布式偏好，令X={x，y，z}為備選方案集，對(duì)于G而言，C（X）、C|X（xRy）、C|X（xRDy）分別為X上的選擇函數(shù)、經(jīng)典選擇函數(shù)、分布式選擇函數(shù)，對(duì)于行動(dòng)主體i而言，Ci（X）、Ci|X（xRiy）、Ci|X（）分別為X上的選擇函數(shù)、經(jīng)典選擇函數(shù)、分布式選擇函數(shù)，其值依賴于間x與y的關(guān)系，我們給出如下選擇中遵循的條件（或規(guī)則）：

若表示偏示性偏好與分布式偏好具有不可斷定性關(guān)系時(shí)，選擇的做出需要構(gòu)造一個(gè)析出函數(shù)f，使得f（＆lt；RD，x1Rjxn＆gt；， xnRkx1）=RD或f（＆lt；RD，x1Rjxn＆gt；，xnRkx1）=xnRkx1，由于RD與x1Rjxn具有一致性，析出函數(shù)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為f（RD，xnRkx1）=RD或f（RD， xnRkx1）=xnRkx1，則C（X）=C（f（RD，x1Rkx1）），該函數(shù)的構(gòu)造依賴群體相關(guān)背景。

如果假定選擇中群成員是理性的，且具有部分成員對(duì)方案的考慮基于知識(shí)或高度信念之上，則弱反一致性情景的選擇與反一致性情景是相同的，即：

由上述可知，表示性偏好在選擇中起著重要作用，分布式偏好只是表示性偏好的一個(gè)參考條件，在此基礎(chǔ)上，傳遞性可以被認(rèn)為是滿足一致性和弱一致性的。由于傳統(tǒng)理論對(duì)二者沒(méi)有做出清晰的界定與考察，一些情況下能夠做出的選擇也被視為是存在問(wèn)題而不能做出的。分布式偏好提供了解決這一問(wèn)題的可能性，無(wú)論是把偏好關(guān)系看做是序關(guān)系，還是基于效用計(jì)算的一種期望效用間的基數(shù)關(guān)系，分布式偏好的引入能夠?qū)x擇困難或悖論做出合理解釋。

四、結(jié)語(yǔ)

依據(jù)分布式偏好的定義、公理、定理以及選擇條件，選擇方案的做出在傳統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上邁出了一步，但由于沒(méi)有完全考察析出函數(shù)在選擇中的作用，在一些選擇情景中，如果R與RD是不可斷定的，選擇的做出又會(huì)依賴于析出函數(shù)的構(gòu)建，這樣，分布式偏好在選擇中的作用會(huì)顯得有些弱化。

[1]De Baets B，de Walle B V，Kerre E.Fuzzy preference structures without incomparability[J]. Fuzzy Sets and Systems，1995（76），333—348.

[2]Luce R D. Semiorders and a theory of utility discrimination[J].Econometrica，1956（24），178—191.

[3]Armstrong W E.Utility and the theory ofwelfare[J]. Oxford Economic Papers，1951（3），259—271.

[4]Wang Z Y.Existence ofsatisfied alternative and the occurring of Morph-Dictator[A]. Proceedings of International Workshop on Logic， Rationality， and Interaction（LORI-II）[C].Heidelberg：Springer-Verlag， 2009.

[5]May K.O.Intransitivity，utility and the aggregation of preference patterns[J].Econometrica，1954（22），1—3.

[6]Schwartz T.Rationality and the myth of the maximum[J]. No?s，1972（2），97—117.

[7]Roelofsen F. Distributed Knowledge[J]. Journal of Non-classical Logics，2006（16），1—18.

責(zé)任編輯 呂學(xué)文

（E－mail：dalishi＿sohu＠sohu.com）

B81 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

A

1007－905X（2010）04－0093－04

2010-04-23

江蘇省規(guī)劃項(xiàng)目（08ZXB002）；國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（09BZ015）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃（CX09B_002R）

王志遠(yuǎn)（1974— ），男，河南襄城人，南京大學(xué)現(xiàn)代邏輯與邏輯應(yīng)用研究所博士研究生。