提高級(jí)配指標(biāo)計(jì)算精度方法研究

莫林利,趙秀紹

(華東交通大學(xué) 1.軟件學(xué)院;2.土木建筑學(xué)院,江西 南昌 330013)

顆粒分析試驗(yàn)是測(cè)定干土中各種粒組所占該土總土質(zhì)量的百分?jǐn)?shù)的方法,借以明確顆粒大小的分布情況,供土的分類、判斷土的工程性質(zhì)及選料之用。傳統(tǒng)方法采用人工計(jì)算,手工繪制級(jí)配曲線,需要花費(fèi)一定的時(shí)間且易出錯(cuò),近年來(lái)工程人員對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)并逐漸實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)軟件輔助計(jì)算。黃碧霞[1]利用數(shù)字圖像處理分析了粗集料顆粒的大小分布,采用Visual Basic編制了有針對(duì)性的數(shù)字圖像處理DIP程序以獲得級(jí)配曲線。丁麗萍[2]嘗試編寫應(yīng)用軟件替代人工分析,闡述了開發(fā)顆分應(yīng)用軟件的思路和原理。潘福營(yíng)[3]利用EXCEL軟件可以自動(dòng)進(jìn)行計(jì)算并自動(dòng)生成相應(yīng)的顆粒分析級(jí)配曲線,具有快速、準(zhǔn)確、節(jié)省工作量的效果。戴清等[4]在標(biāo)準(zhǔn)方程、疊加擬合方程等相關(guān)方法的基礎(chǔ)上,推薦了一個(gè)泥沙顆粒級(jí)配曲線方程,該方程考慮了泥沙的非均勻性。封光寅等[5]通過(guò)理論分析和研究,論述了不同種泥沙顆粒級(jí)配曲線的適用性與有關(guān)特征值之間的關(guān)系,同時(shí)還介紹了一種新的泥沙顆粒級(jí)配曲線繪制方法。

以上研究表明,有些程序或軟件已經(jīng)能非常好的完成土粒級(jí)配曲線的繪制,但基于級(jí)配曲線自動(dòng)求得土的不均勻系數(shù)Cu與曲率系數(shù)Cc在目前的研究中還比較少見,仍需要進(jìn)一步研究。

1 級(jí)配曲線的傳統(tǒng)作圖法[6-7]

當(dāng)顆粒分析試驗(yàn)完成后,首先計(jì)算小于某粒徑試樣質(zhì)量占試樣總質(zhì)量的百分比。以表1中樟樹八景鎮(zhèn)貨場(chǎng)工程土樣篩分?jǐn)?shù)據(jù)為例。然后以小于某粒徑的試樣質(zhì)量占試樣總質(zhì)量的百分比(p/%)為縱坐標(biāo),以顆粒粒徑(d/mm)為橫坐標(biāo),在單對(duì)數(shù)坐標(biāo)上繪制顆粒大小分布曲線,如圖1所示。

在級(jí)配曲線上分別查得d60、d30、d10(其含義為小于對(duì)應(yīng)粒徑的土含量占總土質(zhì)量的百分比分別為60%、30%、10%),按以下公式計(jì)算不均勻系數(shù) Cu與曲率系數(shù)Cc:

表1 樟樹八景鎮(zhèn)貨場(chǎng)工程土樣篩分?jǐn)?shù)據(jù)表

式(1)和(2)中,d60,d10,d30—粒徑分布曲線的縱坐標(biāo)上p等于60%,10%,30%時(shí)對(duì)應(yīng)的粒徑。

當(dāng)Cu＞5且 Cc在 1～3時(shí),土樣為級(jí)配良好的土。其對(duì)路基填料定名非常重要,例如級(jí)配良好的礫砂為A級(jí)填料,級(jí)配不良的礫砂為B級(jí)填料。由于在坐標(biāo)紙上讀d60,d30,d10時(shí)受人為因素影響較大,造成計(jì)算精度較低。

圖1 作圖法對(duì)應(yīng)的級(jí)配曲線

2 幾種常見數(shù)解法的對(duì)比

2.1 線性插值

若各點(diǎn)間采用線性插值,則相當(dāng)于用直線把相鄰兩點(diǎn)連接起來(lái),和Excel中的折線圖類似,但違反了土工試驗(yàn)規(guī)范中用光滑曲線連接的原則,作圖報(bào)告不美觀,計(jì)算級(jí)配指標(biāo)時(shí)會(huì)造成較大的偏差。

2.2 多項(xiàng)式擬合

在作圖法的基礎(chǔ)上,林軒昌在“顆粒分析試驗(yàn)中特征粒徑對(duì)應(yīng)的土質(zhì)量百分?jǐn)?shù)的擬合計(jì)算”[8]一文建議顆粒分配曲線可采用4次多項(xiàng)式擬合提出了數(shù)解法,大大提高自動(dòng)化程度。在樟樹八景鎮(zhèn)貨站工程土樣應(yīng)用中發(fā)現(xiàn),4次多項(xiàng)式擬合時(shí)有許多點(diǎn)不在曲線上,當(dāng)提高多項(xiàng)式次數(shù)時(shí),擬合曲線線形起伏變化大,出現(xiàn)了更大的偏差,見圖2中的(a)(b)。

圖2 土樣級(jí)配曲線多項(xiàng)式擬合情況

由圖2(a)、(b)可知,利用多項(xiàng)式擬合求解 Cu與Cc時(shí),可能出現(xiàn)較大的偏差,特別是Cu接近于5,Cc接近于1或3時(shí),嚴(yán)重時(shí)可能影響填料定名。

2.3 Lagrange插值與分段拋物線插值

將線性插值法應(yīng)用于非線性函數(shù)的數(shù)據(jù)中,顯然計(jì)算精度不能滿足要求,或者說(shuō)用直線逼近曲線造成的誤差較大,尤其當(dāng)兩個(gè)插值結(jié)點(diǎn)相距較遠(yuǎn)時(shí)。為了提高精度,可采用Lagrange插值法。Lagrange插值法是n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)的多項(xiàng)式計(jì)算方法,可分為直接Lagrange插值與一元三點(diǎn)Lagrange(分段拋物線插值),相對(duì)于多項(xiàng)式擬合,其可保證各個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)均在直線上,但其采用了分段插值,易造成級(jí)配曲線的不連續(xù),如圖3所示。

圖3 Lagrange插值的非連續(xù)性

3 三次樣條函數(shù)插值原理及在級(jí)配曲線中的應(yīng)用

Lagrange插值方法一般具有較高的精度,但當(dāng)插值點(diǎn)增多時(shí),所得插值曲線往往會(huì)帶來(lái)插值的不穩(wěn)定性(曲線非連續(xù)或結(jié)點(diǎn)處不光滑)。樣條函數(shù)插值既能保證結(jié)點(diǎn)處曲線連續(xù),又能保證結(jié)點(diǎn)處有一階和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。從工程角度上講,這個(gè)樣條函數(shù)已相當(dāng)光滑。

3.1 樣條插值方法原理

對(duì)給定的插值序列(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)有n+1個(gè)插值結(jié)點(diǎn)x0＜x1＜…xn,其對(duì)應(yīng)函數(shù)值為y0,y1,…yn,若在[a,b]上插值函數(shù)滿足下面3個(gè)條件:

(1)插值條件,即

(2)連接條件,即在整個(gè)區(qū)間[x0,xn]上,結(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,2,…,n-1)處具有一階和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

(3)在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上S(x)都是三次多項(xiàng)式,則稱函數(shù)S(x)為三次樣條函數(shù),具體推導(dǎo)過(guò)程不再詳述。

3.2 工程應(yīng)用

本程序在Visual Basic程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言環(huán)境下實(shí)現(xiàn)。設(shè)Public Function YangTiao(X()As Double,Y()As Double,X1 As Double)As Double為Visual Basic中已經(jīng)編制好的樣條函數(shù),以篩分標(biāo)準(zhǔn)篩粒徑lg d作為數(shù)組d(),以小于標(biāo)準(zhǔn)篩粒徑土所占百分比為p(),以K作為d的插值,YangTiao返回K插值后小于K所對(duì)應(yīng)的百分?jǐn)?shù)值,為雙精度型。其調(diào)用方法可以通過(guò)以下循環(huán)調(diào)用:

For K=d(0)To d(UBound(d))Step 0.001'樣條曲線擬合

Y1=YangTiao(d(),p(),K)

Picture1.PSet(K,Y1)

Next

調(diào)用后得到插值序列(di,pi),然后把插值后的點(diǎn)順次連接起來(lái),則可得到光滑的級(jí)配曲線,如圖4所示。

圖4 樣條曲線插值所得級(jí)配曲線圖

圖5 病態(tài)級(jí)配曲線

3.3 指標(biāo)求解與修正

要求解Cu與Cc,須先求解d60,d30,d10,對(duì)于YangTiao函數(shù),考慮到是半對(duì)數(shù)坐標(biāo),可以反向調(diào)用樣條函數(shù)求解。此時(shí),以p()為插值數(shù)組,d()為被插值數(shù)組,反向插值程序如下所示。

d60=10?YangTiao(p(),d(),60)

d30=10?YangTiao(p(),d(),30)

d10=10?YangTiao(p(),d(),10)

按照以上程序從級(jí)配曲線上可以精確求出d60,d30,d10后,可按公式(1)、(2)求解Cu與Cc。

當(dāng)每個(gè)粒組都有相當(dāng)數(shù)量的土粒不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題,但當(dāng)某兩粒徑間的土粒質(zhì)量為0時(shí)或數(shù)量很小時(shí),樣條曲線會(huì)出現(xiàn)反曲病態(tài)現(xiàn)象。例如表1,粒徑為10 mm的篩上土質(zhì)量為0 g,則會(huì)出現(xiàn)如圖5所示的情況。

從圖5中可看出,樣條曲線不是單調(diào)的增函數(shù),此時(shí)若采用樣條函數(shù)插值,可能對(duì)應(yīng)的曲線上有兩個(gè)粒徑對(duì)應(yīng) d60,造成求解失敗。因此,已經(jīng)不能用樣條函數(shù)反求d60,且所得級(jí)配曲線也是病態(tài)的。

可以采用下述方法解決。在從小粒徑d1向大粒徑d2作曲線時(shí),當(dāng)發(fā)現(xiàn)大粒徑對(duì)應(yīng)的p2小于p1時(shí),取p2=p1,則不會(huì)出現(xiàn)反曲病態(tài)曲線,但此時(shí)仍不能用反向插值法求解d60,d30,d10。

下面以求解d60為例,當(dāng)進(jìn)行樣條曲線擬合插值時(shí),可以設(shè) delt60=1,當(dāng)某個(gè)粒徑插入的值 Y1與60%最接近時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的K值就近似為d60,算法設(shè)計(jì)流程圖如圖6所示?？梢杂孟铝姓Z(yǔ)句實(shí)現(xiàn)以上算法:

delt60=1:d60=0

For K=d(0)To d(UBound(d))Step 0.001'樣條曲線擬合,0.001為插入計(jì)算步長(zhǎng)

圖6 修正法程序流程圖

采用最佳逼近算法是一種近似算法,它和直接反向插值法都可解決作圖法估讀數(shù)字不唯一問(wèn)題,但它可以解決樣條函數(shù)非單調(diào)時(shí)求解失敗問(wèn)題,表2是兩種方法的比較。

表2 級(jí)配曲線正常情況下兩種方法的比較

表2中的數(shù)據(jù)表明反向插值法與最佳逼近法有時(shí)有相當(dāng)大的差距,通過(guò)圖5表明,反向插值法可能在某些點(diǎn)出現(xiàn)病態(tài),特別是兩點(diǎn)的p相差不大時(shí)。對(duì)于求解步長(zhǎng),通過(guò)表2表明,步長(zhǎng)越小,精度越高,可以取0.00001。

4 結(jié)論

在比較各種擬合的基礎(chǔ)上,確定了樣條函數(shù)擬合的方法;提出了對(duì)于單調(diào)樣條函數(shù)可利用反向插值求解 d60、d30、d10然后求解 Cu與Cc;

對(duì)于非單調(diào)函數(shù),可能出病態(tài)曲線,提出了最佳逼近算法,解決了不能插值問(wèn)題。并給出了在Visual Basic編程環(huán)境下的主要功能代碼。

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