融數(shù)學(xué)史于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中

蔡 瑾, 陳 琳, 董 艷

(1.中國人民公安大學(xué),北京 100038;2.成都電子機(jī)械高等?？茖W(xué)校,四川成都 610031)

0 引言

法國偉大的數(shù)學(xué)家亨利?龐加萊說：“若預(yù)見數(shù)學(xué)的未來,正確的方法就是研究它的歷史和現(xiàn)狀?！睌?shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想起源與發(fā)展,及其與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和一般文化聯(lián)系的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)史反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)與本質(zhì),其價(jià)值表現(xiàn)為 3個(gè)方面：歷史價(jià)值、數(shù)學(xué)價(jià)值、教育價(jià)值。今天數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值越來越受到人們的關(guān)注。對(duì)于學(xué)生來講,高等數(shù)學(xué)課程介紹的通常是一些似乎沒有什么關(guān)系的數(shù)學(xué)片段,而歷史可以提供整個(gè)課程的概貌,不僅使課程的內(nèi)容互相聯(lián)系,而且與其他學(xué)科有千絲萬縷的關(guān)系,更進(jìn)一步使它們跟數(shù)學(xué)思想的主干聯(lián)系起來,這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就顯得更加流暢、完整;因此,數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用逐漸凸顯出來。以下主要從 4個(gè)方面探討數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

1 幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、思想、方法的理解

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一,是要讓學(xué)生理解掌握教學(xué)中所要求的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)中,盡管我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)其重要性,但是如果沒有適當(dāng)?shù)臍v史敘述,那么這些抽象的數(shù)學(xué)概念、思想和方法的來龍去脈對(duì)于學(xué)生來說仍然是很費(fèi)解的。我們有很多種途徑可以幫助學(xué)生理解并掌握它們,這方面有很大的探索空間,而數(shù)學(xué)史在此可以發(fā)揮非常有效的作用。一些歷史的例子可以古為今用,被開發(fā)出來作為闡釋某些深?yuàn)W數(shù)學(xué)概念和思想的教學(xué)載體。

例如,解析幾何的創(chuàng)始人笛卡兒,在解決“帕波斯問題”等幾何問題時(shí),用具體思路與方法推而廣之一般化后將數(shù)與形統(tǒng)一起來的新幾何學(xué)取代了歐幾里德幾何,這就是我們現(xiàn)在的解析幾何。后人給了笛卡兒很高的評(píng)價(jià),稱他是一位劃時(shí)代的數(shù)學(xué)家,稱解析幾何是一門劃時(shí)代的數(shù)學(xué)。

又如,在講微積分時(shí),很多學(xué)生對(duì)微積分的概念及數(shù)學(xué)思想方法不甚理解,這時(shí)可借助數(shù)學(xué)史講述德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分的過程。約公元1672年,萊布尼茲將他對(duì)數(shù)列研究的結(jié)果與微積分運(yùn)算聯(lián)系起來,借助于笛卡兒的解析幾何,把曲線的縱坐標(biāo)用數(shù)值表示出來,并想象一個(gè)由無窮多個(gè)縱坐標(biāo) Y組成的序列,以及對(duì)應(yīng)的X值的序列,X被看作是確定縱坐標(biāo)序列的次序,同時(shí)考慮任意兩相繼的 Y值之差的序列。萊布尼茲后來在致洛必達(dá)的一封信中總結(jié)說：“求切線不過是求差,求積分不過是求和?！边@一數(shù)學(xué)思想貫穿了《高等數(shù)學(xué)》概念的始終,如求曲邊梯形的面積、平行截面面積為已知的立體的體積、平面曲線的弧長、二重積分、曲線積分與曲面積分等等,這一數(shù)學(xué)思想也可用于其他課程相關(guān)概念的學(xué)習(xí)上,真正做到舉一反三。

2 幫助學(xué)生體會(huì)活的數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力

數(shù)學(xué)概念是從哪里來的?數(shù)學(xué)定理又是怎樣被發(fā)現(xiàn)的?著名數(shù)學(xué)家馮?諾依曼回答：“數(shù)學(xué)的概念來源于經(jīng)驗(yàn)?！睌?shù)學(xué)的歷史證實(shí)馮?諾依曼的回答是正確的。他對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)做了深刻的剖析：數(shù)學(xué)是人類智能的中心領(lǐng)域,與自然科學(xué)和生活實(shí)際的特有聯(lián)系,是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一。

例如,微積分的起源顯然是經(jīng)驗(yàn)的。中國人說的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,是一種層次不低的經(jīng)驗(yàn),劉徽與祖暅“其冪既等,則其積不容異”的等冪等積定理源于經(jīng)驗(yàn);阿基米德對(duì)圓柱及其內(nèi)切球以及一個(gè)高與底半徑等于球直徑的圓錐的聯(lián)合體的“切片平衡法”求得球體積的高明的力學(xué)方法也是積分的經(jīng)驗(yàn)之源。微積分和力學(xué),由于兩者密切結(jié)合而共同得到發(fā)展,初期的微積分的陳述是用半物理的方式給出的,一個(gè)明確無誤的回答是牛頓的微積分起源于經(jīng)驗(yàn)和自然科學(xué)。

雖然沒有數(shù)學(xué)家排斥牛頓和萊布尼茲的微積分,但它距數(shù)學(xué)意義下的抽象性和嚴(yán)格性還有一定的距離,只有到柯西、魏爾斯特拉斯等給出了“εδ”、“ε-N”等極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等嚴(yán)格定義后,才最終使得這一理論得以完善。即數(shù)學(xué)之源是經(jīng)驗(yàn)與自然科學(xué),但必須經(jīng)過嚴(yán)格的精細(xì)加工,這種加工是高度抽象的思維加工,使之概念明確、推理嚴(yán)格,整體內(nèi)容無矛盾才稱得上是數(shù)學(xué)。

通過對(duì)這些知識(shí)產(chǎn)生背景的講解,可以向?qū)W生展示知識(shí)形成過程,預(yù)示知識(shí)發(fā)展前景,讓學(xué)生感覺到身邊的數(shù)學(xué)無處不在,數(shù)學(xué)并不是抽象的、呆板的定義、定理和公式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以讓我們借簽數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新過程和思維方式,間接培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。

3 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

數(shù)學(xué)是公認(rèn)難學(xué)難教的科目,之所以這樣,很重要的原因是我們的教學(xué)不能引起學(xué)生的興趣。數(shù)學(xué)給學(xué)生的印象是枯燥抽象,其實(shí),數(shù)學(xué)本身是多姿多彩的。歷史上數(shù)學(xué)與天文學(xué)、力學(xué)同根連枝,還與音樂、哲學(xué)等交織共生,現(xiàn)代學(xué)術(shù)界還常常爭(zhēng)論數(shù)學(xué)是藝術(shù)還是科學(xué)?是比喻還是猜測(cè)?對(duì)此數(shù)學(xué)史可以給出“全息圖景”,激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)美妙的欲望。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,適時(shí)、恰當(dāng)?shù)匾肱c教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的引人入勝和富有啟發(fā)意義的歷史話題,可以使學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門枯燥無味的學(xué)科,而是一門不斷發(fā)展的生動(dòng)有趣的學(xué)科,從而可以大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如,在講授牛頓 -萊布尼茲公式時(shí),可以介紹其來歷,并不是他們共同發(fā)現(xiàn)的,而是在不同國度幾乎同時(shí)發(fā)現(xiàn)的。牛頓研究微積分的實(shí)際背景是力學(xué),而萊布尼茲則是從幾何背景(例如切線、面積)來研究微積分,兩者幾乎同時(shí)操作,獨(dú)立完成,殊途而同歸,對(duì)微積分的基本概念與方法,牛頓發(fā)現(xiàn)稍早,而萊布尼茲公開發(fā)表稍早,由此還引起了一場(chǎng)紛爭(zhēng)。

又如,中國古代數(shù)學(xué)衰落的原因。中國古代數(shù)學(xué)長于計(jì)算,邏輯性差;中國古代數(shù)學(xué)重應(yīng)用,輕理論;中國古代數(shù)學(xué)的書寫方式落后;八股取士考試制度的錯(cuò)誤導(dǎo)向,使很多人成了數(shù)學(xué)盲;盲目排外;等等。這些都可以極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的使命感,進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)動(dòng)力,提高學(xué)習(xí)興趣。

4 有利于幫助學(xué)生培養(yǎng)科學(xué)品質(zhì),增強(qiáng)自我探索精神

數(shù)學(xué)是人類文明的重要組成部分,是人類智慧的結(jié)晶,數(shù)學(xué)的歷史像一條大河幾乎貫穿了人類的整個(gè)文明史,它時(shí)而波濤洶涌,時(shí)而風(fēng)平浪靜。數(shù)學(xué)今天的繁榮昌盛是千百年來無數(shù)先驅(qū)前赴后繼、辛勤耕耘的結(jié)果。數(shù)學(xué)先驅(qū)們的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度值得我們學(xué)習(xí),他們的獻(xiàn)身精神值得我們景仰,他們的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)值得我們借鑒,他們孜孜不倦、鍥而不舍地追求真理的精神值得我們感動(dòng)。

以繼牛頓之后最偉大的科學(xué)家之一,18世紀(jì)數(shù)學(xué)界的靈魂人物歐拉為例,他在年近花甲時(shí)雙目失明,除了其本人和一些手稿幸免于難外,他的住所和財(cái)產(chǎn)全部在一場(chǎng)大火后蕩然無存。盡管遭受一系列的不幸和沉重打擊,但歐拉的科學(xué)活動(dòng)絲毫沒有減少。歐拉的記憶力和心算能力是驚人的,心算不僅限于簡單的運(yùn)算,高等數(shù)學(xué)同樣可以用心去算。歐拉在完全失明前,還能朦朧地看到一些東西,他抓緊這最后的時(shí)刻,在一塊大黑板上寫下他發(fā)現(xiàn)的公式,然后口述其內(nèi)容,由他的學(xué)生筆錄。在失明后的 17年里,歐拉還解決了許多數(shù)學(xué)問題,留下 400多篇論文。由于歐拉身殘志堅(jiān)、百折不撓的毅力和孜孜不倦的探索精神,以及無與倫比的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn),后人譽(yù)其為“數(shù)學(xué)英雄”。

在數(shù)學(xué)史上,這樣的數(shù)學(xué)先賢不勝枚舉,他們崇高的理想、頑強(qiáng)的意志、為真理獻(xiàn)身的精神和道德情操,是后人應(yīng)該繼承的寶貴遺產(chǎn)。

以上從 4個(gè)方面探討了數(shù)學(xué)史在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用,但數(shù)學(xué)史在其中的作用遠(yuǎn)不止這些。數(shù)學(xué)史和高等數(shù)學(xué)教學(xué)息息相關(guān),通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史知識(shí),可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)、研究、應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中逐步體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,把學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的“怕”轉(zhuǎn)化成“愛”,從而全面提高數(shù)學(xué)乃至其他課程的教學(xué)質(zhì)量。

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