對數(shù)尺度影射的傳遞函數(shù)在直接體繪制中的應(yīng)用

陶龍風(fēng),蔣先剛

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院;江西南昌330013)

在體繪制中,傳遞函數(shù)是定出體數(shù)據(jù)與光學(xué)特征對應(yīng)關(guān)系的關(guān)鍵步驟,傳遞函數(shù)的設(shè)定對三維重構(gòu)圖像的質(zhì)量具有重要的作用。傳遞函數(shù)是原始三維數(shù)據(jù)場與賦予光學(xué)屬性的三維數(shù)據(jù)場之間的調(diào)節(jié)因素和關(guān)系表達(dá),也是控制三維數(shù)據(jù)在不同濃度區(qū)間的可見性的一個調(diào)節(jié)因素。傳遞函數(shù)設(shè)定的適度對三維成像質(zhì)量有著直接的影響。傳遞函數(shù)的圖形表達(dá)通常是關(guān)于數(shù)據(jù)場和光學(xué)權(quán)重因子的可編輯的二維圖形。本文針對傳遞函數(shù)可編輯圖的y坐標(biāo),提出了使用對數(shù)尺度的傳遞函數(shù)達(dá)到敏感區(qū)域具有更大的空間可操作性。

1 傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)定義

在體繪制中,傳遞函數(shù)將三維數(shù)據(jù)場的數(shù)據(jù)值轉(zhuǎn)換為光學(xué)成像參數(shù),建立了采樣點與光學(xué)特征之間的映射關(guān)系[1-2],它決定了體繪制的成像質(zhì)量。傳遞函數(shù)在數(shù)學(xué)上可以定義為三維數(shù)據(jù)場的數(shù)據(jù)屬性到光學(xué)屬性的映射

式中,Dn(n=1,2,…n)是傳遞函數(shù)的定義域,表示三維數(shù)據(jù)場的數(shù)據(jù)屬性,它可以是采樣點的數(shù)據(jù)值,如CT圖像的灰度值,也可以是局部采樣點數(shù)值計算的結(jié)果,如梯度幅值、二階方向?qū)?shù)等;Om(m=1,2,…m)是傳遞函數(shù)的值域,表示體素進(jìn)行可視化的光學(xué)屬性,如顏色(RGB)、不透明度(alpha)、陰影參數(shù)(Phong)等。τ表示數(shù)據(jù)屬性轉(zhuǎn)換為光學(xué)屬性的映射規(guī)則。按著映射規(guī)則通過灰度值和不透明度值而獲得體素的顏色[3],一條投影光線中的當(dāng)前點透明度值具有以下關(guān)系式

其中,αnew表示按著映射規(guī)則最新遇到的體素的不透明度值,式中左邊αacc根據(jù)傳遞函數(shù)的映射規(guī)則得到的新的不透明度值。

2 傳遞函數(shù)的設(shè)計

由式(1)可知,傳遞函數(shù)的定義域是數(shù)據(jù)屬性范圍。數(shù)據(jù)屬性可以分為局部數(shù)據(jù)屬性和全局?jǐn)?shù)據(jù)屬性。局部數(shù)據(jù)屬性可以是數(shù)據(jù)場中每一個采樣點所具有的屬性,也可以是采樣點與鄰居采樣點共同計算得到的數(shù)據(jù)值。全局?jǐn)?shù)據(jù)屬性是通過局部數(shù)據(jù)屬性計算得來的。如空間某點(X、Y、Z)的灰度值就是一種局部數(shù)據(jù)屬性,而灰度值統(tǒng)計得到的直方圖函數(shù)則顯然是一種全局的數(shù)據(jù)屬性,這些屬性通過傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換表現(xiàn)為光學(xué)成像參數(shù),即傳遞函數(shù)的設(shè)定能適度地多層次地改變?nèi)S重構(gòu)圖像質(zhì)量。

2.1 基于標(biāo)量值的傳遞函數(shù)

標(biāo)量值在數(shù)學(xué)中指的是只包含單純的數(shù)據(jù)屬性而不包含任何方向特性的數(shù)值,如一個點的坐標(biāo)值等。標(biāo)量值是最簡單、最常用的數(shù)據(jù)屬性,它是三維空間中多種不同物質(zhì)的測量結(jié)果。每個采樣點標(biāo)量值的大小取決于數(shù)據(jù)的來源,它具有一定的含意而用來區(qū)分不同的器官組織物質(zhì)。圖1為一人體頭部CT圖的灰度直方分布圖。對應(yīng)于骨骼、肌肉和腦髓等不同密度的物質(zhì)有不同的灰度值,可以根據(jù)灰度值標(biāo)量關(guān)系來定義顏色和不透明度傳遞函數(shù),將不同的灰度值或相同灰度范圍的物質(zhì)賦予同一種顏色或不透明度值。

圖1 人體頭部圖的灰度直方圖

2.2 基于梯度的傳遞函數(shù)

梯度幅值是另一種常用的數(shù)據(jù)屬性,它是一種基于邊界特征的屬性,它反映著各類型數(shù)據(jù)在邊界的交替程度和分布。在物質(zhì)的邊界處灰度值通常會發(fā)生突變,也即曲面場中所定義的局部極大值或極小值。標(biāo)量值改變的劇烈程度可以用梯度幅值來度量。在三維連續(xù)空間中,梯度幅值的計算公式為[4-5]

式中,f表示三維數(shù)據(jù)曲線,‖▽f‖表示“向量的?！?。三維數(shù)據(jù)場是由離散的采樣點組成的,因此采樣點的梯度幅值是通過采樣點與鄰近的采樣點的差分計算獲得的。圖2所示表達(dá)CT圖片中的梯度分布直方圖,在骨頭內(nèi)部區(qū)域由于灰度值基本是相同的,所以它們的梯度值基本是相同的,而骨頭與肌肉的交界處是骨頭與肌肉交錯曲面體的區(qū)域,這時灰度值就有較大的改變。

圖2 人體CT圖像的梯度分布直方圖

2.3 傳遞函數(shù)對渲染效果的作用

在三維數(shù)據(jù)場中,通常假設(shè)同一種組織具有相似的灰度值,不同的組織具有不同的灰度值,而不同組織之間的交融邊界的確定對清晰的多層次的三維重構(gòu)具有重要的作用。不同的組織之間的灰度界越區(qū)可以設(shè)成趨于全透明而達(dá)到多層次的器官組織顯示效果,通過K-均值聚類算法對圖像灰度進(jìn)行分類獲得各組織分界的關(guān)鍵點后,如果設(shè)定數(shù)據(jù)類傳遞函數(shù)在邊界點區(qū)域的不透明度值y調(diào)節(jié)區(qū)域為較小或梯度類傳遞函數(shù)的不透明度值y調(diào)節(jié)區(qū)域較小時,各層組織仿佛用透明體隔開,但這些關(guān)鍵點區(qū)域的細(xì)調(diào)y范圍常在歸一化的0.0～0.3之間,需借助對數(shù)曲線的區(qū)域等比性而將敏感區(qū)域進(jìn)行加大。

3 基于對數(shù)尺度的傳遞函數(shù)

依光學(xué)模型的成像原理可知,一條射線的各體素在投影面的最終成像是這條射線上許多體素的透明度和灰度值的綜合累計結(jié)果,這樣,敏感區(qū)域的各濃度和透明度的取值必然都比較小,要想在比較大的幾何區(qū)域調(diào)節(jié)這些精細(xì)的參數(shù),需將這個區(qū)域進(jìn)行仿射幾何變換[6-7],而幾何空間的對數(shù)變換滿足數(shù)值低端放大而高端壓縮的縱軸向幾何分布要求。

本文令d為三維數(shù)據(jù)體,ρd表示光密度(透明度值),dα表示密度。將均勻傳遞函數(shù)得到的值調(diào)整到歸一化后區(qū)間[0,1]的對數(shù)尺度傳遞函數(shù)的值域。我們可以得到線性傳遞函數(shù)的不透明度值α與對數(shù)尺度傳遞函數(shù)的α′之間的關(guān)系

這里α′是通過線性傳遞函數(shù)α得到傳遞函數(shù)的值,且α=max(ln d,1),要使對數(shù)尺度上的 α′返回到實際參加運算的α上,又可以根據(jù)公式(5)反變換得到

同理,α是通過對數(shù)傳遞函數(shù)α′算出傳遞函數(shù)的值。公式(6)是為了讓不透明度值的取值范圍控制在區(qū)間[0,1]內(nèi)。在具體的程序設(shè)計實現(xiàn)過程中,首先建立一個坐標(biāo)平面,x軸的坐標(biāo)從0到255的范圍,y軸的坐標(biāo)從0到1的范圍,然后當(dāng)鼠標(biāo)在坐標(biāo)平面移動時,通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的運算而獲得傳遞函數(shù)在各個區(qū)間的值。當(dāng)傳遞函數(shù)曲線的關(guān)鍵點被選取時,其平面上x值在兩個坐標(biāo)系中一致,僅僅對y軸的坐標(biāo)做了一個變換。即

圖3 均勻坐標(biāo)下灰度傳遞函數(shù)及重構(gòu)圖

同理,對梯度傳遞函數(shù)坐標(biāo)系進(jìn)行同樣的轉(zhuǎn)換,這時 x軸的取值為歸一化后的圖片的總體分布灰度值,即首先分別求出每個點的梯度值,然后求出這些梯度值的歸一化縱向值,不同坐標(biāo)系下對應(yīng)梯度下的透明度值如圖5、圖6所示。

從圖3到圖6中不難看出,在兩種傳遞函數(shù)坐標(biāo)體系下可以獲得基本相同的三維繪制效果圖,但是均勻坐標(biāo)下傳遞函數(shù)(圖3和圖5)中橫向與縱向的單位尺度變化是等同的,而根據(jù)光學(xué)模型的成像原理可知,關(guān)鍵區(qū)域的y值變化的合理調(diào)節(jié)通常在0.02～0.10這樣非常小的范圍內(nèi),這樣不利于在很小的范圍內(nèi)來很大幾何程度地改變y的值。相反,在對數(shù)坐標(biāo)下傳遞函數(shù)表示的圖(圖4和圖6)中,由于最敏感區(qū)域(0.0～0.3)上占有比較寬的范圍,這樣能在x很小的范圍內(nèi)來改變y的值,在較大幾何空間里增大y的靈敏度和可操作性,以獲得我們想要的精細(xì)的三維重構(gòu)效果。

圖4 對數(shù)坐標(biāo)下灰度傳遞函數(shù)及重構(gòu)圖

圖5 均勻坐標(biāo)下梯度傳遞函數(shù)的設(shè)定及重構(gòu)圖

圖6 對數(shù)坐標(biāo)下梯度傳遞函數(shù)的設(shè)定及重構(gòu)圖

4 結(jié)語

體繪制中的傳遞函數(shù)在清晰表達(dá)多層次三維數(shù)據(jù)中起著重要的作用,它可以清楚地顯示感興趣區(qū)域和它們的層次關(guān)系,揭示病變組織或細(xì)節(jié)部分。根據(jù)均值聚類方法可以定義出各組織分類的分界點,而設(shè)定這些分界點的附近點的透明度值為較大可調(diào)節(jié)空間時就將各類組織方便而清晰地分開來,而細(xì)節(jié)部分的顯示最終可通過對數(shù)傳遞函數(shù)關(guān)鍵點的調(diào)節(jié)來達(dá)到,三維重構(gòu)效果圖的質(zhì)量有很大幅度的提高。在縱軸的對數(shù)坐標(biāo)映射關(guān)系可設(shè)計多層次的,即在縱軸[0,1]區(qū)間設(shè)計2-3個對數(shù)映射關(guān)系以達(dá)到最佳傳遞函數(shù)的調(diào)節(jié)。如果在x方向關(guān)鍵點區(qū)域再進(jìn)行彩色拉伸,同時配合對數(shù)仿射來調(diào)節(jié)傳遞函數(shù)的不透明度值,將會更加提高三維重構(gòu)圖像質(zhì)量。

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