EGARCH模型在VaR中應(yīng)用

李純凈, 董小剛*, 張朝鳳

(1.長春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,吉林長春 130012;2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林長春 130012)

1 模型的理論分析與建立

金融市場波動性和風(fēng)險的加劇,導(dǎo)致了金融市場風(fēng)險管理的必要性。證券風(fēng)險是金融市場風(fēng)險管理的重要方面,它是指未來證券價格或收益的不確定性或波動性。證券風(fēng)險管理的基礎(chǔ)和核心是對風(fēng)險的定量分析和評估。近年來,風(fēng)險價值成為金融界廣泛認可的一種度量金融風(fēng)險的工具。在金融時間序列里,收益率的分布存在著尖峰厚尾性,股票的價格波動還存在有杠桿效應(yīng)。收益的波動不僅隨時間波動,而且常常會出現(xiàn)波動聚集現(xiàn)象,即一次大的波動后伴隨著較大幅度的波動,一次小的波動后伴隨著較小幅度的波動。從統(tǒng)計學(xué)上看,這樣的序列往往存在著異方差現(xiàn)象。為捕獲金融時間序列的波動集群性,Bollerslev于1986年在ARCH模型中增加了自回歸項,對ARCH模型的條件方差函數(shù)進行拓展,使待估參數(shù)大為減少,從而模型的識別和估計都變得比較容易。由于杠桿效應(yīng)的存在,導(dǎo)致了股市中的非對稱性,即股價的下跌要比股價的上漲引起更大的波動。為捕獲這種非對稱性因子,又衍生了一種新的ARCH類模型,即Nelson提出的EGARCH模型。應(yīng)用EGARCH模型對條件異方差的估計和預(yù)測效果要比其它模型更好些。以上模型雖然同時考慮了金融時間序列的波動集群性及其分布的尖峰厚尾特征對VaR估計的影響,但研究表明,通?；谡龖B(tài)分布和t分布假定下的VaR參數(shù)法在一定置信水平下計量風(fēng)險時會嚴重低估風(fēng)險;同時,用廣義誤差分布(GED)來描述收益率的厚尾特征,計算結(jié)果比較精確,但是計算量大,比較繁瑣。文中在EGARCH模型的基礎(chǔ)上,提出了基于EGARVCH-VaR的半?yún)?shù)方法,并且與正態(tài)分布和 t分布假設(shè)下的GARCH模型的VaR計量方法進行比較,通過實證分析,并利用后驗測試,表明其對風(fēng)險價值的測度優(yōu)于正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的GARCH模型的VaR計量方法。

在GARCH模型中,要考慮兩個不同的設(shè)定:一個是條件均值,另一個是條件方差。

標準的GARCH(1,1)模型為:

式(1)給出的均值方程是一個帶有誤差項的外生變量函數(shù)。由于σ2t是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測方差,所以被稱作條件方差,式(2)也被稱作條件方差方程。

式(2)中給出的條件方差有3個組成部分:

1)常數(shù)項 ω;

2)用均值方程的殘差平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息(ARCH項);

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的自回歸項,GARCH項(括號中的第1項)和階數(shù)為1的動平均項,ARCH項(括號中的第2項)。GARCH模型都是通過極大似然函數(shù)方法估計的,如果假定誤差服從條件正態(tài)分布,那么GARCH(1,1)模型在t時刻的對數(shù)似然貢獻為:

其中

GARCH(1,1)模型的這種設(shè)定通?？梢栽诮鹑陬I(lǐng)域得到解釋。因為代理商或貿(mào)易商可以通過建立長期均值的加權(quán)平均(常數(shù))、上期的預(yù)期方差(GARCH項)和在以前各期中觀測到的關(guān)于變動性的信息(ARCH項)來預(yù)測本期的方差。

在上面假設(shè)ut的條件方差分布可以是正態(tài)分布,學(xué)生t分布或廣義誤差分布,但是還可以進行更大的拓展。進一步的改進是允許σ2t和ut具有比前面假設(shè)的二次方程映射更加靈活的關(guān)系。EGARCH模型就是在這種思想上發(fā)展起來的。EGARCH模型中的條件方差方程為:

等式左邊是條件方差的對數(shù),這意味著杠桿影響是指數(shù)的,而不是二次的,所以條件方差的預(yù)測值一定是非負的。杠桿效應(yīng)的存在能夠通過γ＜0的假設(shè)得到檢驗。只要γ≠0沖擊的影響就存在非對稱性[1-2]。

VaR(Value at Risk)即風(fēng)險價值,其含義是指在給定的時間間隔、置信水平及正常的市場條件下,資產(chǎn)價值的潛在期望損失:

VaR表示為:

文中ω0為股票指數(shù)的初始值,在此標準化為1。為保證計算的精確性,討論測度期限為1日的VaR:

半?yún)?shù)方法是參數(shù)法和非參數(shù)法的混合體,它的提出主要針對解決收益序列的分布問題。半?yún)?shù)法的主要思想就是利用參數(shù)的方法得到樣本數(shù)據(jù)的條件標準差,然后使用非參數(shù)的方法得到樣本數(shù)據(jù)分布的分位數(shù),進而利用二者的乘積得到風(fēng)險價值的估計。其計算步驟為:

步驟1,利用收益序列構(gòu)造EGARCH模型,得到均值方程,然后進行模型參數(shù)估計,并求解收益序列的條件標準差。

步驟2,利用非參數(shù)方法的倒分位數(shù),即在一定的置信水平下,將收益序列按由小到大的順序進行排列,找出第1%的樣本總數(shù)各樣本點的數(shù)值。這個數(shù)值就是期限為1日,99%置信水平下的VaR值。直接利用樣本數(shù)據(jù)求解收益序列的標準差σt,得到一定置信水平下的分位數(shù):

步驟3,計算收益序列的VaR,通過步驟1得到的條件標準差和步驟2得到的分位數(shù),利用式(8)計算得到一定置信度下收益序列每天的VaR。VaR是一個統(tǒng)計估計值,其準確程度受到估計誤差的影響,故需進行嚴格的檢驗。通常的檢驗準則是通過“失敗率”來檢驗的。記錄實際發(fā)生的損失,然后計算超過VaR的次數(shù)(或者天數(shù))比例是否大于設(shè)定的置信度。它是指檢驗VaR模型的計算結(jié)果對實際損失的覆蓋程度。選取樣本期內(nèi)所有交易日內(nèi)的VaR與同期實際收益r進行對比,計算溢出天數(shù)X:

然后計算溢出率:

將E值與置信水平1-c進行比較,來判定模型的準確性。若E＞1-c,說明模型低估了風(fēng)險;若E＜1-c,表明模型的預(yù)測結(jié)果覆蓋了實際的損失。如果 E太小,則表明模型估計過于保守[3]。

文中以銀泰股份2006年1月1日至2009年6月4日的每日收盤價為分析對象,對我國股票市場風(fēng)險進行實證分析,共有770個交易數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源于大智慧軟件。

文中采用Eviews軟件和Excel對數(shù)據(jù)進行實證分析[4-5]。

2 模型的實證分析

股票指數(shù)的收益率形式采用自然對數(shù)收益率形式 ,即:

利用軟件計算出收益數(shù)據(jù)序列的基本統(tǒng)計量值,得到如下結(jié)果:

1)樣本偏度值為-0.482,表明收益率序列分布左偏,樣本峰度值為4.687,大于標準正態(tài)分布的峰度值3,表明對數(shù)收益率分布具有尖峰性。說明收益率序列分布具有尖峰厚尾特征。

2)Jarque-Bera正態(tài)性檢驗值為121.004,P值為0,說明在極小的水平下,收益序列顯著異于正態(tài)分布。

3)進一步研究數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性,對數(shù)據(jù)進行單位根檢驗。

然后用Eviews軟件計算出收益率序列單位根檢驗的結(jié)果,收益序列的ADF值為187.558,P值為0,結(jié)果很顯著。

在軟件上繼續(xù)計算出收益序列的單位根檢驗,得到1%的Mackinnon臨界值為-3.439,t統(tǒng)計量值為-23.831,P值為0,拒絕存在單位根的假設(shè),這說明收益序列是平穩(wěn)的。

最后對收益數(shù)據(jù)進行自相關(guān)檢驗,得到結(jié)果收益序列平方相關(guān)檢驗的置信度小于0.05,收益序列的平方表現(xiàn)出很強的自相關(guān),說明不同時期觀察值之間存在非線性關(guān)系,收益率的波動有集群性[6-8]。

3 模型的參數(shù)估計

根據(jù)樣本對數(shù)收益數(shù)據(jù),對EGARCH模型進行參數(shù)估計,結(jié)果見表1。

表1 EGARCH模型的參數(shù)估計結(jié)果

在表1的輸出結(jié)果中,C(2)代表了式(5)中的常數(shù)項 ω;C(3)系數(shù) α;C(4)是式(5)中的非對稱系數(shù) γ;C(5)代表了式(5)中 ln()項系數(shù) β。

從表1中參數(shù)結(jié)果可以看出:

1)ω的值很小,反映出市場的風(fēng)險很大。

2)α大于0,說明實際股票波動呈現(xiàn)集群性現(xiàn)象,即過去的波動擾動對市場未來波動有著正向而減緩的影響,較大幅度的波動后面一般緊接著較大幅度的波動,說明股市參與者投機性較強。

3)由于模型中α+β的值大于1,說明波動具有持久性,當(dāng)前信息對預(yù)測未來的條件方差很重要。

4)非對稱效應(yīng)參數(shù)γ為負,說明在我國證券市場中,負收益率沖擊所引起的波動大于同等程度的正沖擊所引起的波動,即存在明顯的“杠桿效應(yīng)”,“利空信息”能比等量的“利好信息”產(chǎn)生更大的波動:當(dāng)出現(xiàn)“利好信息”時,會給條件方差的對數(shù)帶來一個0.204(=0.226+(-0.022))倍的沖擊;而出現(xiàn)“利空消息”時則會給條件方差的對數(shù)帶來一個0.248(=0.226+(-0.022)×(-1))倍沖擊。同時,也表明EGARCH(1,1)對收益率分布的擬合好于GARCH(1,1)模型[9-10]。

4 模型的后驗測試

根據(jù)所建立的EGARCH(1,1)模型計算得到的σt,利用式(9)計算出分位數(shù)zα,然后將二者代入式(8),得到VaR值。該值給出了銀泰股份的股票市場價格指數(shù)在置信水平99%水平下的最大損失下界,然后進行后驗測試。

在本實例中,基于EGARCH模型半?yún)?shù)方法估計的VaR值的計算結(jié)果見表2。

表2 基于EGARCH模型的半?yún)?shù)法計算的VaR值

由表2可以看出,分位數(shù)Zα值為-2.142,結(jié)合VaR值,計算出實際收益低于VaR的天數(shù)為10 d,溢出率為1.3%。

在正態(tài)分布和 t分布假設(shè)下的GARCH(1,1)模型的VaR計量方法的計算結(jié)果見表3。

表3 基于正態(tài)分布和t分布假定下GARCH(1,1)模型計算的VaR值

從表2可以看出,在99%的置信水平下,EGARCH模型的溢出率為 1.3%,接近于 1%(=1-99%);由表 3可以看出,在正態(tài)分布下GARCH模型計算的VaR值的溢出率為6.2%,而t分布下的溢出率為7.8%,遠遠大于1%。表明在正態(tài)分布和t分布下的GARCH模型在計量風(fēng)險時嚴重低估風(fēng)險,而基于EGARCH模型的半?yún)?shù)法,預(yù)想實際收益低于VaR的比例1%時,按照半?yún)?shù)方法計算的結(jié)果,有1.3%的實際收益損失值大于VaR,與1%較為接近,得到的VaR值較為穩(wěn)健和精確。

5 結(jié) 語

1)實證分析表明,資產(chǎn)的收益率不是正態(tài)分布的,而是尖峰厚尾的,并且波動具有聚集性,存在杠桿效應(yīng)。即在股票市場中,我們經(jīng)常可以看到這樣的現(xiàn)象:預(yù)期的看空或利空消息出臺等負面沖擊要比預(yù)期看多或利好消息出臺等正面沖擊對大盤股指波動的影響更為劇烈,即股市下跌的反應(yīng)要比股市上漲的反應(yīng)更為迅速,表現(xiàn)出一種非對稱效應(yīng),這種效應(yīng)也被稱為“杠桿效應(yīng)”。我國股市亦存在這種非對稱沖擊效應(yīng),它顯現(xiàn)出投資者的投資理念不強,信心不足。

2)由于受到市場發(fā)展水平、參與者成熟程度以及對利空和利好信息的反應(yīng)差異等諸多因素的影響,收益率序列往往不是對稱分布,而是呈現(xiàn)出不同程度的左偏和右偏,而一般的研究沒有充分考慮收益率的分布特征,往往簡單地假定為正態(tài)分布,雖然學(xué)生t分布能夠較好地描述收益率尖峰厚尾的特征,廣義誤差分布綜合了正態(tài)分布和學(xué)生t分布的特點,能夠更加靈活地反應(yīng)尾部特征,但這3種分布終究是對稱分布,很難在偏態(tài)分布的情況下得到參數(shù)的準確估計。

3)對基于EGARCH-VaR的半?yún)?shù)方法與正態(tài)分布的和t分布假設(shè)下的GARCH模型的VaR計量方法進行比較,表明前者對風(fēng)險價值的測度優(yōu)于正態(tài)分布和t分布假設(shè)下GARCH模型的VaR計量方法。

4)對基于EGARCH模型的風(fēng)險計量模型考慮到收益率的時變異方差性和“杠桿效應(yīng)”,計算得到的VaR值更穩(wěn)健和精確。

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