“地下水運(yùn)動(dòng)方程”課程設(shè)計(jì)

王旭升，萬 力

中國地質(zhì)大學(xué)（北京） 水資源與環(huán)境學(xué)院，北京 100083

課程建設(shè)

“地下水運(yùn)動(dòng)方程”課程設(shè)計(jì)

王旭升，萬 力

中國地質(zhì)大學(xué)（北京） 水資源與環(huán)境學(xué)院，北京 100083

“地下水運(yùn)動(dòng)方程”是為地下水科學(xué)與工程專業(yè)本科生開設(shè)的一門新課程，以取代過去地下水專業(yè)的“數(shù)學(xué)物理方程”課程。開設(shè)這門課的目標(biāo)是通過有針對(duì)性的講解和討論，在數(shù)學(xué)物理方程與地下水動(dòng)力學(xué)之間架起一座橋梁，幫助學(xué)生更深入地利用數(shù)學(xué)知識(shí)來理解地下水的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?！暗叵滤\(yùn)動(dòng)方程”主要講授地下水流偏微分方程的解析方法，具有很強(qiáng)的實(shí)用性，突出方程解法的靈活性。

地下水運(yùn)動(dòng)方程；課程設(shè)計(jì)；教學(xué)大綱；數(shù)學(xué)

“地下水運(yùn)動(dòng)方程”是一門新的課程，屬于地下水科學(xué)與工程專業(yè)本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課。這門課程開設(shè)于2008年，專門講授地下水專業(yè)方面所涉及的數(shù)學(xué)物理方程知識(shí)。經(jīng)過多年的準(zhǔn)備和兩年的實(shí)際教學(xué)，我們對(duì)“地下水運(yùn)動(dòng)方程”的課程性質(zhì)、授課內(nèi)容和教學(xué)方法有了更深入的認(rèn)識(shí)并初步積累了教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

一、課程意義

在談?wù)摂?shù)學(xué)的重要性時(shí)，人們常常會(huì)引用馬克思的論述，“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步?！钡叵滤茖W(xué)之所以能夠成為一門獨(dú)立的學(xué)科，正在于成功地應(yīng)用數(shù)學(xué)描述了地下水運(yùn)動(dòng)的基本物理規(guī)律。人類在積累地下水知識(shí)的過程中，不斷通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)推理研究地下水流動(dòng)現(xiàn)象中各種物理量之間的相互關(guān)系[1]，揭示出地下水運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，逐漸形成了地下水動(dòng)力學(xué)的理論體系[2-3]。在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)物理方程作為一個(gè)工具，功不可沒。地下水科學(xué)與工程方面的專業(yè)工作者，要想深刻理解地下水的特性和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，正確利用地下水動(dòng)力學(xué)理論解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)物理方程的知識(shí)是必不可少的。

長期以來，地下水專業(yè)類的學(xué)生在學(xué)習(xí)“地下水動(dòng)力學(xué)”之前，“數(shù)學(xué)物理方程”是必修課程[4]。然而，通常大學(xué)本科所講授的“數(shù)學(xué)物理方程”面對(duì)不同專業(yè)需求，內(nèi)容較為寬泛，在有限課時(shí)的課堂教學(xué)中，學(xué)生只能掌握一些基本概念和分析方法，而且常常接觸到的是一些波動(dòng)問題、熱傳導(dǎo)問題的算例，對(duì)地下水專業(yè)的需求缺少針對(duì)性。地下水動(dòng)力學(xué)面對(duì)的主要是拋物型和橢圓型偏微分方程，往往要使用積分變換等方法進(jìn)行求解，對(duì)于有界問題則需要使用分離變量法求解，求解過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些特殊函數(shù)?！皵?shù)學(xué)物理方程”課程與地下水動(dòng)力學(xué)的這種脫節(jié)，影響了地下水專業(yè)人才的培養(yǎng)。正因?yàn)閷ｉT數(shù)學(xué)知識(shí)的缺乏，使我國地下水科學(xué)研究鄰域中大量原創(chuàng)性的思想和成果因缺乏精確的表述，而得不到國際上的認(rèn)可。

開設(shè)“地下水運(yùn)動(dòng)方程”課程的目標(biāo)，就是希望通過有針對(duì)性的講解和討論，在數(shù)學(xué)物理方程與地下水動(dòng)力學(xué)之間架起一座橋梁，幫助學(xué)生更直接、更深入地利用數(shù)學(xué)物理方程以及應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識(shí)來描述、理解地下水的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。此外，加強(qiáng)該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對(duì)豐富我國地下水科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)人才的知識(shí)結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)高素質(zhì)的人才將會(huì)起到促進(jìn)作用。

二、教學(xué)大綱與教材

1.教學(xué)大綱設(shè)計(jì)

“地下水運(yùn)動(dòng)方程”不是照搬“數(shù)學(xué)物理方程”，另外也不能重復(fù)現(xiàn)有的“地下水動(dòng)力學(xué)”課程。我們?cè)诔浞挚紤]“地下水動(dòng)力學(xué)”的傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容和地下水科學(xué)新進(jìn)展的基礎(chǔ)上，參考“數(shù)學(xué)物理方程”的知識(shí)體系，制定了“地下水運(yùn)動(dòng)方程”的教學(xué)大綱。“地下水運(yùn)動(dòng)方程”課程安排在“水文地質(zhì)基礎(chǔ)”課程之后，在“地下水動(dòng)力學(xué)”課程之前?！皵?shù)學(xué)物理方程”不再作為本專業(yè)課程。

目前，“地下水運(yùn)動(dòng)方程”課時(shí)為48學(xué)時(shí)，主要采用課堂教學(xué)的方式。教學(xué)大綱以地下水流偏微分方程的解析法為主要內(nèi)容，安排了4章30個(gè)學(xué)時(shí)，占總學(xué)時(shí)數(shù)的62.5%。其中又以二階線性橢圓形偏微分方程的求解為重點(diǎn)內(nèi)容。在此之前安排了緒論和地下水運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)描述方面的內(nèi)容，以使本課程與“水文地質(zhì)基礎(chǔ)”課程、“地下水動(dòng)力學(xué)”課程之間建立承前啟后的關(guān)系。在此之后，安排了對(duì)流-彌散方程和地下水流方程數(shù)值解法方面的內(nèi)容，進(jìn)一步拓展學(xué)生對(duì)地下水流及與其相關(guān)的物質(zhì)能量運(yùn)動(dòng)過程的數(shù)學(xué)理解，并補(bǔ)充應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識(shí)。

“地下水運(yùn)動(dòng)方程”以“大學(xué)數(shù)學(xué)”、“大學(xué)物理”為基礎(chǔ)課，同時(shí)要求學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)[5]。另外，“地下水運(yùn)動(dòng)方程”涉及一些特殊函數(shù)，但這些特殊函數(shù)不屬于本課程的重點(diǎn)內(nèi)容，除了在課堂教學(xué)中適當(dāng)加以講解以外，也要求學(xué)生進(jìn)行自學(xué)。

2.教材

此前，我國地下水科學(xué)領(lǐng)域尚沒有一本專門講述地下水運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的書籍和教材，給組織講義增添了很多困難，暫用《數(shù)學(xué)物理方程》和《地下水動(dòng)力學(xué)》作為輔助教材。為此，我們著手編寫《地下水運(yùn)動(dòng)方程》作為專門教材。由于是新開課程，我們采取開課、編寫講義、撰寫教材同時(shí)進(jìn)行的策略，組織完善課程材料。現(xiàn)在，《地下水運(yùn)動(dòng)方程》已經(jīng)編撰完成，即將出版。

《地下水運(yùn)動(dòng)方程》一書共分7章。第1章簡述了經(jīng)典地下水動(dòng)力學(xué)和滲流力學(xué)的基本物理量和不同類型的方程，介紹了偏微分方程定解問題的構(gòu)成以及線性偏微分方程的疊加原理。第2～5章較為詳細(xì)地闡述和討論了地下水運(yùn)動(dòng)方程的各種求解方法，其中：第2章闡述了穩(wěn)定流一維問題、軸對(duì)稱問題的解法及復(fù)變函數(shù)描述方法；第3章闡述了求解有界非穩(wěn)定流問題的分離變量法；第4章闡述了求解非穩(wěn)定流問題的積分變換法（Laplace變換法和Hankel變換法）、Boltzmann法和源函數(shù)積分法；第5章簡述了非線性Boussinesq方程和其他一些復(fù)雜方程的解法，同時(shí)介紹了隨機(jī)方程的類型和主要特征。在第6章，重點(diǎn)闡述了溶質(zhì)運(yùn)移的對(duì)流-彌散方程及其若干解析解，同時(shí)對(duì)含水層水熱遷移所涉及的對(duì)流-彌散-傳熱方程進(jìn)行簡要討論。最后一章闡述了用數(shù)值方法求解地下水運(yùn)動(dòng)方程的基本思路，并初步給出了有限差分法和有限單元法的離散方程。書后含有“二階線性偏微分方程及其分類”、“線性常微分方程的解法”和“Bessel方程及Bessel函數(shù)”3個(gè)附錄。該書在闡述解析解推導(dǎo)過程時(shí)，盡可能突出重點(diǎn)，省略一些繁瑣的中間步驟，以便讀者掌握關(guān)鍵思路和結(jié)果。

三、教學(xué)方法

“地下水運(yùn)動(dòng)方程”既要準(zhǔn)確應(yīng)用偏微分方程的基礎(chǔ)理論，又具有很強(qiáng)的實(shí)用性，實(shí)際上起著為地下水動(dòng)力學(xué)分析和計(jì)算服務(wù)的作用。從這個(gè)特性出發(fā)，在課堂教學(xué)過程中突出應(yīng)用，而不拘泥于純數(shù)學(xué)的推演。偏微分方程的求解技巧是課程教學(xué)的核心，需要一邊講授一邊讓學(xué)生反復(fù)的練習(xí)，以逐漸領(lǐng)悟各種求解方法的步驟和適用條件。

“地下水運(yùn)動(dòng)方程”的講解也遵循由簡到難的教學(xué)原則。在教學(xué)內(nèi)容上首先安排穩(wěn)定流方程的求解方法，因?yàn)榉€(wěn)定流方程主要是常微分方程，求解步驟較為簡單。常微分方程的求解在“數(shù)學(xué)物理方程”課程中往往被忽略，而在“地下水運(yùn)動(dòng)方程”中占有較大的分量，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決地下水流模型具有很強(qiáng)的引導(dǎo)作用。在非穩(wěn)定流方程的求解方面，分離變量法是最基礎(chǔ)的內(nèi)容，重點(diǎn)講解一維非穩(wěn)定流方程的詳細(xì)求解過程，并在課堂上進(jìn)行較大強(qiáng)度的練習(xí)，二維、三維和軸對(duì)稱問題的求解盡可能在教學(xué)中引入閱讀和獨(dú)立思考環(huán)節(jié)，加強(qiáng)對(duì)方法的掌握。非穩(wěn)定流方程的積分變換求解方法具有很大的靈活性，加上Boltzmann法和源函數(shù)積分法的應(yīng)用，使地下水流問題的求解技術(shù)具有多種選擇。例如，著名的Theis公式[2-3]就可以分別用Lap lace變換、Hankel變換、Boltzmann法以及源函數(shù)積分法這4種方法推導(dǎo)出來。因此，教學(xué)過程中必須強(qiáng)調(diào)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的靈活性，達(dá)到融會(huì)貫通的效果。

隨著“地下水運(yùn)動(dòng)方程”課程教學(xué)實(shí)踐的持續(xù)進(jìn)行，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，這門課程將會(huì)進(jìn)一步完善，并為促進(jìn)地下水科學(xué)與工程人才的培養(yǎng)發(fā)揮重要作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張宏仁.地下水水力學(xué)的發(fā)展[M].北京：地質(zhì)出版社，1992.

[2] 陳崇希，林敏.地下水動(dòng)力學(xué)[M].武漢：中國地質(zhì)大學(xué)出版社，1999.

[3] 薛禹群.地下水動(dòng)力學(xué)(第二版)[M].北京：地質(zhì)出版社，1997.

[4] 谷超豪，李大潛，陳恕行，等.數(shù)學(xué)物理方程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[5] 李紅，謝松法.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：高等教育出版社，2008.

Course Design of Equations of Subsurface Hydraulics

WANG Xu-sheng, WAN Li
China University of Geosciences, Beijing 100083, China

Equations of subsurface hydraulics is a new course for undergraduates in the major of groundwater science and technology, to replace the course of mathematical physics equation. Purpose of the course is to build a bridge between mathematical physics equation and subsurface hydraulics according to pertinent teaching and discussions, so that the students can well understand the rule of groundwater movement through mathematics. The main content in equations of subsurface hydraulics is the analytical methods in solving partial equations of groundwater movement. It is a practicability course and the method is highlighted in teaching.

equations of subsurface hydraulics; course design; teaching principles; mathematics

G 642

A

1006-9372 （2010）04-0112-03

2010-09-16。

王旭升，男，副教授，主要從事地下水科學(xué)與工程的教學(xué)和研究工作。