極大子群的θ－偶

張新建

(1.淮陰師范學院數(shù)學科學學院，江蘇 淮安223300;2.蘇州大學數(shù)學科學學院，江蘇蘇州215006)

0 引言

群的概念在數(shù)學的許多分支中都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支有重要影響。群論的重要性還體現(xiàn)在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法進行建模，因此，群論在物理學和化學中有大量的應用。在文獻［1］中，作者介紹了極大子群的θ－偶的定義，并利用極大子群的θ－偶來研究群的結構，此后，很多學者對此概念進行了研究，本文進一步進行了探討，得到有限群是可解和超可解的一些新的描述。

本文只涉及有限群，H?G表示H是群G的正規(guī)子群，π(G)表示|G|的素因子的集合，為了敘述方便，我們定義集合:X(G)={M＜G||G:M|非素數(shù)方冪}。下面我們將給出本文主要結論所需要的定義和引理。

1 定義和引理

定義1 設M是有限群G的極大子群，則G的子群對(C，D)稱為M的θ－偶，如果(C，D)滿足以下三個條件:

(1)D?G，D ＜ C;

(2)〈M，C〉 =G，〈M，D〉 =M;

(3)C/D不包含G/D的真正規(guī)子群。

此外，如果C?G，則(C，D)稱為正規(guī)θ－偶。θ－偶(C，D)稱為極大的，如果不存在θ－偶(C＇，D＇)使得 C ＜ C＇。

引理1 設M為群G的極大子群，(C，D)是M的一個極大θ－偶。令C＇=CMG， 是一個群類(其中的元對于子群和同態(tài)像是閉的)。則下列結論成立:

(1)存在M的極大θ－偶(K，MG)使得K≤C＇。

(2)如果C/D∈ 則K/MG∈ 。

引理2 設M為群G的極大子群，(C，MG)是M的一個極大θ－偶。則對于G的任意包含在M中的正規(guī)子群N，都有(C/N，MG/N)是M/N的一個極大θ－偶。

引理3 假設群G為非可解群，M為G的極大子群且MG=1，G有唯一極小正規(guī)子群N，N是非可解的。如果(C，MG)=(C，1)是M的一個極大θ－偶且C是超可解的，則C是G的極大子群。

引理4 設H為群G的冪零Hall子群但不是Sylow子群。假若對于|G|的任一素因子p，H的Sylow p－子群P滿足NG(P)=H，那么存在K?G使得G=KH且KH=1。

引理5 有限群G可解，當且僅當G有一個可解極大子群M在G中是c－正規(guī)的。

引理6 設H為群G的極大子群。若H冪零，且H的Sylow 2－子群的冪零類≤2，則G可解。

引理7 假設群G為非可解群，M為G的極大子群且MG=1，G有唯一極小正規(guī)子群N，N是非可解的。如果(C，MG)=(C，1)是M的一個極大θ－偶且C是冪零的，則C是G的極大子群且C是G的Sylow 2－子群。

證明 首先由假設及引理3可知，C是G的極大子群。顯然由非可解且N是G的唯一極小正規(guī)子群可知CG=1。如果有素數(shù)p能使1＜Cp＜Gp，這里Cp與Gp分別是C與G的Sylow子群。由冪零群性質得

C＜NG(Cp)≤G。

由C的極大性知Cp?G，這與CG=1矛盾，所以C是G的Hall子群。如果C不是G的Sylow子群，則對一切素數(shù)p均有C＜NG(Cp)≤G。又因為CG=1，所以對一切|C|的素因子p總有NG(Cp)=C，由引理4可知，存在K?G使得

G=KC且K∩C=1。

于是由假設可得C是G的冪零c－正規(guī)極大子群，由引理5可知G是可解的，與假設矛盾。所以C是G的Sylow p－子群，而p是某個素數(shù)。如果p是奇素數(shù)，則由引理6可得G是可解的，又與假設矛盾。所以p=2，即C是G的Sylow 2－子群。結論得證。

引理8 設P為p－群，p是奇素數(shù)，H為指數(shù)pn的子群，而X為H的正規(guī)補且為初等交換的。如果P含有元素y使得P=〈y〉H，則n=1。

2 主要結果

我們知道如果群G超可解，則G的每個極大子群在G中的指數(shù)是素數(shù)，如果群G可解，則G的每個極大子群在G中的指數(shù)是素數(shù)方冪。在文獻［1］和文獻［6］中作者用指數(shù)為合數(shù)的極大子群的θ－偶的性質研究了群G的可解性。在此，我們將用更小范圍的極大子群的θ－偶來判斷群G的可解性，有如下結論:

定理1 設G群是PSL(2，7)－無關，則下列結果等價:

(1)G可解;

(2)對每個X(G)中元M，存在一個極大θ－偶(C，D)使得C/D冪零且G=CM;

(3)對每個X(G)中元M，存在一個極大θ－偶(C，D)使得C/D冪零且其Sylow 2－子群的冪零類至多為2。

證明 假設對每個X(G)中元M，存在一個極大θ－偶(C，D)使得C/D冪零且G=CM。我們需證明G是可解的。

假設結論不成立且G是滿足條件的極小階反例。首先由假設G是PSL(2，7)－無關，可知X≠?。令N是G的一個極小正規(guī)子群，考慮商群G/N。假設M/N是X(G/N)中的任一元，則|G:M|=|G/N:M/N|非素數(shù)方冪，從而M∈X(G)，于是由假設存在一個極大θ－偶(C，D)使得C/D冪零且G=CM，從而由引理1和引理2可知G/N滿足假設條件，由歸納可得G/N可解。因為可解群系是飽和群系，所以N是G的唯一極小正規(guī)子群，且N非可解。

令M是X(G)中的任意元，如果MG≠1，則由N的唯一性可得N≤MG，從而M/N是G/N的極大子群，由G/N可解可得|G:M|=|G/N:M/N|是素數(shù)方冪，矛盾。所以MG=1。由假設M有一個極大θ－偶(C，D)=(C，1)使得C冪零且G=CM?，F(xiàn)在由引理7，我們得到C是G的極大子群且C是G的Sylow2－子群。如果|G:C|是素數(shù)方冪，則|π(G)|≤2，于是G可解，矛盾。所以|G:C|非素數(shù)方冪，從而C∈X(G)，顯然N?C，所以CG=1。于是由假設 C 有一個極大 θ－ 偶(C＇，D＇)=(C，1)使得C＇冪零且G=CC＇。又由引理7，我們得到C＇是G的Sylow 2－子群，因此由G=CC＇得G是2－群，矛盾。

現(xiàn)在假設對每個X(G)中元M，存在一個極大θ－偶(C，D)使得C/D冪零且其Sylow 2－子群的冪零類至多為2，我們需證明G是可解的。假設結論不成立且G是滿足條件的極小階反例，令M是X(G)中的任意元，(C，D)是M的一個極大θ－偶使得C/D冪零且其Sylow 2－子群的冪零類至多為2。類似于上一個結論的證明，可得D=1，C是G的極大子群且C是G的Sylow 2－子群。因為C的冪零類至多為2，由引理6可得G是可解的，矛盾，所以反例不存在，結論得證。

定理的其余結論顯然成立。證畢。

［注］定理假設中G是PSL(2，7)－無關的不可以去掉，例如，令G=PSL(2，7)，則G的任一極大子群在G中都有素數(shù)冪指數(shù)，即X(G)=?，所以G顯然滿足引理2和引理3的假設，但G是非可解的。

定理2 假設M是群G的不包含F(xiàn)(G)的超可解極大子群，其中F(G)是G的Fitting子群。如果M有一個極大θ－偶(C，D)使得C/D循環(huán)且G=CM，此外，如果|G:M|是2的方冪，還假設C/D是素數(shù)階的，則G超可解。

證明 假設結論不成立且G是滿足條件的非超可解的極小階反例。則

(1)MG=1，G有唯一極小正規(guī)子群，設為N，且G/N超可解。

由假設M是群G的不包含F(xiàn)(G)的超可解極大子群，這意味著G有極小正規(guī)子群不包含在M中，設為N。則G=NM且G/N?M/M∩N超可解。如果MG≠1，令R是包含在M中的G的一個極小正規(guī)子群。顯然G/R滿足假設的條件，由歸納G/R超可解，又因為G/N超可解并且超可解群系是飽和群系，所以G超可解，矛盾。因此，MG=1。如果G還有另外一個極小正規(guī)子群N1，使得N1≠N，則由G=N1M可得G/N1超可解，同樣可得到G超可解，矛盾。因此N是G的唯一極小正規(guī)子群。

(2)令E是G的子群，使得C是E的極大子群。則E=NC且E是可解的，從而G可解且N=F(G)=CG(N)。

由(1)的證明，定理2的證明MG=1可得D=1。由假設，(C，D)=(C，1)是M的一個極大θ－偶且C是循環(huán)的，于是由引理6可得是E可解的。因為C＜E，所以N≤C。如果，則N循環(huán)，于是G超可解，矛盾。所以N?C且E=NC。剩余部分的結論由第一部分的證明可知是顯然的。

(3)假設N是初等交換p－群，對于某個p∈π(G)，則C是循環(huán)p－群。

由G=MC=MN且M∩N=1，我們得到C是p＇－非群。令P是C的一個Sylow p－子群。因為N?C，所以P＜NP，從而P＜NNP(P)，于是C＜NE(P)。注意到C是E的極大子群，所以NE(P)=E，從而P?E且CE(p)?E?，F(xiàn)在由假設可得C是循環(huán)的，于是C≤CE(P)，這意味著CE(P)=C或者CE(P)=E。如果是后一種情形，則P包含在E的中心里，于是P≤CG(N)=N。另一方面G=MC=NM且M∩N=1又使得|N|≤|P|，所以N=P，矛盾于 N? C。因此 CE(P)=C，即C?E。令U是C的Hall p＇－子群，則U?E=CN，從而［U，N］?U∩N=1，于是U≤CG(N)=N，這意味著U=1，即C是p－群。

(4)|N|=p，可得G超可解。

如果p=2，則由假設可得C是2階循環(huán)群，這使得|E|=4且|N|=2。因此我們考慮p是奇素數(shù)的情形。顯然由C在E的極大性可得|E:C|=p=|N:N∩C|。注意到N初等交換且C循環(huán)，我們得到|N∩C|=1或者p，這分別意味著|N|=p是或者p2。如果|N|=p，則(4)成立。所以我們可以假設 |N|= p2。因 為 M? G/N =G/CG(N)同構于GL(2，p)的一個子群，又因為|GL(2，p)|=p(p2－1)(p－1)，所以|M|p=1或|M|p=p。如果|M|p=1，那么N是G的Sylow p－子群，則N=E，從而C＜N，矛盾于(C，1)的極大性。因此|M|p=p，這意味著G的Sylow p－子群的階是p3。于是|C|=p2且E∈Sylp(G)。因為(E∩M)∩N=1，注意到

E=E∩MC=C(E∩M)=N(E∩M)，

由引理8，我們有|N|=p，從而(4)成立。所以極小階反例不存在，結論得證。

［注］(1)定理2中的假設“M不包含F(xiàn)(G)”不可以去掉，否則結論錯誤。例如，取G=S4且M是G的Sylow 2－子群。(A4，K4)是滿足定理假設的M的一個極大θ－偶，但是G非超可解。

(2)定理2中的假設“如果|G:M|是2的方冪，還假設C/D是素數(shù)階的”不可以去掉，否則結論也不成立。例如，取G=S4且M={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}。令 C= ＜ (1234)＞，顯然C是4階循環(huán)群，并且(C，1)是M的極大θ－偶使得G=MC，但是G非超可解。

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