兩種接收機(jī)結(jié)構(gòu)的等效性證明

黃葆華 呂 晶

(解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院,江蘇南京 210007)

在“數(shù)字通信原理”課程的教學(xué)中,涉及到兩大類型的接收機(jī),一類是使用積分器(或匹配濾波器)的最佳接收機(jī)[1,2],另一類是使用低通濾波器的普通接收機(jī)[3,4]。以2PSK接收機(jī)為例,兩種類型的接收機(jī)結(jié)構(gòu)分別如圖1和圖2所示。

圖1 2PSK信號(hào)的最佳接收機(jī)

圖2 2PSK信號(hào)的普通接收機(jī)

比較圖1和圖2所示的這兩類接收機(jī)的組成可見(jiàn),圖1所示的最佳接收機(jī)在輸入端沒(méi)有帶通濾波器,來(lái)自信道中的噪聲由積分器濾除。對(duì)于噪聲而言,積分器起到低通濾波器的作用。同樣,圖2所示的普通接收機(jī)中也有低通濾波器,那么普通接收機(jī)能否像最佳接收機(jī)一樣可以去掉帶通濾波器?也就是說(shuō),去掉帶通濾波器后的普通接收機(jī)的誤碼性能是否會(huì)受到影響?目前的通信原理教材對(duì)此均無(wú)明確說(shuō)明和推導(dǎo)證明。為此,本文著重對(duì)無(wú)帶通濾波器的普通接收機(jī)結(jié)構(gòu)的誤碼性能進(jìn)行推導(dǎo),并與教材中的有帶通濾波器的普通接收機(jī)的誤碼率性能比較,證明兩種結(jié)構(gòu)在理論上是等效的。

1 有帶通濾波器的接收機(jī)誤碼性能[5]

圖2所示的2PSK接收機(jī)帶通濾波器的中心頻率為 fc、帶寬為Bbp=2/Ts,低通濾波器的帶寬為Blp=1/Ts,其中 Ts為二進(jìn)制碼元寬度。信道中噪聲n(t)為零均值高斯白噪聲,功率譜密度為n0/2。

設(shè)調(diào)制采用“1”變“0”不變規(guī)則。則當(dāng)發(fā)端發(fā)“1”碼時(shí),帶通濾波器輸入為

當(dāng)發(fā)端發(fā)“0”碼時(shí),帶通濾波器輸入為

“1”和“0”等概率時(shí),接收機(jī)的誤碼率為[5,6]

為便于比較,對(duì)上述接收濾波器輸入端的信噪比r進(jìn)行適當(dāng)變換:

2 無(wú)帶通濾波器的接收機(jī)誤碼性能

無(wú)帶通濾波器的2PSK接收機(jī)結(jié)構(gòu)如圖3所示。低通濾波器的帶寬及信道中的噪聲均與圖2中的相同。

圖3 無(wú)帶通濾波器的2PSK接收機(jī)

要想得到接收機(jī)的誤碼率,首先需要求得用于判決的變量的概率密度函數(shù)。

發(fā)“0”碼時(shí),接收機(jī)輸入為

與載波相乘后,送到低通濾波器,低通濾波器的輸入為

低通濾器的輸出為

其中h(t)為低通濾波器的沖激響應(yīng)。

已知n(t)是均值為0的高斯隨機(jī)變量,由隨機(jī)變量通過(guò)線性系統(tǒng)的性質(zhì)可知,n1(t)也是均值為0的高斯隨機(jī)變量。因此,xb(t)的瞬時(shí)值是一個(gè)高斯隨機(jī)變量,即用于判決的隨機(jī)變量是高斯分布的,其概率密度函數(shù)完全由其均值和方差決定。

現(xiàn)分別討論上式中的A和B的值:

(1)由帕塞瓦爾定理得到

設(shè)理想低通濾器傳輸特性的幅度為1,則有

通過(guò)沖激響應(yīng)為h2(t)的濾波器輸出。帶寬為Blp和幅度為1的理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為h(t)=2BlpSa(2πBlpt),由此可得

用傅氏變換得到其輸特性為三角特性。h2(t)及其對(duì)應(yīng)的傳輸特性如圖4所示。

圖4 沖激響應(yīng)與傳輸特性示意圖

由圖4所示的傳輸特性可見(jiàn),h2(t)這個(gè)沖激響應(yīng)所對(duì)應(yīng)的電路是個(gè)低通濾波器,高頻信號(hào)cos4πfct無(wú)法通過(guò)。因此B=0。

將A和B值代入式(3),得方差σ2=0.5n0Blp。所以發(fā)“0”時(shí),判決量是一個(gè)均值為 a/2、方差為σ2=0.5n0Blp的高斯隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為

同理可證明:當(dāng)發(fā)送“1”碼時(shí),用于接收機(jī)中判決的是一個(gè)均值為、方差為 σ2=0.5n0BLp的高斯隨機(jī)變量。其概率密度函數(shù)為

當(dāng)“1”和“0”等概時(shí),最佳判決門限為0,可計(jì)算出系統(tǒng)誤碼率為

對(duì)比(2)式與式(4)可見(jiàn),圖2與圖3所示接收機(jī)的理論誤碼性能是一致的。

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)推導(dǎo),證明有無(wú)帶通濾波器的這兩種接收機(jī)結(jié)構(gòu)在理論誤碼性能上是完全等效的。

在此需要說(shuō)明兩點(diǎn):①盡管上述推導(dǎo)是以2PSK為例的,但結(jié)論適用于其它信號(hào)的接收機(jī);②上述推導(dǎo)是在單信道環(huán)境下進(jìn)行的。在多信道的實(shí)際應(yīng)用環(huán)境下,接收機(jī)輸入端需要有帶通濾波器濾除鄰道干擾。因此,在這種情況下,不管是最佳接收機(jī)還是普通接收機(jī),輸入端都需要帶通濾波器。

[1] John G.Proakis.Digital Communications[M].北京:電子工業(yè)出版社,1998

[2] Simon Hay kin.Digital Communications[M].John Wiley and Sons,1988

[3] 沈振元等.通信系統(tǒng)原理[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2004

[4] 樊昌信等.通信原理[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2001

[5] 黃葆華等.通信原理[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2007